Zielstellung
Dieses Beispiel dient der Validierung der Ergebnisse eines benutzerdefinierten nichtlinearen Materialgesetzes in RFEM. Hierbei wird ein manuell definiertes Spannungs-Dehnungs-Diagramm mit einer unabhängigen numerischen Lösung verglichen, die mittels eines eigens entwickelten Newton-Raphson-Solvers in Python erstellt wurde.
Modellbeschreibung
Als statisches System wird ein einfacher Zugstab gewählt.
| L | 2,0 | m | Länge |
| a | 4 | cm | Querschnitt quadratisch |
| Lagerung | Knoten 1 | fest (Fest eingespannt) | |
| Lagerung | Knoten 2 | frei | |
| Fz | 750 | kN | Belastung an Knoten 2 |
Für die Abbildung eines Stahls S235 wird ein Potenzansatz als Materialgesetz gewählt. Die analytische Beschreibung der Kurve lautet:
$$
\sigma(\epsilon) =
\begin{cases}
E_0 \cdot \epsilon & \text{für } 0 \le \epsilon \le 1{,}119 \cdot 10^{-3} \\
f_y \cdot \sqrt[m]{\dfrac{E_0 \cdot \epsilon}{f_y}} & \text{für } \epsilon \ge 1{,}119 \cdot 10^{-3}
\end{cases}
$$
mit
$$
\begin{aligned}
m &= 5 \\
E_0 &= 210\,000 \text{ kN/cm}^2 \\
f_y &= 23{,}5 \text{ kN/cm}^2
\end{aligned}
$$
Um dieses Gesetz in RFEM zu übertragen, wurde die Funktion an 63 Stützstellen ausgewertet. Im nichtlinearen Bereich wurde dabei eine Schrittweite von Δε = 0,002028 gewählt, um eine hohe Abbildungsgüte im Diagramm zu erreichen. Nach der letzten Stützstelle erfolgt die Extrapolation linear mit dem zuletzt berechneten Tangentenmodul.
Die Berechnung in RFEM erfolgt nichtlinear nach Theorie I. Ordnung mit folgenden Einstellungen für den Newton-Raphson-Solver:
- Anzahl der Laststufen: 10
- Maximale Anzahl der Iterationen: 100
Verifikation
Zur Verifizierung wurde ein Python-Skript (siehe Python-Code für das Verifikationsbeispiel 9964, ein nichtlineares 1D-FEM-Verifikationsbeispiel mit Verwendung der Newton-Raphson-Methode. ) entwickelt, das das Newton-Raphson-Verfahren zur Lösung der nichtlinearen Gleichgewichtsbedingung implementiert. Die Berechnung basiert auf der definierten Materialfunktion und dient der unabhängigen Kontrolle der rechnerischen Ergebnisse aus RFEM.
Ergebnisvergleich
In der folgenden Tabelle sind die Verschiebungen u des Knotens 2 für die 10 Laststufen gegenübergestellt:
| Last P [kN] | uRFEM6 [mm] | uSkript [mm] | Abs. Abw. [mm] | Rel. Abw. [%] |
|---|---|---|---|---|
| 75,00 | 0,4464 | 0,4460 | 0,0004 | 0,09% |
| 150,00 | 0,8929 | 0,8930 | 0,0001 | 0,01% |
| 225,00 | 1,3393 | 1,3390 | 0,0003 | 0,02% |
| 300,00 | 1,7857 | 1,7860 | 0,0003 | 0,02% |
| 375,00 | 2,2321 | 2,2320 | 0,0001 | 0,00% |
| 450,00 | 5,7128 | 5,4950 | 0,2178 | 3,81% |
| 524,99 | 12,0050 | 11,8780 | 0,1270 | 1,06% |
| 599,99 | 23,1933 | 23,1580 | 0,0353 | 0,15% |
| 674,99 | 41,7599 | 41,7310 | 0,0289 | 0,07% |
| 749,98 | 70,6726 | 70,6720 | 0,0006 | 0,00% |
Zusammenfassung
Die Ergebnisse der RFEM-Analyse decken sich nahezu deckungsgleich mit der unabhängigen Referenzrechnung.
| Max. absolute Abweichung | 0,2178 mm |
| Max. relative Abweichung | 3,81% |
| Bestimmtheitsmaß R2 | 0,999987 |
| Rel. Abweichung (Endlaststufe) | 0,00% |
Die numerische Verifikation bestätigt eine exzellente Übereinstimmung zwischen der RFEM-Berechnung und der Referenzlösung. Die maximale relative Abweichung von 3,81% tritt lokal im Übergangsbereich zur plastischen Dehnung auf und ist auf die Diskretisierung des stetigen Potenzansatzes in diskrete Diagramm-Stützstellen zurückzuführen. In der finalen Laststufe ist die Differenz zwischen beiden Modellen mit weniger als 0,01% vernachlässigbar gering. Mit einem Bestimmtheitsmaß von R2 ≈ 1,0 ist die Korrektheit des implementierten Materialmodells in RFEM 6 nachgewiesen.