在RFEM中平滑地面内力

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001606

2019年11月4日

技术文章 Robert Vogl 结果 RFEM 有限元分析

计算面模型时,每个有限元单独计算内力。 由于逐元素分布通常表现为不连续分布,因此RFEM会对内力进行所谓的平滑处理,并考虑相邻单元的影响。 这种方法可以调整内力的不连续分布。 因此计算结果的分析更加清晰。

该程序提供了各种显示未平滑或平滑结果的选项。 在RFEM手册中对它们进行了描述。 在前面的技术文章中也介绍了用于评估面内力和内应力的平滑变量。 下面的例子说明如何使用有限元中的平滑内力进行值确定。 除了有限元的位置外,板理论 - Mindlin或Kirchhoff - 在该过程中起着重要作用。

举例: 板材根据Mindlin和Kirchhoff的说法

图片 01 - 示例

建立尺寸为4 m~3 m的板作为二维模型。 板的两侧铰接在较短的边界线上。 通过约束可以抑制较长边界线的约束。 为抑制横向作用,材料的剪切模量为零。 为了比较根据Kirchhoff和Mindlin板弯曲理论计算的内力,选择板厚为80 cm。 因此在两个弯曲理论之间的极限区域给出了d/L = 0.2的比值(见https://www.dlubal.com/en/support-and-learning/support/faq/003158 )。

为简化起见,有限元网格的网格尺寸设置为1 m。 因此有4~3个有限元。

p = 5 kN/m²的荷载作用在板上。 在荷载工况中不施加自重。

内力不平滑

对于在板中心的纵剖面考虑内力v x和m x的分析核的结果。 单元格,非光滑内力的分布可以通过“不连续”显示选项来表示。 根据Mindlin和Kirchhoff的弯曲理论,可以得到如图02所示的图表。

图片 02 - 未经平滑的结果根据Mindlin(左)和Kirchhoff(右)

内部节点标准平滑

对于位于面内的有限元节点,首先根据相邻有限元的节点值形成算术平均值。 对于这种方法,单元必须位于可能的内部线的面上和同一侧。 该节点不能是面上用户自定义的节点。

对于x = 1.00 m处的不连续点,这些值在内部如下(该步骤的结果不适用于输出)。

Mindlin:
${\mathrm v}_{\mathrm x}(1)\;=\;\frac{7.5\;+\;2.5}2\;=\;5\\{\mathrm m}_{\mathrm x}(1)\;=\;\frac{8.772\;+\;5.351}2\;=\;7.061$

基尔霍夫:
${\mathrm v}_{\mathrm x}(1)\;=\;\frac{7.785\;+\;2.595}2\;=\;5.19\\{\mathrm m}_{\mathrm x}(1)\;=\;\frac{7.954\;+\;7.904}2\;=\;7.929$

平滑边缘节点

在面的边缘(平滑选项“在面内连续”)或模型(“连续总和”)中,没有相邻的有限元可用于平均节点值。 因此采用了不同的方法,分两步进行。

在第一步中计算不在面上边缘或模型上的节点的平均值。 计算边缘节点的值,使原始值保持在有限元的中心位置。 在第二步中,确定边缘节点的平均值。

边界节点在x = 0.00 m处产生以下值。

Mindlin:
${\mathrm v}_{\mathrm x}(0)\;=\;7.5\;+\;(7.5\;-\;5)\;=\;10\\{\mathrm m}_{\mathrm x}(0.5)\;=\;\frac{5.351\;+\;2.982}2\;=\;4.167\\{\mathrm m}_{\mathrm x}(0)\;=\;4.167\;+\;(4.167\;-\;7.061)\;=\;1.272$

基尔霍夫:
${\mathrm v}_{\mathrm x}(0)\;=\;7.785\;+\;(7.785\;-\;5.19)\;=\;10.381\\{\mathrm m}_{\mathrm x}(0.5)\;=\;\frac{7.954\;+\;0.379}2\;=\;4.167\\{\mathrm m}_{\mathrm x}(0)\;=\;4.167\;+\;(4.167\;-\;7.929)\;=\;0.404$

剪力

根据Mindlin的说明,剪力被计算为挠度的一阶导数。

${\mathrm v}_{\mathrm x}\;=\;\frac{5\;\cdot\;\mathrm G\;\cdot\;\mathrm h}6\;\cdot\;\left(\frac{\partial\mathrm w}{\partial\mathrm x}\;+\;{\mathrm\Phi}_{\mathrm y}\right)\\{\mathrm v}_{\mathrm y}\;=\;\frac{5\;\cdot\;\mathrm G\;\cdot\;\mathrm h}6\;\cdot\;\left(\frac{\partial\mathrm w}{\partial\mathrm y}\;+\;{\mathrm\Phi}_{\mathrm x}\right)$

