Cíl
Tento příklad slouží k ověření výsledků uživatelsky zadaného nelineárního materiálu v programu RFEM. Zde se porovnává ručně definovaný diagram napětí-přetvoření s nezávislým numerickým řešením vygenerovaným pomocí vlastního řešiče Newton-Raphson, který byl vyvinut v jazyce Python.
Popis modelu
Jako nosná konstrukce se používá jednoduchý tahový prut.
| L | 2,0 | m | Délka |
| a | 4 | cm | Čtvercový průřez |
| Uložení | Uzel 1 | pevné (vetknutí) | |
| Uložení | Uzel 2 | volné | |
| Fz | 750 | kN | zatížení v uzlu 2 |
Pro modelování oceli S235 se jako materiálový zákon používá mocninný zákon. Analytický popis křivky je následující:
$$
\sigma(\epsilon) =
\begin{cases}
E_0 \cdot \epsilon & \text{pro } 0 \le \epsilon \le 1{,}119 \cdot 10^{-3} \\
f_y \cdot \sqrt[m]{\dfrac{E_0 \cdot \epsilon}{f_y}} & \text{pro } \epsilon \ge 1{,}119 \cdot 10^{-3}
\end{cases}
$$
s
$$
\begin{aligned}
m &= 5 \\
E_0 &= 210\,000 \text{ kN/cm}^2 \\
f_y &= 23{,}5 \text{ kN/cm}^2
\end{aligned}
$$
Pro implementaci tohoto zákona v programu RFEM byla funkce vyhodnocena v 63 uzlech. V nelineární oblasti byla zvolena velikost kroku Δε = 0,002028, aby bylo dosaženo vysoké přesnosti v diagramu. Po posledním uzlu je funkce lineárně extrapolována s využitím posledního vypočteného tangenciálního modulu.
Výpočet v programu RFEM se provádí nelineárně pomocí lineární statické analýzy s následujícími nastaveními pro řešič Newton-Raphson:
- Počet přírůstků zatížení: 10
- Maximální počet iterací: 100
Ověření
Pro účely ověření byl vyvinut skript v jazyce Python (viz Pythonový kód pro ověřovací příklad 9964, nelineární 1D FEA ověřovací příklad využívající metodu Newton-Raphson. ), který využívá Newtonova-Raphsonovu metodu k řešení nelineární rovnovážné podmínky. Výpočet vychází z definované materiálové funkce a slouží k nezávislému ověření výpočetních výsledků z programu RFEM.
Porovnání výsledků
Následující tabulka porovnává posuny u uzlu 2 pro 10 přírůstků zatížení:
| Zatížení P [kN] | uRFEM6 [mm] | uSkript [mm] | Abs. odch. [mm] | Rel. odch. [%] |
|---|---|---|---|---|
| 75,00 | 0,4464 | 0,4460 | 0,0004 | 0,09% |
| 150,00 | 0,8929 | 0,8930 | 0,0001 | 0,01% |
| 225,00 | 1,3393 | 1,3390 | 0,0003 | 0,02% |
| 300,00 | 1,7857 | 1,7860 | 0,0003 | 0,02% |
| 375,00 | 2,2321 | 2,2320 | 0,0001 | 0,00% |
| 450,00 | 5,7128 | 5,4950 | 0,2178 | 3,81% |
| 524,99 | 12,0050 | 11,8780 | 0,1270 | 1,06% |
| 599,99 | 23,1933 | 23,1580 | 0,0353 | 0,15% |
| 674,99 | 41,7599 | 41,7310 | 0,0289 | 0,07% |
| 749,98 | 70,6726 | 70,6720 | 0,0006 | 0,00% |
Shrnutí
Výsledky analýzy v programu RFEM jsou prakticky totožné s výsledky nezávislého referenčního výpočtu.
| Max. absolutní odchylka | 0,2178 mm |
| Max. relativní odchylka | 3,81 % |
| Korelační součinitel R2 | 0,999987 |
| Relativní odchylka (konečný přírůstek zatížení) | 0,00 % |
Numerické ověření potvrzuje vynikající shodu mezi výpočtem v programu RFEM a referenčním řešením. Maximální relativní odchylka ve výši 3,81 % se vyskytuje lokálně v přechodové oblasti k plastickému přetvoření a je způsobena diskretizací spojitého modelu s mocninovým zákonem na diskrétní uzlové body. V posledním přírůstku zatížení je rozdíl mezi oběma modely zanedbatelný, menší než 0,01 %. Se součinitelem determinace R2 ≈ 1,0 je posouzena správnost materiálového modelu implementovaného v programu RFEM 6.