57x

22.8.2025

VE0021 | Plastický ohyb s nulovou pevností v tahu

Popis

Konzola je plně fixována na levém konci (x = 0) a zatížena příčnou silou F a axiální silou F_a na pravém konci. Pevnost v tahu je nulová a chování při tlaku zůstává elastické. Problém je popsán následující sadou parametrů. Zvažují se malé deformace a vlastní tíha se v tomto příkladu zanedbává. Určete maximální průhyb u_z,max.

Materiál	Elasticko-plastický	Modul pružnosti	E	210000,000	MPa
		Poissonův poměr	ν	0,000	-
		Smykový modul	G	105000,000	MPa
		Pevnost v tahu	f_t	0,000	MPa
Geometrie	Konzola	Délka	L	2,000	m
		Šířka	w	0,005	m
		Tloušťka	t	0,005	m
Zatížení		Příčná síla	F	4,000	N
Zatížení		Axiální síla	F_a	5000,000	N

Analýza plastického ohybu bez pevnosti v tahu s ukázkou rozložení napětí a deformace v materiálech

Plastický ohyb s nulovou pevností v tahu

Analytické řešení

Příčná síla F spolu s axiální silou F_a způsobuje elasticko-plastický stav konzoly podle následujícího náčrtu. Délka elasticko-plastické zóny je popsána parametrem x_p. Napětí σ_x je složeno z ohybového napětí σ_b a tlakového napětí σ_c, a je definováno podle následujícího vzorce:

Znázornění plastického ohybu, který zvýrazňuje rozložení napětí při nulové pevnosti v tahu, a ukazuje jeho dopad na konstrukci.

Plastický ohyb s nulovou pevností v tahu - Průběh napětí

σ_{x} (x, z) = - κ (x) E (z - z_{0} (x))

Normálové napětí

kde κ(x) je zakřivení a parametr z₀(x) je definován tak, aby platilo σ_x(x,z₀)=0. První výnos nastává, když ohybové napětí na horním povrchu na pevném konci dosáhne hodnoty tlakového napětí.

\frac{M (0)}{I_{y}} \frac{t}{2} = \frac{F_{a}}{A}

Rovnost napětí v ohybu a napětí v tlaku

Příčná síla je F=2,083 N. Tím pádem je konzola při příčné síle F=4,000 N v elasticko-plastickém stavu. V elasticko-plastické zóně (x < x_p) musí být splněna rovnováha mezi ohybovými momenty a axiálními silami.

M_{ep} = \int_{z_{0}}^{t / 2} - κ_{p} E (z - z_{0}) z w d z = M

Rovnováha vnitřních a vnějších ohybových momentů

N_{ep} = \int_{z_{0}}^{t / 2} - κ_{p} E (z - z_{0}) w d z = - F_{a}

Rovnováha vnitřních a vnějších normálových sil

Řešením těchto rovnic se výsledné zakřivení v elasticko-plastické zóně κ_p a parametr z₀ uvádějí následující.

κ_{p} (x) = \frac{8 F_{a}^{3}}{9 E w (F_{a} t + 2 M)^{2}}

Zakřivení výsledků

z_{0} (x) = \frac{t}{2} - \frac{3}{2} \frac{F_{a} t + 2 M}{F_{a}}

Parametr výsledků z₀

Délka elasticko-plastické zóny x_p může být získána z poslední rovnice za podmínky z₀(x_p)=-t/2.

x_{p} = L - \frac{t F_{a}}{6 F} \approx 958.333 m m

Délka elasticko-plastické oblasti

Zakřivení κ_e v elastické zóně (x > x_p) je popsáno Bernoulliho-Eulerovou formulí:

κ_{e} = - \frac{M}{E I_{y}}

Zakřivení v pružné oblasti

Maximální průhyb u_z,max lze nakonec vypočítat podle následujícího vzorce

u_{z, \max} = \int_{0}^{x_{p}} κ_{p} (L - x) d x + \int_{x_{p}}^{L} κ_{e} (L - x) d x \approx 1.232 m

Výsledné maximální vybočení

Nastavení RFEM

Modelováno v RFEMu 5.26 a RFEMu 6.11
Velikost prvku je l_FE= 0,020 m
Zvažuje se geometricky lineární analýza
Počet kroků je 10
Smyková tuhost členů je zanedbána

Výsledky

Model Materiálu	Analytické řešení	RFEM 6		RFEM 5
Model Materiálu	u_z,max [m]	u_z,max [m]	Poměr [-]	u_z,max [m]	Poměr [-]
Izotropní Nelineární Elastický 1D	1,232	1,231	0,999	1,231	0,999
Izotropní Zdivo 2D		1,237	1,004	1,237	1,004
Nelineární Elastický 2D/3D, Mohr - Coulomb		1,237	1,004	1,237	1,004
Nelineární Elastický 2D/3D, Drucker - Prager		1,237	1,004	1,237	1,004
Izotropní Plastický 2D/3D, Mohr - Coulomb		1,237	1,004	1,237	1,004
Izotropní Plastický 2D/3D, Drucker - Prager		1,237	1,004	1,236	1,003

591x

Verifikační příklad 0021 | 1

Reference

Lubliner, J. (1990). Teorie plasticity. New York: Macmillan.

;