Verificação da capacidade de carga de fundações segundo a DIN 4017 comparado com RFEM 6

Para validar o cálculo com RFEM 6, é utilizado um exemplo descrito na DIN 4017, anexo 1 (2006) [1]. Considera-se uma fundação carregada de forma central e vertical em solo estratificado, cujos resultados são comparados com os valores determinados no RFEM 6. O objetivo deste estudo é determinar a resistência ao corte do solo abaixo da base da fundação.

Descrição do Modelo

A fundação considerada tem forma retangular, com dimensões de 4,0 m × 5,0 m e uma espessura de 1,0 m. A parte superior da fundação está a 1,0 m abaixo da superfície do solo, de modo que a base da fundação se encontra a 2,0 m de profundidade. O nível do lençol freático também está a 2,0 m abaixo da superfície do solo, assim diretamente no nível da base da fundação. A geometria bem como as principais estratificações do solo, juntamente com seus valores característicos, são apresentadas a seguir.

Geometria da fundação

Estratificação do Solo e Valores Característicos

Estrutura de solo

Cálculo Manual Segundo DIN 4017, Anexo 1 (2006)

Determinação Iterativa das Propriedades do Solo φ_m

Segundo a DIN 4017 [2], é permitido fazer uma média dos ângulos de atrito φ' em solo estratificado, se os valores individuais das camadas não diferirem mais que 5° do valor médio aritmético comum φ_av.

Neste exemplo, são três camadas de solo diretamente sob a fundação. Os ângulos de atrito φ'₂ = 30°, φ'₃ = 25° e φ'₄ = 22,5° são considerados. O valor médio aritmético é φ_av = ∑ φ'_i/n = (30 + 25 + 22,5)/3 = 25,83°.

Portanto, o desvio da média é menor que 5°.

Superfície de deslizamento e composição de camadas – Fundação

1º Passo Iterativo (Início com φ_m,0 = 25,83°; α = β = δ = 0):

ϵ₁ = asin(−sin(β)/sin(φ_A,k)) = asin(−sin(0,00°)/sin(25,83°)) = 0,00° – segundo A.2 ϵ₂ = asin(−sin(δ)/sin(φ_A,k)) = asin(−sin(0,00°)/sin(25,83°)) = 0,00° – segundo A.5 ϑ₁ = 45° − φ_m,0/2 − (ϵ₁ + β)/2 = 45° − 25,83°/2 − 0 = 32,1° – A.1 ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + φ_m,0/2 − (ϵ₂ + β)/2 = 45° + 25,83°/2 − 0 = 57,9° – A.3 υ = 180° − α − β − ϑ₁ − ϑ₂ = 180° − 0° − 0° − 32,1° − 57,9° = 90° – A.6 r₂ = B'/(2⋅cos(ϑ₂)) = 4,00 m/(2⋅cos(57,9°)) = 3,76 m – A.7 r₁ = r₂⋅e^{(0,5π⋅tan(φ_m,0))} = 3,76 m⋅e^{(0,5π⋅tan(25,83°))} = 8,03 m – A.8 l_s = (r₁ − r₂)/sin(φ) = (3,76 m − 8,03 m)/sin(25,83°) = 9,80 m – A.17

Comprimento total da linha de deslizamento segundo a Figura 3 deste anexo:

Σl = r₂ + r₁ + l_s = 3,76 + 8,03 + 9,81 = 21,60 m l₁ = (z₃ − d)/(sin(ψ₂)) = 1,50/0,847 = 1,77 m l₂ = (z₄ − z₃)/(sin(ψ₂)) = 1,50/0,847 = 1,77 m l₄ = (z₃ − d)/(sin(ψ₁)) = 1,50/0,531 = 2,82 m l₅ = (z₄ − z₃)/(sin(ψ₁)) = 1,50/0,531 = 2,82 m l₃ + l₆ + l_s = Σl − (l₁ + l₂ + l₄ + l₅) = 21,60 m − 2⋅(1,77 + 2,82) = 12,42 m φ'₂ = (4,59⋅30,0° + 4,59⋅25,0° + 12,42⋅22,5°)/21,60 = 24,6° c'₂ = (4,59⋅5,00 + 12,42⋅2,00)/21,60 = 2,2 kN/m²

A iteração é repetida com φ'₂ = 24,6°.

