Modèle non linéaire

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Un de mes précédents articles décrivait le modèle de matériau Isotrope Nonlinear Elastic. Cependant, de nombreux matériaux n'ont pas un comportement de matériau non linéaire purement symétrique. À cet égard, les lois d'écoulement selon von Mises, Drucker-Prager et Mohr-Coulomb mentionnées dans cet article précédent sont également limitées à la surface d'écoulement dans l'espace de contrainte principal.

Figure 01

Par conséquent, les règles de rendement ne peuvent être appliquées qu'au comportement d'un matériau plastique élastique. Pour les matériaux endommagés par des fissures, par exemple, le modèle de matériau décrit ci-dessous est plus approprié. Le béton est un bon exemple de ce type de matériau. Les fissures dans la zone de traction du matériau réduisent la rigidité du système. Dans le cas du béton armé ou du béton fibré, l'armature absorbe les contraintes de traction.

Principes théoriques

En général, les modèles de matériau non linéaires sont généralement représentés par le déplacement du système dans l'espace déformé actuel vers une configuration de référence sans contrainte (voir la Figure 02). Par exemple, vous pouvez trouver plus d'informations sur ce sujet dans [2] .

Figure 02

Les déformations de l'élément local sont représentées dans le système de référence à l'aide d'un tenseur des déformations. Les déformations dans le système de référence non déformé peuvent être calculées à l'aide du tenseur de déformations Green-Lagrange E = ½ ∙ (F T ∙ F - 1) et les déformations dans le système de coordonnées local à l'aide du tenseur de déformations Euler-Almansi e = ½ ∙ (I - b -1 ). La déformation linéaire ε = ½ ∙ (H + H T ) est obtenue à partir de ces deux déformations à l'aide de l'intégration partielle et permet de calculer les contraintes nominales sur le système à l'aide du théorème de Cauchy et du tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff. Ainsi, les taux d'énergie libre peuvent être déterminés à l'aide des équations d'équilibre du continuum.

Équations d'équilibre du continuum:

  • Le bilan de masse signifie que la masse du système reste la même même si elle est déformée.

    Formule 1

    m = Btρdν (verformtes System) = B0dV (Referenzsystem) = konstant

  • Équilibre de la quantité de mouvement en tant que changement temporel de la quantité de mouvement totale

    Formule 2

    ddtBtρẋdν = Btρbdν (Volumenkräfte)  δBttda (Oberflächenkräfte)

  • Équilibre angulaire de la quantité de mouvement en tant que vitesse de variation de la quantité de mouvement

    Formule 3

    ddt Btρx · ẋdν = Btρ (x · b)   δBtx · td

  • Première loi de la thermodynamique: L'énergie totale d'un système est constante.

    Formule 4

    ddtBt(u  12 ·  · ) ρdν = Btρr  b · ẋdν  δBtt ·  - q · nda


    énergie cinétique = puissance mécanique + surface de contrainte
  • Deuxième loi de la thermodynamique: En cas de transfert dans un autre plan, l'énergie (chaleur) est libérée.

    Formule 5

    ddtBtρsdν  Btρ rθ ν - δBt1θ q · nda

Les équations d'état (équations constitutives) décrivent la relation du matériau entre les solides. Les variables internes (énergie libre entr, entropie spécifique s, tenseur des contraintes de Cauchy σ, vecteur du flux thermique q) sont utilisées pour considérer les dommages dans le modèle de matériau. Dans ce contexte, la «mémoire» matérielle, le comportement dépendant du temps, joue également un rôle important. Ce phénomène est pris en compte par l'écrouissage cinématique et isotrope. En ce qui concerne l'endommagement du matériau, le composant de déformation est décomposé en une partie élastique et plastique. La partie plastique est à nouveau décomposée en une partie cinématique et isotrope.
ε = ε e + ε p → ε p = ε iso + ε kin

L'article sur le comportement élastique non linéaire des matériaux expliquait déjà que la fonction d'élasticité, qui considère les effets de l'endommagement, dépend des invariants du tenseur des contraintes. Plus précisément, la fonction d'écoulement est régie par une condition de Kuhn-Tucker selon laquelle tous les états de contrainte dans l'espace de contrainte principal sont inférieurs à 0 et donc élastiques. Les contraintes en dehors de cette zone ne sont pas autorisées et sont projetées sur la surface d'écoulement pendant le pas du correcteur (pas prédicteur-correcteur). Ce calcul est effectué comme une fonction de test, ce qui nécessite une méthode de calcul non linéaire selon Newton-Raphson.

