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2024-04-29

VE0127 | Modelo de material Kelvin-Voigt

Descrição

O modelo de material Kelvin-Voigt consiste numa mola linear e num amortecedor viscoso ligados em paralelo. Neste exemplo de verificação, é testado o comportamento temporal deste modelo durante o carregamento e relaxação num intervalo de tempo de 24 horas. A força constante_Fx é aplicada durante 12 horas e as 12 horas restantes são ao modelo de material livre de carga (relaxamento). É avaliada a deformação após 12 e 20 horas. Análise de histórico de tempo com o método linear implícito de Newmark.

Propriedades do sistema	Mola	Rigidez	k	100,000	kN/m
Propriedades do sistema	amortecedor	Amortecimento viscoso	c	1000000,000	kNs/m
Carga,		Força	F_x	1,000	kN

Modelo de material Kelvin-Voigt

Solução analítica

O modelo de material de Kelvin-Voigt representa uma ligação paralela entre mola e amortecimento. A deformação na mola_ε e a deformação no amortecedor ε_v são iguais (ε_e =ε_v =ε). A tensão total deste modelo é definida como a soma das tensões na mola e no amortecimento (σ=σ_e +σ_v ). Utilizando equações construtivas, a equação diferencial para a extensão devido à tensão aplicada_σx é a seguinte:

Eε (t) + η \dot{ε} (t) = σ_{x}

E	Módulo de elasticidade.
t	Tempo
eta	Viscosidade dinâmica

Equação diferencial de deformação para modelo de material Kelvin-Voigt

Esta equação diferencial pode ser resolvida para obter a deformação do modelo de material Kelvin-Voigt num momento específico.

ε (t) = \frac{σ_{x}}{E} + {Ce}^{- \frac{E}{η} t}

C	Constante de integração

Solução geral de uma equação diferencial de deformação

C é a constante de integração baseada nas condições iniciais. Para a deformação nula no início do carregamento (ε(0)=0), a deformação é a seguinte:

ε (t) = \frac{σ_{x}}{E} (1 - e^{- \frac{E}{η} t})

Deformação do modelo de material Kelvin-Voigt (condição inicial de deformação nula)

Esta fórmula pode ser reescrita no formulário utilizando força, deformação, rigidez e amortecimento.

u_{x} (t) = \frac{F_{x}}{k} (1 - e^{- \frac{k}{c} t})

Deformação do modelo de material Kelvin-Voigt (condição inicial de deformação nula)

A deformação após o relaxamento pode ser calculada através de um processo semelhante com uma condição inicial diferente:

u_{x} (t) = \frac{u_{x 1}}{e^{- \frac{k}{c} t_{1}}} e^{- \frac{k}{c} t}

U_x1	Deformação no final do carregamento (tempo t₁ ) - deformação inicial para a relaxação

Deformação de modelo de material Kelvin-Voigt (relaxamento)

Os resultados estão resumidos na tabela seguinte.

Configuração do RFEM e do RSTAB

Modelado no RFEM 6.05
É utilizada a análise de histórico de tempo com diagrama de tempo
É utilizado o método linear implícito de Newmark

Resultados

Quantidade	Solução qualquer	RFEM 6	Relação
u_x (t=12 h) [mm]	9,867	9,867	1,000
u_x (t=20 h) [mm]	0,554	0,554	1,000

O comportamento ao longo do tempo da deformação u_x pode ser visualizado na figura seguinte.

Resultados do RFEM 6 – comportamento da deformação no tempo ux

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