这些值由计算核决定,直接使用。 然后根据有限元节点在面上的位置,对剪切力进行平滑处理。

在Kirchhoff的弯曲理论中,剪力被计算为挠度的三阶导数。

${\mathrm v}_{\mathrm x}\;=\;-\;\frac{\mathrm E\;\cdot\;\mathrm h^3}{12\;\cdot\;\left(1\;-\;\mathrm\mu^2\right)}\;\cdot\;\left(\frac{\partial^3\mathrm w}{\partial\mathrm x^3}\;+\;\frac{\partial^3\mathrm w}{\partial\mathrm x\partial\mathrm y^2}\right)\\{\mathrm v}_{\mathrm y}\;=\;-\;\frac{\mathrm E\;\cdot\;\mathrm h^3}{12\;\cdot\;\left(1\;-\;\mathrm\mu^2\right)}\;\cdot\;\left(\frac{\partial^3\mathrm w}{\partial\mathrm y^3}\;+\;\frac{\partial^3\mathrm w}{\partial\mathrm x^2\partial\mathrm y}\right)$

通过三阶导数确定该值会导致精度的显着下降。 因此,不使用分析型芯的剪力,而是通过改进的方法得出弯矩的推导。

${\mathrm v}_{\mathrm x}\;=\;\frac{\partial{\mathrm m}_{\mathrm x}}{\partial\mathrm x}\;+\;\frac{\partial{\mathrm m}_{\mathrm{xy}}}{\partial\mathrm y}\\{\mathrm v}_{\mathrm y}\;=\;\frac{\partial{\mathrm m}_{\mathrm y}}{\partial\mathrm y}\;+\;\frac{\partial{\mathrm m}_{\mathrm{xy}}}{\partial\mathrm x}$

公式中表示的矩m x ,m y和m xy表示根据上述方法确定的平滑值。 由此得出的剪力比剪切力更准确。

${\mathrm v}_{\mathrm x}{(0)}^+\;=\;{\mathrm v}_{\mathrm x}{(1)}^-\;=\;7.929\;-\;0.404\;=\;7.525\\{\mathrm v}_{\mathrm x}{(1)}^+\;=\;{\mathrm v}_{\mathrm x}{(2)}^-\;=\;10.429\;-\;7.929\;=\;2.5\\{\mathrm v}_{\mathrm x}(1)\;=\;\frac{7.525\;+\;2.5}2\;=\;5.013\\{\mathrm v}_{\mathrm x}(0)\;=\;7.525\;+\;7.525\;-\;5.013\;=\;10.038$

弯矩

当积分点中的弯矩值与理论值一致时,当使用双曲抛物面函数进行平滑时外推导致精度损失。 双曲抛物面只是近似于单元中的弯矩分布。 出于这个原因,我们采用了一种经过改进的算法,用一种先进的剪力分积法取代外推法。 由于假设表面单元中的剪力分布为双曲抛物面(二阶面),该面的积分代表三阶面,更准确地计算了弯矩分布。

该方法对应于上述用于通过弯矩导数计算剪力的公式。 然后用下面的公式确定弯矩。

${\mathrm m}_{\mathrm x}\;=\;\int\left({\mathrm v}_{\mathrm x}\;-\;\frac{\partial{\mathrm m}_{\mathrm{xy}}}{\partial\mathrm y}\right)\mathrm{dx}\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\\{\mathrm m}_{\mathrm y}\;=\;\int\left({\mathrm v}_{\mathrm y}\;-\;\frac{\partial{\mathrm m}_{\mathrm{xy}}}{\partial\mathrm x}\right)\mathrm{dy}\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm y,0}$

由杆件中心值得出的条件计算积分常数m x,0和m y,0

${\mathrm m}_{\mathrm x,\mathrm C}\;=\;\frac{\int_{\mathrm S}{\mathrm m}_{\mathrm x}\mathrm{dS}}{\mathrm S}\\{\mathrm m}_{\mathrm y,\mathrm C}\;=\;\frac{\int_{\mathrm S}{\mathrm m}_{\mathrm y}\mathrm{dS}}{\mathrm S}$

S表示单元的面。

内力值取决于上述方法,积分也取决于数值积分。 然后根据内部节点或边缘节点的方法对由此确定的弯矩进行平滑处理。

根据Mindlin的弯曲理论,该例子得出以下数值。

第一要素:
${\mathrm v}_{\mathrm x}(\mathrm x)\;=\;10\;-\;5\;\mathrm x\\{\mathrm m}_{\mathrm x}(\mathrm x)\;=\;\int{\mathrm v}_{\mathrm x}\mathrm{dx}\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\;=\;10\;\mathrm x\;-\;\frac52\;\mathrm x^2\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\\{\mathrm m}_{\mathrm x,\mathrm C}\;=\;{\mathrm m}_{\mathrm x}(0.5)\;=\;4.167\;=\;\int_0^110\;\mathrm x\;-\;\frac52\;\mathrm x^2\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\;=\;\left[\frac{10}2\;\mathrm x^2\;-\;\frac56\;\mathrm x^3\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\mathrm x\right]_0^1\;=\;4.167\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\\{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\;=\;{\mathrm m}_{\mathrm x}(0)\;=\;4.167\;-\;4.167\;=\;0\\{\mathrm m}_{\mathrm x}{(1)}^-\;=\;10\;-\;\frac52\;+\;0\;=\;7.5$