Figure 03

La fonction d'élasticité (d'après [4] ) dans le modèle de matériau Endommagé différencie le matériau entre la contrainte de traction et la contrainte de compression:

Formule 6

d+ = g+ = 1 - r0+r+ · (1 - A+) + A+ exp B+ · 1 - r+r0+ (Gleichung 54, Zug)d- = g- = 1 - r0-r- · (1 - A-) + A- exp B- · 1 - r-r0- (Gleichung 58, Druck) d+/- = r+/- · h+/-  0

R est le taux d'énergie et h le durcissement à la traction de la fonction. Les variables A et B indiquent les dommages matériels. Cette opération est effectuée de manière similaire au chapitre suivant à l'aide d'un diagramme contrainte-déformation dans l'espace de contraintes principal.

Dommages dans RFEM

Après cet article de base, cet article explique comment gérer le modèle de matériau dans RFEM. Dans cet article, il est uniquement possible de fournir une vue d'ensemble afin que le contexte puisse présenter des lacunes. Pour cette raison, une littérature supplémentaire telle que [2] est recommandée.

En raison de la méthode de calcul non linéaire avec l'étape de correction, il est nécessaire d'effectuer le calcul élastique linéaire dans la première étape du diagramme. La solution dans RFEM fournit la déformation dans la deuxième étape du diagramme en fonction du module d'élasticité défini dans la boîte de dialogue du matériau et de la contrainte limite définie (voir la Figure 04).

Figure 04

Dans ce cas, la déformation est régie par la loi de Hooke ε = σ/E. Après cette première étape de prédiction élastique, vous pouvez effectuer une définition antimétrique presque arbitraire du diagramme contrainte-déformation. Il est également possible que le module d'élasticité du matériau soit négatif, car il est recalculé comme suit:

Formule 7

σi - σi-1εi - εi-1 = E

Cependant, le module élastique n'étant nécessaire que pour recalculer la relation, le module est également autorisé. Dans le cas du modèle de matériau Endommagé, le calcul décrit à l'aide de l'itération de correction permet de réduire la rigidité du système jusqu'à ce que l'élément EF individuel n'absorbe plus aucune contrainte. Les déformations dans l'élément correspondant peuvent être très grandes.

Résumé

Le modèle de matériau Damage permet le calcul non linéaire à l'aide de diagrammes contrainte-déformation antimétriques presque arbitraires. Si le matériau est endommagé, le système reste cependant un continuum. Autrement dit, aucune fissure ne se produit dans le système. L'effort numérique pour ce faire serait très important. Il est par exemple nécessaire de générer un nouveau maillage système avec un maillage EF adaptatif. En raison de ces limites, de très grandes déformations peuvent apparaître dans le système.

Dans le cas de déformations très élevées, vous pouvez diviser le système manuellement. Pour ce faire, des solides de contact avec une limite d'élasticité similaire peuvent être utilisés. De plus, une déformation plastique de l'élément n'est pas considérée lors de l'utilisation de ce modèle de matériau, ce qui peut être particulièrement utile dans le domaine de la compression. Pour le problème courant du béton fissuré dans la zone de traction, le modèle de matériau est suffisamment précis.

Référence

[1] Barth, C.; Rustler, W. : Finite Elemente in der Baustatik-Praxis, 2e édition. Berlin : Beuth, 2013
[2] Nackenhorst, États-Unis: Vorlesungsskript Festkörpermechanik. Hanovre: Institut de mécanique et de calcul, Université Leibniz de Hanovre, 2015
[3] Altenbach, H .: Kontinuumsmechanik - Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen, 3e édition. Berlin : Springer, 2015
[4] Hürkamp, A .: Analyse des dommages basée sur la micromécanique de structures en béton fibré à ultra hautes performances avec incertitudes. Hanovre: Institut für Baumechanik und Numerische Mechanik, Université Gottfried Wilhelm Leibniz, 2013
[5]Wu, J. Y .; Li J .; Faria R .: Un modèle d'endommagement plastique du béton basé sur le taux de libération d'énergie, International Journal of Solids and Structures 43, pages 583 à 612. Amsterdam : Elsevier, 2006

Auteur

Dipl.-Ing. (FH) Bastian Kuhn, M.Sc.

Dipl.-Ing. (FH) Bastian Kuhn, M.Sc.

Ingénierie produit et assistance clientèle

M. Kuhn est responsable du développement de produits pour les structures en bois et fournit un support technique à ses clients.

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  • Mis à jour 10 novembre 2020

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