Obiettivo
Questo esempio serve alla validazione dei risultati di una legge costitutiva non lineare definita dall’utente in RFEM. In questo caso, un diagramma tensione-deformazione definito manualmente viene confrontato con una soluzione numerica indipendente, creata mediante un solutore Newton-Raphson sviluppato appositamente in Python.
Descrizione del modello
Come sistema statico viene scelto un semplice tirante.
| L | 2,0 | m | Lunghezza |
| a | 4 | cm | Sezione quadrata |
| Vincolo | Nodo 1 | incastrato (incastro fisso) | |
| Vincolo | Nodo 2 | libero | |
| Fz | 750 | kN | Carico al nodo 2 |
Per rappresentare un acciaio S235 viene scelto un approccio a potenza come legge costitutiva. La descrizione analitica della curva è la seguente:
$$
\sigma(\epsilon) =
\begin{cases}
E_0 \cdot \epsilon & \text{per } 0 \le \epsilon \le 1{,}119 \cdot 10^{-3} \\
f_y \cdot \sqrt[m]{\dfrac{E_0 \cdot \epsilon}{f_y}} & \text{per } \epsilon \ge 1{,}119 \cdot 10^{-3}
\end{cases}
$$
con
$$
\begin{aligned}
m &= 5 \\
E_0 &= 210\,000 \text{ kN/cm}^2 \\
f_y &= 23{,}5 \text{ kN/cm}^2
\end{aligned}
$$
Per trasferire questa legge in RFEM, la funzione è stata valutata in 63 punti di supporto. Nell’intervallo non lineare è stato scelto un passo di Δε = 0,002028 per ottenere un’elevata qualità di rappresentazione nel diagramma. Dopo l’ultimo punto di supporto, l’extrapolazione avviene linearmente con l’ultimo modulo tangente calcolato.
Il calcolo in RFEM avviene in modo non lineare secondo la Teoria del 1° ordine con le seguenti impostazioni per il solutore Newton-Raphson:
- Numero di incrementi di carico: 10
- Numero massimo di iterazioni: 100
Verifica
Per la verifica è stato sviluppato uno script Python (vedi Codice Python per l'esempio di verifica 9964, un esempio di verifica FEA 1D non lineare che utilizza il metodo di Newton-Raphson. ) che implementa il metodo di Newton-Raphson per la soluzione della condizione di equilibrio non lineare. Il calcolo si basa sulla funzione materiale definita e serve come controllo indipendente dei risultati numerici ottenuti con RFEM.
Confronto dei risultati
Nella tabella seguente sono confrontati gli spostamenti u del nodo 2 per i 10 incrementi di carico:
| Carico P [kN] | uRFEM6 [mm] | uScript [mm] | Scost. ass. [mm] | Scost. rel. [%] |
|---|---|---|---|---|
| 75,00 | 0,4464 | 0,4460 | 0,0004 | 0,09% |
| 150,00 | 0,8929 | 0,8930 | 0,0001 | 0,01% |
| 225,00 | 1,3393 | 1,3390 | 0,0003 | 0,02% |
| 300,00 | 1,7857 | 1,7860 | 0,0003 | 0,02% |
| 375,00 | 2,2321 | 2,2320 | 0,0001 | 0,00% |
| 450,00 | 5,7128 | 5,4950 | 0,2178 | 3,81% |
| 524,99 | 12,0050 | 11,8780 | 0,1270 | 1,06% |
| 599,99 | 23,1933 | 23,1580 | 0,0353 | 0,15% |
| 674,99 | 41,7599 | 41,7310 | 0,0289 | 0,07% |
| 749,98 | 70,6726 | 70,6720 | 0,0006 | 0,00% |
Riepilogo
I risultati dell’analisi RFEM coincidono quasi perfettamente con il calcolo di riferimento indipendente.
| Scostamento assoluto max. | 0,2178 mm |
| Scostamento relativo max. | 3,81% |
| Coefficiente di determinazione R2 | 0,999987 |
| Scostamento rel. (ultimo incremento di carico) | 0,00% |
La verifica numerica conferma un’eccellente corrispondenza tra il calcolo RFEM e la soluzione di riferimento. Lo scostamento relativo massimo del 3,81% si verifica localmente nella zona di transizione verso la deformazione plastica ed è dovuto alla discretizzazione dell’approccio continuo a potenza in punti di supporto discreti del diagramma. Nell’ultimo incremento di carico, la differenza tra i due modelli è trascurabilmente ridotta, con meno dello 0,01%. Con un coefficiente di determinazione di R2 ≈ 1,0 è dimostrata la correttezza del modello materiale implementato in RFEM 6.