Cel
Niniejszy przykład służy do walidacji wyników niestandardowego nieliniowego prawa materiałowego w RFEM. Porównano tutaj ręcznie zdefiniowany diagram naprężenie-odkształcenie z niezależnym rozwiązaniem numerycznym, które zostało opracowane za pomocą własnego solvera Newtona-Raphsona w Pythonie.
Opis modelu
Jako układ statyczny wybrano prosty pręt rozciągany.
| L | 2,0 | m | długość |
| a | 4 | cm | przekrój kwadratowy |
| Podparcie | węzeł 1 | utwierdzone (sztywne zamocowanie) | |
| Podparcie | węzeł 2 | wolne | |
| Fz | 750 | kN | obciążenie w węźle 2 |
Do odwzorowania stali S235 wybrano potęgowe prawo materiałowe. Analityczny opis krzywej ma postać:
$$
\sigma(\epsilon) =
\begin{cases}
E_0 \cdot \epsilon & \text{dla } 0 \le \epsilon \le 1{,}119 \cdot 10^{-3} \\
f_y \cdot \sqrt[m]{\dfrac{E_0 \cdot \epsilon}{f_y}} & \text{dla } \epsilon \ge 1{,}119 \cdot 10^{-3}
\end{cases}
$$
z
$$
\begin{aligned}
m &= 5 \\
E_0 &= 210\,000 \text{ kN/cm}^2 \\
f_y &= 23{,}5 \text{ kN/cm}^2
\end{aligned}
$$
Aby przenieść to prawo do RFEM, funkcję wyznaczono w 63 punktach podparcia. W zakresie nieliniowym przyjęto krok Δε = 0,002028, aby uzyskać wysoką zgodność odwzorowania na diagramie. Po ostatnim punkcie podparcia ekstrapolacja przebiega liniowo z ostatnio obliczonym modułem stycznym.
Obliczenia w RFEM są wykonywane nieliniowo według teorii I rzędu z następującymi ustawieniami solvera Newtona-Raphsona:
- liczba przyrostów obciążenia: 10
- maksymalna liczba iteracji: 100
Weryfikacja
Do weryfikacji opracowano skrypt Python (zob. Kod Python dla przykładu weryfikacyjnego 9964, nieliniowego przykładu weryfikacyjnego MES 1D z zastosowaniem metody Newtona-Raphsona. ), który implementuje metodę Newtona-Raphsona do rozwiązania nieliniowego warunku równowagi. Obliczenia opierają się na zdefiniowanej funkcji materiałowej i służą do niezależnej kontroli wyników obliczeń z RFEM.
Porównanie wyników
W poniższej tabeli zestawiono przemieszczenia u węzła 2 dla 10 przyrostów obciążenia:
| Obciążenie P [kN] | uRFEM6 [mm] | uSkrypt [mm] | Odch. abs. [mm] | Odch. rel. [%] |
|---|---|---|---|---|
| 75,00 | 0,4464 | 0,4460 | 0,0004 | 0,09% |
| 150,00 | 0,8929 | 0,8930 | 0,0001 | 0,01% |
| 225,00 | 1,3393 | 1,3390 | 0,0003 | 0,02% |
| 300,00 | 1,7857 | 1,7860 | 0,0003 | 0,02% |
| 375,00 | 2,2321 | 2,2320 | 0,0001 | 0,00% |
| 450,00 | 5,7128 | 5,4950 | 0,2178 | 3,81% |
| 524,99 | 12,0050 | 11,8780 | 0,1270 | 1,06% |
| 599,99 | 23,1933 | 23,1580 | 0,0353 | 0,15% |
| 674,99 | 41,7599 | 41,7310 | 0,0289 | 0,07% |
| 749,98 | 70,6726 | 70,6720 | 0,0006 | 0,00% |
Podsumowanie
Wyniki analizy RFEM są niemal identyczne z niezależnym obliczeniem referencyjnym.
| Maks. odchylenie bezwzględne | 0,2178 mm |
| Maks. odchylenie względne | 3,81% |
| Współczynnik determinacji R2 | 0,999987 |
| Odch. wzgl. (końcowy stopień obciążenia) | 0,00% |
Weryfikacja numeryczna potwierdza doskonałą zgodność między obliczeniami RFEM a rozwiązaniem referencyjnym. Maksymalne odchylenie względne 3,81% występuje lokalnie w obszarze przejściowym do odkształcenia plastycznego i wynika z dyskretyzacji ciągłego potęgowego prawa materiałowego do dyskretnych punktów podparcia diagramu. W końcowym stopniu obciążenia różnica między obydwoma modelami jest znikoma i wynosi mniej niż 0,01%. Ze współczynnikiem determinacji R2 ≈ 1,0 poprawność zaimplementowanego modelu materiałowego w RFEM 6 została potwierdzona.