2º Passo Iterativo (com φ_m,1 = 24,6°; α = β = δ = 0):

ϵ₁ = ϵ₂ = 0,00° ϑ₁ = 45° − 24,6°/2 − 0 = 32,7° ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + 24,6°/2 − 0 = 57,3° υ = 180° − 0° − 0° − 32,7° − 57,3° = 90° r₂ = 4,00 m/(2⋅cos(57,3°)) = 3,70 m r₁ = 3,70 m⋅e^{(0,5π⋅tan(24,6°))} = 7,60 m l_s = |7,60 − 3,70| m/sin(24,6°) = 9,36 m Σl = 3,70 + 7,60 + 9,36 = 20,66 m l₁ = l₂ = 1,50/0,842 = 1,78 m l₄ = l₅ = 1,50/0,540 = 2,78 m l₃ + l₆ + l_s = Σl − (l₁ + l₂ + l₄ + l₅) = 20,66 − 2⋅(1,78 + 2,78) = 11,54 m

Valores médios ponderados:

φ'₃ = ((l₁ + l₄)⋅30,0° + (l₂ + l₅)⋅25,0° + (l₃ + l₆ + l_s)⋅22,5°)/Σl = ((1,78 + 2,78)⋅30,0° + (1,78 + 2,78)⋅25,0° + 11,54⋅22,5°)/20,66 = 24,71° c'₃ = ((l₁ + l₄)⋅5,00 + (l₃ + l₆ + l_s)⋅2,00)/Σl = ((1,78 + 2,78)⋅5,00 + 11,54⋅2,00)/20,66 = 2,22 kN/m²

Resultado: O ângulo de atrito relevante está praticamente convergido em φ_m ≈ 24,7°.

Subsuperfície do Corpo de Deslizamento

Triângulo ABD ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + 24,7°/2 = 57,35° A_a = tan(ϑ₂) ⋅ (B'/2)² = 1,56 ⋅ 4,00 m² = 6,24 m²

Triângulo BCE ϑ₁ = 45° − 24,7°/2 = 32,65° r₂ = 4,00 m/(2⋅cos(57,35°)) = 3,71 m r₁ = 3,71 m ⋅ e^{(π/2 ⋅ tan(24,7°))} = 7,64 m A_p = r₁² ⋅ sin(ϑ₁) ⋅ cos(ϑ₁) = 26,54 m²

Subsuperfície da Espiral A_s = (r₁² − r₂²)/(4⋅tan(φ')) = 24,24 m²

Soma das Áreas ΣA = 57,02 m²

Peso Médio do Corpo de Deslizamento

A partir das subsuperfícies e dos respectivos pesos das camadas, é possível determinar o peso médio γ': γ' = (11,0⋅22,82 + 12,0⋅17,87 + 10,0⋅16,33) ÷ 57,02 = 11,0 kN/m³.

O peso médio do solo ao lado e acima da fundação: γ = (0,50 m⋅18,0 kN/m³ + 1,50 m⋅18,5 kN/m³) ÷ 2,00 m = 18,375 kN/m³

Cálculo da Resistência ao Corte

Os coeficientes de capacidade de carga podem agora ser determinados.

• N_q,0 = e^{(π⋅tan(24,7°))} ⋅ tan²(45° + 24,7°/2) = 10,33 [−]
• N_γ,0 = (10,33 − 1) ⋅ tan(24,7°) = 4,29 [−]
• N_c,0 = (10,33 − 1) ⋅ tan(24,7°) = 20,28 [−]

Para considerar o efeito da geometria da fundação, são necessários coeficientes de forma adicionais:

• ν_q = 1 + 4,00 m/5,00 m ⋅ sin(24,7°) = 1,334 [−]
• ν_γ = 1 − 0,3 ⋅ 4,00 m/5,00 m = 0,760 [−]
• ν_c = (1,334 ⋅ 10,33 − 1)/(10,33 − 1) = 1,370 [−]

