非线性材料模型损伤

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2017年07月12日

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我之前的一篇文章描述了各向同性非线性弹性材料模型。但是，许多材料没有纯粹对称的非线性材料行为。在这方面，根据前文中提到的von Mises，Drucker-Prager和Mohr-Coulomb的屈服定律也被限制在主应力空间中的屈服面。

图片 01

因此，屈服准则仅适用于纯弹塑性材料的特性。例如，对于受裂纹破坏的材料，更合适的材料模型如下。这种材料的一个很好的例子是混凝土，它的抗压强度比抗拉强度高得多。材料受拉区出现的裂缝会降低系统的刚度。在钢筋混凝土或纤维混凝土中，钢筋吸收拉应力。

理论背景

通常情况下，非线性材料模型通常是通过将当前变形空间中的系统向无应力参考配置转换（见图02）来表示的。例如，您可以在[2]中找到有关该主题的更多信息。

图片 02

局部单元的变形在参考系统中使用张量表示。使用Green-Lagrange应变张量E =½∙（F ^T ∙F-1）导出未变形参考系中的应变，使用Euler-Almansi应变张量e =½∙导出局部坐标系中的应变。（I-b ^-1 ）。由这两个应变得到的线性应变ε=½∙（H + H ^T ）通过部分积分得到，然后通过Cauchy定理和Piola-Kirchhoff应力张量计算系统的名义应力。因此，可以根据连续体的平衡方程确定自由能率。

连续体平衡方程：

质量平衡是指系统质量即使发生变形也保持不变。

公式1

$m = \int_{Bt} ρdν (verformtes System) = \int_{B 0} dV (Referenzsystem) = konstant$
动量平衡作为总动量的时间变化

公式 2

$\frac{d}{dt} \int_{Bt} ρẋdν = \int_{Bt} ρbdν (Volumenkräfte) \int_{δBt} tda (Oberflächenkräfte)$
角动量平衡作为总动量的变化速度

公式 3

$\frac{d}{dt} \int_{Bt} ρx \cdot ẋdν = \int_{Bt} ρ (x \cdot b) dν \int_{δBt} x \cdot td$
热力学第一定律：一个系统的总能量是恒定的。

公式 4

$\frac{d}{dt} \int_{Bt} (u \frac{1}{2} \cdot ẋ \cdot ẋ) ρdν = \int_{Bt} ρr b \cdot ẋdν \int_{δBt} t \cdot ẋ - q \cdot nda$

动能=机械功率+应力面
热力学第二定律：在转移到另一个平面的情况下释放能量（热量）。

公式 5

$\frac{d}{dt} \int_{Bt} ρsdν \geq \int_{Bt} ρ \frac{r}{θ} ν - \int_{δBt} \frac{1}{θ} q \cdot nda$

状态方程（本构方程）描述了实体之间的材料关系。内部变量（自由能ψ，比熵s，柯西应力张量σ，热通量矢量q）用于考虑材料模型中的损伤。在这种情况下，材料的“记忆”，即随时间变化的行为也起着重要的作用。运动学和各向同性的应变硬化考虑了这一点。考虑到材料的损坏，应变分量分解为弹性的塑性部分。塑性部分又被分解为运动学和各向同性的部分。
^ε=εE ^{^+εp→εP} =ε ^异 +ε ^坚

关于非线性弹性材料特性的文章已经解释说，考虑损伤效应的屈服函数取决于应力张量的不变性。具体来说，屈服函数由所谓的Kuhn-Tucker条件决定，该条件表示主应力空间内的所有应力状态都小于0，因此是弹性的。该区域之外的应力是不允许的，并且在修正步骤（预测修正步骤）中会投影到屈服面上。该计算作为检验函数进行，因此必须按照牛顿-拉夫森法进行非线性计算。

图片 03

损伤材料模型中的屈服函数（从[4]中得出）将材料的拉应力和压应力进行区分：

公式6

$\begin{array}{l} d^{+} = g^{+} = 1 - \frac{r_{0}^{+}}{r^{+}} \cdot \{(1 - A^{+}) + A^{+} \exp [B^{+} \cdot (1 - \frac{r^{+}}{r_{0}^{+}})]\} (Gleichung 54, Zug) \\ d^{-} = g^{-} = 1 - \frac{r_{0}^{-}}{r^{-}} \cdot \{(1 - A^{-}) + A^{-} \exp [B^{-} \cdot (1 - \frac{r^{-}}{r_{0}^{-}})]\} (Gleichung 58, Druck) \\ \to d^{+ / -} = r^{+ / -} \cdot h^{+ / -} \leq 0 \end{array}$

在这种情况下，r是能量率，h是函数的应变硬化。变量A和B表示材料损坏。在主应力空间中的应力-应变图也与下一章类似。

RFEM中的损坏

在对本主题进行基本介绍之后，本文将进一步介绍如何在RFEM中处理材料模型。在本文中，我们只提供一个粗略的概述，因此在上下文中可能还存在一些空白。因此，建议使用更多文献[2] 。

由于采用了修正步骤的非线性计算方法，必须在图的第一步中进行线性弹性计算。在RFEM中，第二步的应变取决于在材料对话框中定义的弹性模量和定义的极限应力（见图04）。

图片 04

在这种情况下，应变由胡克定律ε=σ/E决定。在第一个弹性预测器步骤之后，您可以对应力-应变图进行几乎任意的抗公制定义。材料的弹性模量也可以是负的，只要重新计算如下：

公式 7

$\frac{σ_{i} - σ_{i - 1}}{ε_{i} - ε_{i - 1}} = E$

但是，由于弹性模量只需要重新计算该关系，因此也可以使用模量。在使用损伤材料模型的情况下，使用修正迭代进行计算可以确保减小系统的刚度，直到各个有限元单元不再承受任何应力。各个单元中的应变可能非常大。

小结

损伤材料模型允许使用反对称的，几乎任意的应力-应变图进行非线性计算。如果材料损坏，则系统保持连续。也就是说，系统中不会出现裂缝。数值计算将非常耗时。例如，使用自适应有限元网格生成一个新的系统网格。由于这些限制，系统中可能会出现很大的应变。

如果应变很高，您可以手动划分系统。为此可以使用具有相应屈服强度的接触实体。此外，在使用该材料模型时不考虑单元的塑性变形，这在压缩区域特别有用。对于常见的受拉区域开裂问题，材料模型足够准确。

参考

[1]	Barth，C .;勒斯勒，W .： der Baustatik-Praxis中的有限元，第二版。 Berlin: Beuth，2013年
[2]	Nackenhorst，美国： VorlesungsskriptFestkörpermechanik。汉诺威汉诺威莱布尼茨大学力学与计算力学研究所，2015
[3]	Altenbach，H .： Kontinuumsmechanik-Einführungin thematerialunabhängigenundmaterialabhängigenGleichungen，第三版。 Berlin: 施普林格，2015年
[4]	Hürkamp，A .：超高性能纤维混凝土结构的微机械损伤分析与不确定性分析。汉诺威哥德弗里德·威廉·莱布尼兹大学，德国大学力学与计算研究所，2013
[5]	吴建 Y .;李建。 Faria R .：基于能量释放率的混凝土塑性损伤模型，国际实体与结构学报43，第583-612页。阿姆斯特丹： Elsevier，2006年