744x

2024-04-29

VE0127 | Model materiałowy Kelvina-Voigta

Opis prac

Model materiałowy Kelvina-Voigta składa się z równolegle połączonych sprężyny liniowej i amortyzatora wiskotycznego. W tym przykładzie weryfikacyjnym sprawdzane jest zachowanie tego modelu w czasie przy obciążeniu i relaksacji w przedziale czasowym 24 godzin. Stała siła F_x jest stosowana przez 12 godzin, a pozostałe 12 godzin to model materiałowy bez obciążenia (relaks). Oceniane jest odkształcenie po 12 i 20 godzinach. Wykorzystano analizę historii czasowej metodą liniową niejawną metodą Newmarka.

Właściwości systemu	Sprężyna	Sztywność	k	100,000	kN/m
Właściwości systemu	Klapa	Tłumienie wiskozowe	C	1000000,000	kNs/m
Obciążenie	Siła	F_x	1,000	kN

Model materiałowy Kelvina-Voigta

Rozwiązanie analityczne

Model materiałowy Kelvina-Voigta jest równoległym połączeniem sprężyny i amortyzatora. Odkształcenie w sprężynie ε_e i odkształcenie w amortyzatorze ε_v są równe (ε_e = ε_v = ε). Naprężenie całkowite w tym modelu jest zdefiniowane jako suma naprężeń w sprężynie i amortyzatorze (σ=σ_e +σ_v ). Korzystając z równań konstytutywnych, równanie różniczkowe dla odkształcenia wywołanego przyłożonym naprężeniem σ_x ma postać:

Eε (t) + η \dot{ε} (t) = σ_{x}

E	Moduł sprężystości
t	Czas
eta	Lepkość dynamiczna

Równanie różniczkowe odkształceń dla modelu materiałowego Kelvina-Voigta

To równanie różniczkowe można rozwiązać w celu uzyskania odkształcenia modelu materiałowego Kelvina-Voigta w określonym czasie.

ε (t) = \frac{σ_{x}}{E} + {Ce}^{- \frac{E}{η} t}

C	Stała całkowania

Ogólne rozwiązanie równania różniczkowego odkształceń

C jest stałą całkowania opartą na warunkach początkowych. Dla zerowego odkształcenia na początku obciążenia (ε (0) = 0) odkształcenie jest następujące:

ε (t) = \frac{σ_{x}}{E} (1 - e^{- \frac{E}{η} t})

Odkształcenie modelu materiałowego Kelvina-Voigta (warunek początkowy zerowego odkształcenia)

Wzór ten można przepisać do postaci przy użyciu siły, odkształcenia, sztywności i tłumienia.

u_{x} (t) = \frac{F_{x}}{k} (1 - e^{- \frac{k}{c} t})

Odkształcenie modelu materiałowego Kelvina-Voigta (warunek początkowy zerowej deformacji)

Odkształcenie po relaksacji można obliczyć za pomocą podobnego procesu o różnych warunkach początkowych:

u_{x} (t) = \frac{u_{x 1}}{e^{- \frac{k}{c} t_{1}}} e^{- \frac{k}{c} t}

U_x1	Odkształcenie na końcu obciążenia (czas t₁ ) - odkształcenie początkowe dla relaksacji

Odkształcenie modelu materiałowego Kelvina-Voigta (relaks)

Wyniki podsumowano w poniższej tabeli.

Ustawienia RFEM i RSTAB

Modelowane w RFEM 6.05
Zastosowano analizę historii czasowej z wykresem czasowym
Zastosowano liniową ukrytą metodę Newmarka

Wyniki

Ilość	Rozwiązanie dowolne	RFEM 6	Stosunek
u_x (t=12 h) [mm]	9,867	9,867	1,000
u_x (t=20 h) [mm]	0,554	0,554	1,000

Zachowanie w czasie odkształcenia u_x pokazano na poniższym rysunku.

RFEM 6 - wyniki - Zachowanie czasowe odkształcenia ux

;