Цель
Этот пример служит для верификации результатов пользовательского нелинейного закона материала в RFEM. При этом вручную заданная диаграмма «напряжение-деформация» сравнивается с независимым численным решением, полученным с помощью специально разработанного решателя Ньютона — Рафсона в Python.
Описание модели
В качестве статической системы выбран простой стержень, работающий на растяжение.
| L | 2,0 | m | Длина |
| a | 4 | cm | Квадратное сечение |
| Опирание | Узел 1 | жесткое (жестко защемлено) | |
| Опирание | Узел 2 | свободное | |
| Fz | 750 | kN | Нагрузка в узле 2 |
Для моделирования стали S235 в качестве закона материала выбран степенной закон. Аналитическое описание кривой имеет вид:
$$
\sigma(\epsilon) =
\begin{cases}
E_0 \cdot \epsilon & \text{для } 0 \le \epsilon \le 1{,}119 \cdot 10^{-3} \\
f_y \cdot \sqrt[m]{\dfrac{E_0 \cdot \epsilon}{f_y}} & \text{для } \epsilon \ge 1{,}119 \cdot 10^{-3}
\end{cases}
$$
при
$$
\begin{aligned}
m &= 5 \\
E_0 &= 210\,000 \text{ kN/cm}^2 \\
f_y &= 23{,}5 \text{ kN/cm}^2
\end{aligned}
$$
Для переноса этого закона в RFEM функция была рассчитана в 63 опорных точках. В нелинейной области был выбран шаг Δε = 0,002028, чтобы достичь высокой точности аппроксимации диаграммы. После последней опорной точки выполняется линейная экстраполяция с использованием последнего вычисленного касательного модуля.
Расчет в RFEM выполняется нелинейно по теории I порядка со следующими настройками решателя Ньютона — Рафсона:
- Количество шагов нагрузки: 10
- Максимальное количество итераций: 100
Верификация
Для проверки был разработан Python-скрипт (см. Python-код для примера верификации 9964, нелинейного 1D FEA-примера верификации с использованием метода Ньютона-Рафсона. ), реализующий метод Ньютона — Рафсона для решения нелинейного условия равновесия. Расчет основан на заданной функции материала и служит независимой проверкой вычислительных результатов из RFEM.
Сравнение результатов
В следующей таблице сопоставлены перемещения u узла 2 для 10 шагов нагрузки:
| Нагрузка P [kN] | uRFEM6 [mm] | uСкрипт [mm] | Абс. откл. [mm] | Отн. откл. [%] |
|---|---|---|---|---|
| 75,00 | 0,4464 | 0,4460 | 0,0004 | 0,09% |
| 150,00 | 0,8929 | 0,8930 | 0,0001 | 0,01% |
| 225,00 | 1,3393 | 1,3390 | 0,0003 | 0,02% |
| 300,00 | 1,7857 | 1,7860 | 0,0003 | 0,02% |
| 375,00 | 2,2321 | 2,2320 | 0,0001 | 0,00% |
| 450,00 | 5,7128 | 5,4950 | 0,2178 | 3,81% |
| 524,99 | 12,0050 | 11,8780 | 0,1270 | 1,06% |
| 599,99 | 23,1933 | 23,1580 | 0,0353 | 0,15% |
| 674,99 | 41,7599 | 41,7310 | 0,0289 | 0,07% |
| 749,98 | 70,6726 | 70,6720 | 0,0006 | 0,00% |
Итог
Результаты анализа в RFEM практически полностью совпадают с независимым эталонным расчетом.
| Макс. абсолютное отклонение | 0,2178 mm |
| Макс. относительное отклонение | 3,81% |
| Коэффициент детерминации R2 | 0,999987 |
| Отн. отклонение (последний шаг нагрузки) | 0,00% |
Численная верификация подтверждает отличное совпадение между расчетом в RFEM и эталонным решением. Максимальное относительное отклонение 3,81% возникает локально в переходной области к пластической деформации и обусловлено дискретизацией непрерывного степенного закона в дискретные опорные точки диаграммы. На конечном шаге нагрузки разница между обеими моделями составляет менее 0,01% и является пренебрежимо малой. При коэффициенте детерминации R2 ≈ 1,0 корректность реализованной модели материала в RFEM 6 подтверждена.