741x

2024-04-29

VE0127 | Modello di materiale Kelvin-Voigt

Descrizione

Il modello di materiale Kelvin-Voigt è costituito dalla molla lineare e dallo smorzatore viscoso collegati in parallelo. In questo esempio di verifica viene testato il comportamento temporale di questo modello durante il carico e il rilassamento in un intervallo di tempo di 24 ore. La forza costante F_x viene applicata per 12 ore e le restanti 12 ore è il modello del materiale senza carico (rilassamento). Viene valutata la deformazione dopo 12 e 20 ore. Viene utilizzata l'analisi time history con il metodo di Newmark lineare implicito.

Proprietà del sistema	Primavera	Rigidezza	k	100,000	kN/m
Proprietà del sistema	Ammortizzatore	Smorzamento viscoso	C	1000000,000	kNs/m
Carico		Forza.	F_x	1,000	kN

Modello di materiale Kelvin-Voigt

Soluzione analitica

Il modello di materiale Kelvin-Voigt è un collegamento parallelo della molla e dell'ammortizzatore. La deformazione nella molla ε_e e la deformazione nell'ammortizzatore ε_v sono uguali (ε_e =ε_v =ε). La tensione totale di questo modello è definita come la somma della tensione nella molla e nell'ammortizzatore (σ=σ_e +σ_v ). Utilizzando le equazioni costitutive, l'equazione differenziale per la deformazione dovuta alla tensione applicata σ_x è la seguente:

Eε (t) + η \dot{ε} (t) = σ_{x}

E	Modulo di elasticità
t	Tempo
eta	Viscosità dinamica

Equazione differenziale di deformazione per il modello di materiale di Kelvin-Voigt

Questa equazione differenziale può essere risolta per ottenere la deformazione del modello del materiale di Kelvin-Voigt in un momento specifico.

ε (t) = \frac{σ_{x}}{E} + {Ce}^{- \frac{E}{η} t}

C	Costante di integrazione

Soluzione generale dell'equazione differenziale di deformazione

C è la costante di integrazione basata sulle condizioni iniziali. Per la deformazione nulla all'inizio del carico (ε(0)=0) la deformazione è la seguente:

ε (t) = \frac{σ_{x}}{E} (1 - e^{- \frac{E}{η} t})

Deformazione del modello di materiale Kelvin-Voigt (condizione iniziale di deformazione zero)

Questa formula può essere riscritta nella forma utilizzando forza, deformazione, rigidezza e smorzamento.

u_{x} (t) = \frac{F_{x}}{k} (1 - e^{- \frac{k}{c} t})

Deformazione del modello di materiale Kelvin-Voigt (condizione iniziale di deformazione zero)

La deformazione dopo il rilassamento può essere calcolata mediante un processo simile con diverse condizioni iniziali:

u_{x} (t) = \frac{u_{x 1}}{e^{- \frac{k}{c} t_{1}}} e^{- \frac{k}{c} t}

u_x1	Deformazione alla fine del carico (tempo t₁ ) - deformazione iniziale per il rilassamento

Deformazione del modello di materiale Kelvin-Voigt (rilassamento)

I risultati sono riassunti nella tabella seguente.

Impostazioni di RFEM e RSTAB

Modellato in RFEM 6.05
Viene utilizzata l'analisi time history con diagramma temporale
Viene utilizzato il metodo di Newmark lineare implicito

Risultati

Quantità	Soluzione analitica	RFEM 6	Rapporto
u_x (t=12 h) [mm]	9,867	9,867	1,000
u_x (t=20 h) [mm]	0,554	0,554	1,000

Il comportamento temporale della deformazione u_x può essere visto nella figura seguente.

RFEM 6 Risultati - Comportamento temporale della deformazione ux

;