65x

2025-08-22

VE0021 | Zginanie plastyczne z zerową wytrzymałością na rozciąganie

Opis

Konsola jest całkowicie zamocowana na lewym końcu (x = 0) i poddana działaniu siły poprzecznej F oraz siły osiowej F_a na prawym końcu. Wytrzymałość na rozciąganie wynosi zero, a zachowanie przy ściskaniu pozostaje sprężyste. Problem opisany jest przez następujący zestaw parametrów. Uwzględniono małe deformacje, a w tym przykładzie zaniedbano własny ciężar. Określić maksymalne ugięcie u_z,max.

Materiał	Sprężysto-Plastyczny	Moduł sprężystości	E	210000.000	MPa
		Współczynnik Poissona	ν	0.000	-
		Moduł ścinania	G	105000.000	MPa
		Wytrzymałość plastyczna na rozciąganie	f_t	0.000	MPa
Geometria	Konsola	Długość	L	2.000	m
		Szerokość	w	0.005	m
		Grubość	t	0.005	m
Obciążenie		Siła poprzeczna	F	4.000	N
Obciążenie		Siła osiowa	F_a	5000.000	N

Analiza zginania plastycznego bez wytrzymałości na rozciąganie. Rozkład naprężeń i deformacje w materiałach

Zginanie plastyczne z zerową wytrzymałością na rozciąganie

Rozwiązanie Analityczne

Siła poprzeczna F wraz z siłą osiową F_a powoduje stan sprężysto-plastyczny konsoli według poniższego szkicu. Długość strefy sprężysto-plastycznej opisana jest przez parametr x_p. Naprężenie σ_x składa się z naprężenia zginającego σ_b oraz naprężenia ściskającego σ_c i jest zdefiniowane według poniższej formuły:

Ilustracja zginania plastycznego podkreślająca rozkład naprężeń, gdy wytrzymałość na rozciąganie wynosi zero, ukazująca jej wpływ na konstrukcję.

Zginanie plastyczne z zerową wytrzymałością na rozciąganie - Rozkład naprężeń

σ_{x} (x, z) = - κ (x) E (z - z_{0} (x))

Naprężenie normalne

gdzie κ(x) jest krzywizną, a parametr z₀(x) jest zdefiniowany tak, aby σ_x(x,z₀)=0. Pierwsze uplastycznienie występuje, gdy naprężenie zginające na górnej powierzchni na zamocowanym końcu osiąga wartość naprężenia ściskającego.

\frac{M (0)}{I_{y}} \frac{t}{2} = \frac{F_{a}}{A}

Równość naprężeń zginających i naprężeń ściskających

Siła poprzeczna wynosi F=2,083 N. Zatem, konsola przy sile poprzecznej F=4,000 N znajduje się w stanie sprężysto-plastycznym. W strefie sprężysto-plastycznej (x < x_p) musi być spełniona równowaga momentów zginających i sił osiowych.

M_{ep} = \int_{z_{0}}^{t / 2} - κ_{p} E (z - z_{0}) z w d z = M

Równowaga wewnętrznych i zewnętrznych momentów zginających

N_{ep} = \int_{z_{0}}^{t / 2} - κ_{p} E (z - z_{0}) w d z = - F_{a}

Równowaga wewnętrznej i zewnętrznej siły normalnej

Rozwiązując te równania, krzywizna w strefie sprężysto-plastycznej κ_p i parametr z₀ są następujące.

κ_{p} (x) = \frac{8 F_{a}^{3}}{9 E w (F_{a} t + 2 M)^{2}}

Krzywizna wyników

z_{0} (x) = \frac{t}{2} - \frac{3}{2} \frac{F_{a} t + 2 M}{F_{a}}

Parametr wyniku z₀

Długość strefy sprężysto-plastycznej x_p można uzyskać z ostatniego równania pod warunkiem z₀(x_p)=-t/2.

x_{p} = L - \frac{t F_{a}}{6 F} \approx 958.333 m m

Długość strefy sprężysto-plastycznej

Krzywizna κ_e w strefie sprężystej (x > x_p) jest opisana przez formułę Bernoulli-Eulera:

κ_{e} = - \frac{M}{E I_{y}}

Krzywizna w strefie sprężystej

Maksymalne ugięcie u_z,max można ostatecznie obliczyć według poniższej formuły

u_{z, \max} = \int_{0}^{x_{p}} κ_{p} (L - x) d x + \int_{x_{p}}^{L} κ_{e} (L - x) d x \approx 1.232 m

Maksymalne ugięcie na wyniku

Ustawienia RFEM

Modelowane w RFEM 5.26 i RFEM 6.11
Wielkość elementu wynosi l_FE= 0,020 m
Uwzględniona analiza geometrycznie liniowa
Liczba przyrostów wynosi 10
Sztywność na ścinanie prętów jest pominięta

Wyniki

Model materiału	Rozwiązanie analityczne	RFEM 6		RFEM 5
Model materiału	u_z,max [m]	u_z,max [m]	Stosunek [-]	u_z,max [m]	Stosunek [-]
Izotropowy nieliniowy sprężysty 1D	1.232	1.231	0.999	1.231	0.999
Izotropowy murowany 2D		1.237	1.004	1.237	1.004
Nieliniowy sprężysty 2D/3D, Mohr - Coulomb		1.237	1.004	1.237	1.004
Nieliniowy sprężysty 2D/3D, Drucker - Prager		1.237	1.004	1.237	1.004
Izotropowy plastyczny 2D/3D, Mohr - Coulomb		1.237	1.004	1.237	1.004
Izotropowy plastyczny 2D/3D, Drucker - Prager		1.237	1.004	1.236	1.003

594x

Przykład weryfikacyjny 0021 | 1

Odniesienia

Lubliner, J. (1990). Teoria plastyczności. Nowy Jork: Macmillana.

;