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22. August 2025

VE0021 | Plastische Biegung mit Null-Zugfestigkeit

Beschreibung

Ein Kragarm ist am linken Ende (x = 0) vollständig eingespannt und wird am rechten Ende mit einer Querlast F und einer Normalkraft F_a belastet. Die Zugfestigkeit ist null und das Verhalten im Druck bleibt elastisch. Das Problem wird durch den folgenden Parametersatz beschrieben. Es werden kleinere Verformungen berücksichtigt und das Eigengewicht wird in diesem Beispiel vernachlässigt. Bestimmen Sie die maximale Verformung u_z,max.

Material	Elastisch-Plastisch	Elastizitätsmodul	E	210000.000	MPa
		Poissonzahl	ν	0.000	-
		Schubmodul	G	105000.000	MPa
		Zugplastische Festigkeit	f_t	0.000	MPa
Geometrie	Kragarm	Länge	L	2.000	m
		Breite	w	0.005	m
		Dicke	t	0.005	m
Belastung		Querlast	F	4.000	N
Belastung		Normalkraft	F_a	5000.000	N

Analyse der plastischen Biegung ohne Zugfestigkeit, die die Spannungsverteilung und Verformung in Materialien veranschaulicht.

Plastische Biegung mit Zugfestigkeit Null

Analytische Lösung

Die Querlast F zusammen mit der Normalkraft F_a bewirkt den elastisch-plastischen Zustand des Kragarms gemäß der folgenden Skizze. Die Länge der elastisch-plastischen Zone wird durch den Parameter x_p beschrieben. Die Spannung σ_x setzt sich aus der Biegespannung σ_b und der Druckspannung σ_c zusammen und wird gemäß der folgenden Formel definiert:

Darstellung der plastischen Biegung, die die Spannungsverteilung bei einer Zugfestigkeit von Null hervorhebt und deren Auswirkungen auf die Konstruktion verdeutlicht.

Plastische Biegung mit Zugfestigkeit Null - Spannungsverteilung

σ_{x} (x, z) = - κ (x) E (z - z_{0} (x))

Normalspannung

wobei κ(x) die Krümmung ist und der Parameter z₀(x) so definiert ist, dass σ_x(x,z₀)=0 gilt. Die erste Fließgrenze tritt auf, wenn die Biegespannung an der oberen Fläche am eingespannten Ende den Wert der Druckspannung erreicht.

\frac{M (0)}{I_{y}} \frac{t}{2} = \frac{F_{a}}{A}

Gleichheit von Biegespannung und Druckspannung

Die Querlast ergibt F=2.083 N. Somit befindet sich der Kragarm unter der Querlast F=4.000 N in einem elastisch-plastischen Zustand. In der elastisch-plastischen Zone (x < x_p) muss das Gleichgewicht zwischen Biegemomenten und Normalkräften erfüllt sein.

M_{ep} = \int_{z_{0}}^{t / 2} - κ_{p} E (z - z_{0}) z w d z = M

Gleichgewicht zwischen inneren und äußeren Biegemomenten

N_{ep} = \int_{z_{0}}^{t / 2} - κ_{p} E (z - z_{0}) w d z = - F_{a}

Gleichgewicht zwischen innerer und äußerer Normalkraft

Indem diese Gleichungen gelöst werden, ergibt sich die Krümmung in der elastisch-plastischen Zone κ_p und der Parameter z₀ wie folgt.

κ_{p} (x) = \frac{8 F_{a}^{3}}{9 E w (F_{a} t + 2 M)^{2}}

Ergebniskrümmung

z_{0} (x) = \frac{t}{2} - \frac{3}{2} \frac{F_{a} t + 2 M}{F_{a}}

Ergebnisparameter z₀

Die Länge der elastisch-plastischen Zone x_p kann aus der letzten Gleichung unter der Bedingung z₀(x_p)=-t/2 erhalten werden.

x_{p} = L - \frac{t F_{a}}{6 F} \approx 958.333 m m

Länge der elastisch-plastischen Zone

Die Krümmung κ_e in der elastischen Zone (x > x_p) wird durch die Bernoulli-Euler-Formel beschrieben:

κ_{e} = - \frac{M}{E I_{y}}

Krümmung im elastischen Bereich

Die maximale Verformung u_z,max kann schließlich gemäß der folgenden Formel berechnet werden

u_{z, \max} = \int_{0}^{x_{p}} κ_{p} (L - x) d x + \int_{x_{p}}^{L} κ_{e} (L - x) d x \approx 1.232 m

Ergebnis - Maximale Durchbiegung

RFEM-Einstellungen

Modelliert in RFEM 5.26 und RFEM 6.11
Die Elementgröße beträgt l_FE= 0.020 m
Geometrisch-lineare Analyse wird berücksichtigt
Die Anzahl der Inkremente beträgt 10
Die Schubsteifigkeit der Elemente wird vernachlässigt

Ergebnisse

Materialmodell	Analytische Lösung	RFEM 6		RFEM 5
Materialmodell	u_z,max [m]	u_z,max [m]	Verhältnis [-]	u_z,max [m]	Verhältnis [-]
Isotrope Nichtlineare Elastizität 1D	1.232	1.231	0.999	1.231	0.999
Isotrope Mauerwerksstruktur 2D		1.237	1.004	1.237	1.004
Nichtlineare Elastizität 2D/3D, Mohr - Coulomb		1.237	1.004	1.237	1.004
Nichtlineare Elastizität 2D/3D, Drucker - Prager		1.237	1.004	1.237	1.004
Isotrope Plastizität 2D/3D, Mohr - Coulomb		1.237	1.004	1.237	1.004
Isotrope Plastizität 2D/3D, Drucker - Prager		1.237	1.004	1.236	1.003

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Verifikationsbeispiel 0021 | 1

Referenzen

lubliner, J. (1990) angewendet. Plastizitätstheorie. New York: Macmillan, 2006

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