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2025-08-22

VE0021 | Flexão plástica com resistência à tração zero

Descrição

Uma viga em balanço está totalmente fixada na extremidade esquerda (x = 0) e submetida a uma força transversal F e uma força axial F_a na extremidade direita. A resistência à tração é zero e o comportamento sob compressão permanece elástico. O problema é descrito pelo seguinte conjunto de parâmetros. Consideram-se pequenas deformações e o peso próprio é negligenciado neste exemplo. Determine a deflexão máxima u_z,max.

Material	Elástico-Plástico	Módulo de Elasticidade	E	210000.000	MPa
		Coeficiente de Poisson	ν	0.000	-
		Módulo de Cisalhamento	G	105000.000	MPa
		Resistência Plástica à Tração	f_t	0.000	MPa
Geometria	Balanço	Comprimento	L	2.000	m
		Largura	w	0.005	m
		Espessura	t	0.005	m
Carga		Força Transversal	F	4.000	N
Carga		Força Axial	F_a	5000.000	N

Análise de flexão plástica sem resistência à tração, demonstrando distribuição de tensões e deformação nos materiais.

Flexão plástica com resistência à tração nula

Solução Analítica

A força transversal F juntamente com a força axial F_a provoca o estado elástico-plástico da viga em balanço de acordo com o seguinte esboço. O comprimento da zona elástico-plástica é descrito pelo parâmetro x_p. A tensão σ_x é composta pela tensão de flexão σ_b e a tensão compressiva σ_c, sendo definida pela seguinte fórmula:

Ilustração de flexão plástica, destacando a distribuição de tensão quando a resistência à tração é zero, mostrando o seu impacto na estrutura

Flexão plástica com resistência à tração nula – Distribuição de tensões

σ_{x} (x, z) = - κ (x) E (z - z_{0} (x))

Tensão normal

onde κ(x) é a curvatura e o parâmetro z₀(x) é definido de forma que σ_x(x,z₀)=0. A primeira fluência ocorre quando a tensão de flexão na superfície superior na extremidade fixada atinge o valor da tensão compressiva.

\frac{M (0)}{I_{y}} \frac{t}{2} = \frac{F_{a}}{A}

Igualdade de tensões de flexão e compressão

A força transversal resulta em F=2.083 N. Assim, a viga em balanço sob força transversal F=4.000 N está em estado elástico-plástico. Na zona elástico-plástica (x < x_p), o equilíbrio entre momentos de flexão e forças axiais deve ser satisfeito.

M_{ep} = \int_{z_{0}}^{t / 2} - κ_{p} E (z - z_{0}) z w d z = M

Equilíbrio de momentos fletores internos e externos

N_{ep} = \int_{z_{0}}^{t / 2} - κ_{p} E (z - z_{0}) w d z = - F_{a}

Equilíbrio da força normal interna e externa

Resolvendo estas equações, a curvatura na zona elástico-plástica κ_p e o parâmetro z₀ resultam do seguinte modo.

κ_{p} (x) = \frac{8 F_{a}^{3}}{9 E w (F_{a} t + 2 M)^{2}}

Curvatura de resultado

z_{0} (x) = \frac{t}{2} - \frac{3}{2} \frac{F_{a} t + 2 M}{F_{a}}

Parâmetro de resultado z₀

O comprimento da zona elástico-plástica x_p pode ser obtido da última equação sob a condição z₀(x_p)=-t/2.

x_{p} = L - \frac{t F_{a}}{6 F} \approx 958.333 m m

Comprimento da zona elástico-plástica

A curvatura κ_e na zona elástica (x > x_p) é descrita pela fórmula de Bernoulli-Euler:

κ_{e} = - \frac{M}{E I_{y}}

Curvatura na zona elástica

A deflexão máxima u_z,max pode finalmente ser calculada de acordo com a seguinte fórmula

u_{z, \max} = \int_{0}^{x_{p}} κ_{p} (L - x) d x + \int_{x_{p}}^{L} κ_{e} (L - x) d x \approx 1.232 m

Flecha máxima de resultados

Configurações RFEM

Modelado no RFEM 5.26 e RFEM 6.11
O tamanho do elemento é l_FE= 0.020 m
É considerada análise linear geométrica
O número de incrementos é 10
A rigidez ao cisalhamento dos membros é negligenciada

Resultados

Modelo de Material	Solução Analítica	RFEM 6		RFEM 5
Modelo de Material	u_z,max [m]	u_z,max [m]	Razão [-]	u_z,max [m]	Razão [-]
Isotrópico Não Linear Elástico 1D	1.232	1.231	0.999	1.231	0.999
Alvenaria Isotrópica 2D		1.237	1.004	1.237	1.004
Não Linear Elástico 2D/3D, Mohr - Coulomb		1.237	1.004	1.237	1.004
Não Linear Elástico 2D/3D, Drucker - Prager		1.237	1.004	1.237	1.004
Isotrópico Plástico 2D/3D, Mohr - Coulomb		1.237	1.004	1.237	1.004
Isotrópico Plástico 2D/3D, Drucker - Prager		1.237	1.004	1.236	1.003

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Exemplo de verificação 0021 | 1

Referências

Lubliner, J. (1990). Teoria da plasticidade. Nova Iorque: MacMillan.

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