736x

2024-04-29

VE0127 | Модель материала по Кельвину-Фойгту

Описание работы

Модель материала по Кельвину-Фойгту состоит из параллельно включенных линейной пружины и вязкого амортизатора. В данном контрольном примере тестируются свойства модели во времени при нагружении и релаксации напряжений в интервале времени 24 часа. Постоянная сила F_x применяется в течение 12 часов, а остальные 12 часов модель материала находится без нагрузки (релаксация). Деформация оценивается через 12 и 20 часов. Применяется для анализа изменений во времени линейный неявный метод Ньюмарка.

Свойства системы	Пружина	Жесткость	k	100,000	кН/м
амортизатор	Вискозное затухание	c	1000000,000	кНс/м
Нагрузки		Сила	F_x	1,000	кН

Модель материала по Кельвину-Фойгту

Аналитическое решение

Модель материала Кельвина-Фойгта - это параллельное соединение пружины и амортизатора. Деформация пружины ε_e и деформация амортизатора ε_v равна (ε_e =ε_v =ε). Общее напряжение в данной модели определяется как сумма напряжений в пружине и амортизаторе (σ = σ_e + σ_v ). С помощью определяющих уравнений мы получим дифференциальное уравнение для деформации от приложенного напряжения σ_x следующим образом:

Eε (t) + η \dot{ε} (t) = σ_{x}

E	Модуль упругости
t	Время
eta	Динамическая вискозность

Уравнение дифференциальной деформации для модели материала Кельвина-Фойгта

Решением данного дифференциального уравнения мы можем определить деформацию модели материала Кельвина-Фойгта в конкретное время.

ε (t) = \frac{σ_{x}}{E} + {Ce}^{- \frac{E}{η} t}

C	Константа интегрирования

Общее решение уравнения перепада деформаций

C - константа интегрирования, основанная на начальных условиях. Для нулевой деформации в начале нагрузки (ε(0)=0) деформация равна:

ε (t) = \frac{σ_{x}}{E} (1 - e^{- \frac{E}{η} t})

Деформация модели материала по Кельвину-Фойгту (начальные условия нулевой деформации)

Данную формулу можно переписать в следующей форме для использования силы, деформации, жесткости и затухания.

u_{x} (t) = \frac{F_{x}}{k} (1 - e^{- \frac{k}{c} t})

Деформации в модели материала по Кельвину-Фойгту (начальные условия нулевой деформации)

Деформацию после релаксации можно рассчитать аналогичным способом, но с другими начальными условиями:

u_{x} (t) = \frac{u_{x 1}}{e^{- \frac{k}{c} t_{1}}} e^{- \frac{k}{c} t}

u_x1	Деформация в конце нагрузки (время t₁ ) - начальная деформация для релаксации

Деформация модели материала по Кельвину-Фойгту (релаксация)

Результаты обобщены в следующей таблице.

Настройки программы RFEM и RSTAB

Смоделировано в программе RFEM 6.05
Используется Анализ изменений во времени с диаграммой времени
Используется линейный неявный метод Ньюмарка

Результаты

Количество	Любое аналитическое решение	Rfem 6	сечения
u_x (t=12 h) [мм]	9,867	9,867	1,000
u_x (t=20 h) [мм]	0,554	0,554	1,000

Свойства деформации u_x во времени можно увидеть на следующем рисунке.

Результаты RFEM 6 - изменение деформации ux во времени

;