Objectif
Cet exemple sert à la validation des résultats d’une loi de matériau non linéaire définie par l’utilisateur dans RFEM. Un diagramme contrainte-déformation défini manuellement est ici comparé à une solution numérique indépendante, établie à l’aide d’un solveur Newton-Raphson développé en Python.
Description du modèle
Comme système statique, on choisit une barre de traction simple.
| L | 2,0 | m | Longueur |
| a | 4 | cm | Section carrée |
| Lagerung | Nœud 1 | fixe (encastré) | |
| Lagerung | Nœud 2 | libre | |
| Fz | 750 | kN | Charge au nœud 2 |
Pour représenter un acier S235, une loi de matériau de type loi puissance est choisie. La description analytique de la courbe est la suivante :
$$
\sigma(\epsilon) =
\begin{cases}
E_0 \cdot \epsilon & \text{pour } 0 \le \epsilon \le 1{,}119 \cdot 10^{-3} \\
f_y \cdot \sqrt[m]{\dfrac{E_0 \cdot \epsilon}{f_y}} & \text{pour } \epsilon \ge 1{,}119 \cdot 10^{-3}
\end{cases}
$$
avec
$$
\begin{aligned}
m &= 5 \\
E_0 &= 210\,000 \text{ kN/cm}^2 \\
f_y &= 23{,}5 \text{ kN/cm}^2
\end{aligned}
$$
Pour transférer cette loi dans RFEM, la fonction a été évaluée sur 63 points d’appui. Dans le domaine non linéaire, un pas de Δε = 0,002028 a été choisi afin d’obtenir une représentation de haute qualité dans le diagramme. Après le dernier point d’appui, l’extrapolation est linéaire avec le dernier module tangent calculé.
Le calcul dans RFEM est effectué de manière non linéaire selon la théorie du premier ordre avec les paramètres suivants pour le solveur Newton-Raphson :
- Nombre d’incréments de charge : 10
- Nombre maximal d’itérations : 100
Vérification
Pour la vérification, un script Python (voir Code Python pour l’exemple de vérification 9964, un exemple de vérification non linéaire de MEF 1D utilisant la méthode de Newton-Raphson. ) a été développé, qui implémente la méthode de Newton-Raphson pour résoudre la condition d’équilibre non linéaire. Le calcul repose sur la fonction de matériau définie et sert au contrôle indépendant des résultats de calcul obtenus avec RFEM.
Comparaison des résultats
Le tableau suivant compare les déplacements u du nœud 2 pour les 10 incréments de charge :
| Charge P [kN] | uRFEM6 [mm] | uScript [mm] | Écart abs. [mm] | Écart rel. [%] |
|---|---|---|---|---|
| 75,00 | 0,4464 | 0,4460 | 0,0004 | 0,09% |
| 150,00 | 0,8929 | 0,8930 | 0,0001 | 0,01% |
| 225,00 | 1,3393 | 1,3390 | 0,0003 | 0,02% |
| 300,00 | 1,7857 | 1,7860 | 0,0003 | 0,02% |
| 375,00 | 2,2321 | 2,2320 | 0,0001 | 0,00% |
| 450,00 | 5,7128 | 5,4950 | 0,2178 | 3,81% |
| 524,99 | 12,0050 | 11,8780 | 0,1270 | 1,06% |
| 599,99 | 23,1933 | 23,1580 | 0,0353 | 0,15% |
| 674,99 | 41,7599 | 41,7310 | 0,0289 | 0,07% |
| 749,98 | 70,6726 | 70,6720 | 0,0006 | 0,00% |
Résumé
Les résultats de l’analyse RFEM concordent presque parfaitement avec le calcul de référence indépendant.
| Max. absolute Abweichung | 0,2178 mm |
| Max. relative Abweichung | 3,81% |
| Coefficient de détermination R2 | 0,999987 |
| Écart rel. (dernier incrément de charge) | 0,00% |
La vérification numérique confirme une excellente concordance entre le calcul RFEM et la solution de référence. L’écart relatif maximal de 3,81 % apparaît localement dans la zone de transition vers la déformation plastique et est dû à la discrétisation de la loi puissance continue en points d’appui discrets du diagramme. À l’incrément de charge final, la différence entre les deux modèles est négligeable avec moins de 0,01 %. Avec un coefficient de détermination de R2 ≈ 1,0, la validité du modèle de matériau implémenté dans RFEM 6 est démontrée.