Com esses fatores, os coeficientes de capacidade de carga corrigidos são:

• N_q = N_q,0 ⋅ ν_q = 10,33 ⋅ 1,334 = 13,78
• N_γ = N_γ,0 ⋅ ν_γ = 4,29 ⋅ 0,760 = 3,26
• N_c = N_c,0 ⋅ ν_c = 20,28 ⋅ 1,370 = 27,78

\[ \text{R}_n = 5{,}00\,\text{m}\cdot 4{,}00\,\text{m}\cdot \left( \underbrace{11{,}0\,\text{kN/m}^3\cdot 4{,}00\,\text{m}\cdot 3{,}26}_{\gamma' \cdot B' \cdot N_\gamma} +\underbrace{18{,}375\,\text{kN/m}^3\cdot 2\,\text{m}\cdot 13{,}78}_{\gamma \cdot t \cdot N_q} +\underbrace{2{,}2\,\text{kN/m}^2\cdot 27{,}78}_{c' \cdot N_c} \right) = 14\,233\,\text{kN}. \]

Cálculo no RFEM 6

No RFEM 6, a geometria, as cargas e os parâmetros das camadas são definidos de forma análoga. Diferente do método anexo, a linha de deslizamento é integrada como uma espiral logarítmica ao longo de toda a curva de forma contínua (sem linearização em segmentos de tangentes e arcos de círculo). Assim, toda a área efetiva do solo da junta de deslizamento é considerada na média, e os componentes individuais das camadas são capturados como verdadeiras contribuições de área.

Resultado do ângulo de atrito médio: φ_m,RFEM = 25,03° Resistência ao corte: R_k,RFEM = A ⋅ σ_R,k = 5,00 m ⋅ 4,00 m ⋅ 741,53 kN/m² = 14.830,64 kN

Verificação de rotura de fundação no RFEM

Por que o RFEM retorna 25,03°, enquanto o cálculo manual resulta em aproximadamente 24,7° – e o que isso significa para R_k?

No cálculo manual (anexo), a superfície de deslizamento é discretizada, ou seja, dividida em segmentos de tangentes e arcos de círculo. Isso resulta em um ângulo médio ponderado pelo comprimento; o método é aproximado e refinado iterativamente (1ª iteração ≈ 24,6°, 2ª iteração ≈ 24,71°).

Por outro lado, o RFEM 6 integra direções locais ao longo da curva de forma contínua. Isso permite que as partes de área das camadas na junta de deslizamento sejam totalmente capturadas (em vez de apenas ao longo de comprimentos de segmento), a direção de referência seja tratada de forma inequívoca e a curvatura da espiral seja considerada sem linearização.

O efeito neste exemplo: A porção da camada "mais forte" (com φ′ = 30°) na área efetiva da junta de deslizamento é um pouco maior do que na aproximação discreta. Isso desloca a média ponderada ligeiramente para cima e resulta em φ_m,RFEM = 25,03° (diferença de ~0,27° para o cálculo manual).

Impacto na Resistência R_k

Um valor levemente maior de φ aumenta os coeficientes de capacidade de carga de forma não linear, aumentando assim a resistência.

Cálculo Manual (Anexo): Tensão de resistência característica σ_R,k = 710,97 kN/m² Resistência total R_k = 14.233 kN

RFEM 6: Tensão de resistência característica σ_R,k = 741,53 kN/m² Resistência total R_k = 14.830,64 kN

A diferença em R_n é ≈ 4,2 % (com base no cálculo manual). Isto é tecnicamente consistente e resulta diretamente da metodologia: ponderação discreta por comprimento vs. ponderação contínua por área ao longo da linha de deslizamento verdadeiramente curva.

Comparação dos Resultados

Conclusão

O cálculo segundo a DIN 4017 e os resultados no RFEM 6 estão em muito boa concordância. A pequena diferença é explicada pela metodologia (aproximação discreta vs. integração contínua). Na prática, isso significa que o RFEM 6 reflete o cálculo manual de forma confiável, reduzindo o esforço iterativo manual e fornecendo um tratamento matematicamente mais rigoroso da linha de deslizamento – com uma apresentação clara dos resultados.