65x

2025-08-22

VE0021 | Пластическое изгибание с нулевой прочностью на растяжение

Описание

К консольной балке, полностью закрепленной с левого конца (x = 0), прикладываются поперечная сила F и осевая сила F_a с правого конца. Прочность при растяжении равна нулю, а поведение при сжатии остается упругим. Задача описывается следующим набором параметров. Рассматриваются малые деформации, а собственный вес в этом примере игнорируется. Определите максимальное отклонение u_z,max.

Материал	Упругопластический	Модуль упругости	E	210000.000	МПа
		Коэффициент Пуассона	ν	0.000	-
		Модуль сдвига	G	105000.000	МПа
		Пластическая прочность на растяжение	f_t	0.000	МПа
Геометрия	Консольная балка	Длина	L	2.000	м
		Ширина	w	0.005	м
		Толщина	t	0.005	м
Нагрузка		Поперечная сила	F	4.000	Н
Нагрузка		Осевая сила	F_a	5000.000	Н

Анализ пластического изгиба без прочности на растяжение, демонстрирующий распределение напряжений и деформаций в материалах.

Пластическое изгиб с нулевой прочностью при растяжении

Аналитическое решение

Поперечная сила F вместе с осевой силой F_a вызывает упругопластическое состояние консольной балки согласно следующей схеме. Длина упругопластической зоны описывается параметром x_p. Напряжение σ_x состоит из изгибного напряжения σ_b и напряжения сжатия σ_c, и определяется по следующей формуле:

Иллюстрация пластического изгиба с выделением распределения напряжений при нулевой прочности на растяжение, демонстрирующая его влияние на конструкцию.

Пластический изгиб с нулевой прочностью на растяжение - распределение напряжений

σ_{x} (x, z) = - κ (x) E (z - z_{0} (x))

Нормальное напряжение

где κ(x) - кривизна, а параметр z₀(x) определяется так, чтобы σ_x(x,z₀)=0. Первое пластическое состояние наступает, когда изгибное напряжение на верхней поверхности у закрепленного конца достигает значения напряжения сжатия.

\frac{M (0)}{I_{y}} \frac{t}{2} = \frac{F_{a}}{A}

Равенство напряжений от изгиба и от сжатия

Поперечная сила равна F=2.083 Н. Таким образом, консольная балка под поперечной силой F=4.000 Н находится в упругопластическом состоянии. В упругопластической зоне (x < x_p) должно быть выполнено равновесие между изгибающими моментами и осевыми силами.

M_{ep} = \int_{z_{0}}^{t / 2} - κ_{p} E (z - z_{0}) z w d z = M

Равновесие внутренних и внешних изгибающих моментов

N_{ep} = \int_{z_{0}}^{t / 2} - κ_{p} E (z - z_{0}) w d z = - F_{a}

Равновесие внутренней и внешней нормальных сил

Решая эти уравнения, кривизна в упругопластической зоне κ_p и параметр z₀ получаются следующим образом.

κ_{p} (x) = \frac{8 F_{a}^{3}}{9 E w (F_{a} t + 2 M)^{2}}

Кривизна результата

z_{0} (x) = \frac{t}{2} - \frac{3}{2} \frac{F_{a} t + 2 M}{F_{a}}

Параметр результата z₀

Длина упругопластической зоны x_p может быть получена из последнего уравнения при условии z₀(x_p)=-t/2.

x_{p} = L - \frac{t F_{a}}{6 F} \approx 958.333 m m

Длина упруго-пластической зоны

Кривизна κ_e в упругой зоне (x > x_p) описывается по формуле Бернулли-Эйлера:

κ_{e} = - \frac{M}{E I_{y}}

Изгиб в упругой зоне

Максимальное отклонение u_z,max можно, наконец, вычислить по следующей формуле

u_{z, \max} = \int_{0}^{x_{p}} κ_{p} (L - x) d x + \int_{x_{p}}^{L} κ_{e} (L - x) d x \approx 1.232 m

Результат максимального прогиба

Настройки RFEM

Моделирование в RFEM 5.26 и RFEM 6.11
Размер элемента l_FE= 0.020 м
Рассматривается геометрически линейный анализ
Число инкрементов равняется 10
Жёсткость на сдвиг членов игнорируется

Результаты

Модель материала	Аналитическое решение	RFEM 6		RFEM 5
Модель материала	u_z,max [м]	u_z,max [м]	Соотношение [-]	u_z,max [м]	Соотношение [-]
Изотропный нелинейный упругий 1D	1.232	1.231	0.999	1.231	0.999
Изотропный каменный 2D		1.237	1.004	1.237	1.004
Нелинейный упругий 2D/3D, Мора - Кулона		1.237	1.004	1.237	1.004
Нелинейный упругий 2D/3D, Друкера - Прагера		1.237	1.004	1.237	1.004
Изотропный пластический 2D/3D, Мора - Кулона		1.237	1.004	1.237	1.004
Изотропный пластический 2D/3D, Друкера - Прагера		1.237	1.004	1.236	1.003

594x

Контрольный пример 0021 | 1

Ссылки

Люблинер, J .: (1990). Теория пластичности. Нью-Йорк: MacMillen, 2015

;