第二个要素:
${\mathrm v}_{\mathrm x}(\mathrm x)\;=\;5\;-\;5\;\mathrm x\\{\mathrm m}_{\mathrm x}(\mathrm x)\;=\;\int{\mathrm v}_{\mathrm x}\mathrm{dx}\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\;=\;5\;\mathrm x\;-\;\frac52\;\mathrm x^2\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\\{\mathrm m}_{\mathrm x,\mathrm C}\;=\;{\mathrm m}_{\mathrm x}(1.5)\;=\;9.167\;=\;\int_0^15\;\mathrm x\;-\;\frac52\;\mathrm x^2\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\;=\;\left[\frac52\;\mathrm x^2\;-\;\frac56\;\mathrm x^3\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\mathrm x\right]_0^1\;=\;1.667\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\\{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\;=\;{\mathrm m}_{\mathrm x}(1{)^+\;}=\;9.167\;-\;1.667\;=\;7.5\\{\mathrm m}_{\mathrm x}{(1)}\;=\;\frac{{\mathrm m}_{\mathrm x}(1{)^-\;}+\;{\mathrm m}_{\mathrm x}(1)^+}2\;=\;\frac{7.5\;+\;7.5}2\;=\;7.5$

图片 03 - 根据Mindlin的计算,内力vx和mx是平滑的

根据Kirchhoff的弯曲理论可以得到下面的值。

第一要素:
${\mathrm v}_{\mathrm x}(\mathrm x)\;=\;10.038\;-\;5.025\;\mathrm x\\{\mathrm m}_{\mathrm x}(\mathrm x)\;=\;\int{\mathrm v}_{\mathrm x}\mathrm{dx}\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\;=\;10.038\;\mathrm x\;-\;\frac{5.025}2\;\mathrm x^2\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\\{\mathrm m}_{\mathrm x,\mathrm C}\;=\;{\mathrm m}_{\mathrm x}(0.5)\;=\;4.167\;=\;\int_0^110.038\;\mathrm x\;-\;\frac{5.025}2\;\mathrm x^2\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\;=\;\left[\frac{10.038}2\;\mathrm x^2\;-\;\frac{5.025}6\;\mathrm x^3\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\mathrm x\right]_0^1\;=\;4.182\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\\{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\;=\;{\mathrm m}_{\mathrm x}(0)\;=\;4.167\;-\;4.182\;=\;-\;0.015\;{\mathrm m}_{\mathrm x}{(1)}^-\;=\;10.038\;-\;\frac{5.025}2\;-\;0.015\;=\;7.511$

第二个要素:
${\mathrm v}_{\mathrm x}(\mathrm x)\;=\;5.013\;-\;5.013\;\mathrm x\\{\mathrm m}_{\mathrm x}(\mathrm x)\;=\;\int{\mathrm v}_{\mathrm x}\mathrm{dx}\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\;=\;5.013\;\mathrm x\;-\;\frac{5.013}2\;\mathrm x^2\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\\{\mathrm m}_{\mathrm x,\mathrm C}\;=\;{\mathrm m}_{\mathrm x}(1.5)\;=\;9.167\;=\;\int_0^15.013\;\mathrm x\;-\;\frac{5.013}2\;\mathrm x^2\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\;=\;\left[\frac{5.013}2\;\mathrm x^2\;-\;\frac{5.013}6\;\mathrm x^3\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\mathrm x\right]_0^1\;=\;1.671\;+\;{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\\{\mathrm m}_{\mathrm x,0}\;=\;{\mathrm m}_{\mathrm x}(1)^+\;=\;9.167\;-\;1.671\;=\;7.496\\{\mathrm m}_{\mathrm x}{(1)\;}=\;\frac{{\mathrm m}_{\mathrm x}(1{)^-\;}+\;{\mathrm m}_{\mathrm x}(1)^+}2\;=\;\frac{7.511\;+\;7.496}2\;=\;7.503$

图片 04 - 基于Kirchhoff的内力vx和mx的光滑图表

在平滑处理过程中逐步执行上述步骤。 平滑的数值可以使用“在面内连续”显示选项以图形方式显示。

关键词

平滑处理 面中的内力 内力分布

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RFEM 5.xx

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结构设计与有限元­分析软件(FEA)可以用于建立 平面与空间结构模型,适用于由杆件、面、 板、墙、折板、膜、壳、实体以及接触单元等的建模与分析计算。

首个许可价格
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