Objetivo
Este exemplo serve para a validação dos resultados de uma lei constitutiva de material não linear definida pelo usuário no RFEM. Nesse contexto, um diagrama tensão-deformação definido manualmente é comparado com uma solução numérica independente, criada por meio de um solucionador Newton-Raphson desenvolvido especificamente em Python.
Descrição do modelo
Como sistema estrutural, é escolhido um tirante simples.
| L | 2,0 | m | Comprimento |
| a | 4 | cm | Seção quadrada |
| Apoio | Nó 1 | fixo (engastado) | |
| Apoio | Nó 2 | livre | |
| Fz | 750 | kN | Carga no nó 2 |
Para a representação de um aço S235, é escolhida uma lei constitutiva com base em uma função de potência. A descrição analítica da curva é a seguinte:
$$
\sigma(\epsilon) =
\begin{cases}
E_0 \cdot \epsilon & \text{para } 0 \le \epsilon \le 1{,}119 \cdot 10^{-3} \\
f_y \cdot \sqrt[m]{\dfrac{E_0 \cdot \epsilon}{f_y}} & \text{para } \epsilon \ge 1{,}119 \cdot 10^{-3}
\end{cases}
$$
com
$$
\begin{aligned}
m &= 5 \\
E_0 &= 210\,000 \text{ kN/cm}^2 \\
f_y &= 23{,}5 \text{ kN/cm}^2
\end{aligned}
$$
Para transferir essa lei para o RFEM, a função foi avaliada em 63 pontos de apoio. Na faixa não linear, foi escolhida uma etapa de Δε = 0,002028 para obter uma alta fidelidade de representação no diagrama. Após o último ponto de apoio, a extrapolação é feita linearmente com o último módulo tangente calculado.
O cálculo no RFEM é realizado de forma não linear segundo a teoria de 1ª ordem com as seguintes configurações para o solucionador Newton-Raphson:
- Número de incrementos de carga: 10
- Número máximo de iterações: 100
Verificação
Para a verificação, foi desenvolvido um script em Python (ver Código Python para o Exemplo de verificação 9964, um exemplo de verificação de MEF 1D não linear utilizando o método de Newton-Raphson. ), que implementa o método Newton-Raphson para a solução da condição de equilíbrio não linear. O cálculo baseia-se na função de material definida e serve para o controle independente dos resultados numéricos obtidos no RFEM.
Comparação dos resultados
Na tabela a seguir, são comparados os deslocamentos u do nó 2 para os 10 incrementos de carga:
| Carga P [kN] | uRFEM6 [mm] | uScript [mm] | Desv. abs. [mm] | Desv. rel. [%] |
|---|---|---|---|---|
| 75,00 | 0,4464 | 0,4460 | 0,0004 | 0,09% |
| 150,00 | 0,8929 | 0,8930 | 0,0001 | 0,01% |
| 225,00 | 1,3393 | 1,3390 | 0,0003 | 0,02% |
| 300,00 | 1,7857 | 1,7860 | 0,0003 | 0,02% |
| 375,00 | 2,2321 | 2,2320 | 0,0001 | 0,00% |
| 450,00 | 5,7128 | 5,4950 | 0,2178 | 3,81% |
| 524,99 | 12,0050 | 11,8780 | 0,1270 | 1,06% |
| 599,99 | 23,1933 | 23,1580 | 0,0353 | 0,15% |
| 674,99 | 41,7599 | 41,7310 | 0,0289 | 0,07% |
| 749,98 | 70,6726 | 70,6720 | 0,0006 | 0,00% |
Resumo
Os resultados da análise no RFEM coincidem quase perfeitamente com o cálculo de referência independente.
| Desvio absoluto máx. | 0,2178 mm |
| Desvio relativo máx. | 3,81% |
| Coeficiente de determinação R2 | 0,999987 |
| Desvio rel. (último incremento de carga) | 0,00% |
A verificação numérica confirma uma excelente concordância entre o cálculo no RFEM e a solução de referência. O desvio relativo máximo de 3,81% ocorre localmente na região de transição para a deformação plástica e deve-se à discretização da abordagem contínua de potência em pontos discretos de apoio do diagrama. No último incremento de carga, a diferença entre ambos os modelos é desprezível, com menos de 0,01%. Com um coeficiente de determinação de R2 ≈ 1,0, a correção do modelo de material implementado no RFEM 6 está comprovada.