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2025-08-22

VE0021 | 塑性弯曲与零抗拉强度

一个悬臂梁在左端 (x = 0) 固定不动，右端承受一个横向力 F 和一个轴向力 F_a。抗拉强度为零，压缩行为保持弹性。问题由以下一组参数描述。考虑小变形，在此示例中忽略自重。确定最大挠度 u_z,max。

零抗拉强度的塑性弯曲

横向力 F 与轴向力 F_a共同作用使悬臂梁处于弹塑性状态，参见下面的示意图。弹塑性区长度由参数 x_p 描述。应力 σ_x 由弯曲应力 σ_b 和压缩应力 σ_c 组成，其根据以下公式定义：

σ_{x} (x, z) = - κ (x) E (z - z_{0} (x))

正常应力

其中 κ(x) 为曲率，参数 z₀(x) 的定义满足 σ_x(x,z₀)=0。当固定端顶部表面的弯曲应力达到压缩应力的值时，会发生第一次屈服。

\frac{M (0)}{I_{y}} \frac{t}{2} = \frac{F_{a}}{A}

得出横向力 F=2.083 N。因此，横向力 F=4.000 N 使悬臂梁处于弹塑性状态。在弹塑性区 (x < x_p)，必须满足弯矩和平衡的轴向力之间的平衡。

M_{ep} = \int_{z_{0}}^{t / 2} - κ_{p} E (z - z_{0}) z w d z = M

内外弯矩的平衡

N_{ep} = \int_{z_{0}}^{t / 2} - κ_{p} E (z - z_{0}) w d z = - F_{a}

内、外轴力平衡

解这些方程，得到弹塑性区的曲率 κ_p 和参数 z₀。

κ_{p} (x) = \frac{8 F_{a}^{3}}{9 E w (F_{a} t + 2 M)^{2}}

结果曲率

z_{0} (x) = \frac{t}{2} - \frac{3}{2} \frac{F_{a} t + 2 M}{F_{a}}

结果参数 z₀

根据最后一个方程，在条件 z₀(x_p)=-t/2 下，可以求得弹塑性区长度 x_p。

x_{p} = L - \frac{t F_{a}}{6 F} \approx 958.333 m m

弹塑性区长度

弹性区 (x > x_p) 的曲率 κ_e 按照伯努利-欧拉公式描述：

κ_{e} = - \frac{M}{E I_{y}}

弹性区的曲率

最后，可以根据以下公式计算最大挠度 u_z,max。

u_{z, \max} = \int_{0}^{x_{p}} κ_{p} (L - x) d x + \int_{x_{p}}^{L} κ_{e} (L - x) d x \approx 1.232 m

最大挠度结果

599x

参考

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