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2025-08-22

VE0021 | Piegatura plastica con resistenza a trazione zero

Descrizione

Una mensola è completamente fissata all'estremità sinistra (x = 0) e soggetta a una forza trasversale F e a una forza assiale F_a all'estremità destra. La resistenza a trazione è zero ed il comportamento a compressione rimane elastico. Il problema è descritto dal seguente set di parametri. Si considerano piccole deformazioni e in questo esempio si trascura il peso proprio. Determinare la massima deflessione u_z,max.

Materiale	Elastoplastico	Modulo di Elasticità	E	210000.000	MPa
		Coefficiente di Poisson	ν	0.000	-
		Modulo di taglio	G	105000.000	MPa
		Resistenza Plastica a Trazione	f_t	0.000	MPa
Geometria	Mensola	Lunghezza	L	2.000	m
		Larghezza	w	0.005	m
		Spessore	t	0.005	m
Carico		Forza Trasversale	F	4.000	N
Carico		Forza Assiale	F_a	5000.000	N

Analisi della flessione plastica senza resistenza a trazione, mostrando la distribuzione delle tensioni e la deformazione nei materiali

Inflessione plastica con resistenza a trazione zero

Soluzione Analitica

La forza trasversale F insieme alla forza assiale F_a causa lo stato elastoplastico della mensola secondo lo schema seguente. La lunghezza della zona elastoplastica è descritta dal parametro x_p. La tensione σ_x è composta dalla tensione di flessione σ_b e dalla tensione di compressione σ_c, ed è definita secondo la seguente formula:

Illustrazione della flessione plastica evidenziando la distribuzione delle tensioni quando la resistenza alla trazione è zero, mostrando il suo impatto sulla struttura

Flessione plastica con resistenza a trazione nulla - Distribuzione delle tensioni

σ_{x} (x, z) = - κ (x) E (z - z_{0} (x))

Tensione normale

dove κ(x) è la curvatura e il parametro z₀(x) è definito in modo tale che σ_x(x,z₀)=0. Il primo snervamento si verifica quando la tensione di flessione sulla superficie superiore all'estremità fissa raggiunge il valore della tensione di compressione.

\frac{M (0)}{I_{y}} \frac{t}{2} = \frac{F_{a}}{A}

Uguaglianza della tensione di flessione e della Tensione di compressione

La forza trasversale risultante è F=2.083 N. Pertanto, la mensola sotto la forza trasversale F=4.000 N è in uno stato elastoplastico. Nella zona elastoplastica (x < x_p) deve essere soddisfatto l'equilibrio tra momenti flettenti e forze assiali.

M_{ep} = \int_{z_{0}}^{t / 2} - κ_{p} E (z - z_{0}) z w d z = M

Equilibrio dei momenti flettenti interni ed esterni

N_{ep} = \int_{z_{0}}^{t / 2} - κ_{p} E (z - z_{0}) w d z = - F_{a}

Equilibrio della forza assiale interna ed esterna

Risolvendo queste equazioni, la curvatura nella zona elastoplastica κ_p e il parametro z₀ risultano come segue.

κ_{p} (x) = \frac{8 F_{a}^{3}}{9 E w (F_{a} t + 2 M)^{2}}

Curvatura risultante

z_{0} (x) = \frac{t}{2} - \frac{3}{2} \frac{F_{a} t + 2 M}{F_{a}}

Parametro di risultato z₀

La lunghezza della zona elastoplastica x_p può essere ottenuta dall'ultima equazione sotto la condizione z₀(x_p)=-t/2.

x_{p} = L - \frac{t F_{a}}{6 F} \approx 958.333 m m

Lunghezza della zona elastoplastica

La curvatura κ_e nella zona elastica (x > x_p) è descritta dalla formula di Bernoulli-Euler:

κ_{e} = - \frac{M}{E I_{y}}

Curvatura in zona elastica

La massima deflessione u_z,max può infine essere calcolata secondo la seguente formula

u_{z, \max} = \int_{0}^{x_{p}} κ_{p} (L - x) d x + \int_{x_{p}}^{L} κ_{e} (L - x) d x \approx 1.232 m

Massimo spostamento generalizzato

Impostazioni RFEM

Modellato in RFEM 5.26 e RFEM 6.11
La dimensione dell'elemento è l_FE= 0.020 m
Si considera un'analisi linearmente geometrica
Il numero di incrementi è 10
La rigidezza a taglio degli elementi è trascurata

Risultati

Modello Materiale	Soluzione Analitica	RFEM 6		RFEM 5
Modello Materiale	u_z,max [m]	u_z,max [m]	Rapporto [-]	u_z,max [m]	Rapporto [-]
Elastico Isotropo Non Lineare 1D	1.232	1.231	0.999	1.231	0.999
Muratura Isotropa 2D		1.237	1.004	1.237	1.004
Elastico Non Lineare 2D/3D, Mohr - Coulomb		1.237	1.004	1.237	1.004
Elastico Non Lineare 2D/3D, Drucker - Prager		1.237	1.004	1.237	1.004
Plastico Isotropo 2D/3D, Mohr - Coulomb		1.237	1.004	1.237	1.004
Plastico Isotropo 2D/3D, Drucker - Prager		1.237	1.004	1.236	1.003

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Esempio di verifica 0021 | 1

Bibliografia

Lublino, J. (1990). Teoria della plasticità. New York: Macmillan.

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