740x

29.4.2024

VE0127 | Kelvin-Voigtův materiálový model

Popis

Kelvin-Voigtův materiálový model se skládá z paralelně zapojené lineární pružiny a viskózního tlumiče. V tomto verifikačním příkladu je testováno časové chování tohoto modelu při zatížení a relaxaci v časovém intervalu 24 hodin. Konstantní síla F_x působí po dobu 12 hodin a zbývajících 12 hodin je materiálový model bez zatížení (relaxace). Vyhodnocuje se deformace po 12 a 20 hodinách. Je použita časová analýza s lineární implicitní Newmarkovou metodou.

Vlastnosti systému	Pružina	Tuhost	k	100,000	kN/m
Vlastnosti systému	Tlumič	Viskózní tlumení	c	1000000,000	kNs/m
Zatížení		Síla	F_x	1,000	KN

Kelvin-Voigtův materiálový model

Analytické řešení

Kelvin-Voigtův materiálový model je paralelní spojení pružiny a tlumiče. Přetvoření v pružině ε_e a přetvoření v tlumiči ε_v jsou stejné (ε_e =ε_v =ε). Celkové napětí v tomto modelu je definováno jako součet napětí v pružině a tlumiči (σ=σ_e +σ_v ). Při použití konstitutivních rovnic je diferenciální rovnice pro přetvoření od působícího napětí σ_x následující:

Eε (t) + η \dot{ε} (t) = σ_{x}

E	Modul pružnosti
t	Čas
eta	Dynamická viskozita

Rovnice rozdílu přetvoření pro Kelvin-Voigtův materiálový model

Pomocí této diferenciální rovnice lze získat deformaci materiálového modelu Kelvina-Voigta v určitém čase.

ε (t) = \frac{σ_{x}}{E} + {Ce}^{- \frac{E}{η} t}

C	Integrační konstanta

Obecné řešení diferenciální rovnice přetvoření

C je integrační konstanta vztažená na počáteční podmínky. Pro nulové přetvoření na začátku zatížení (ε(0)=0) je přetvoření následující:

ε (t) = \frac{σ_{x}}{E} (1 - e^{- \frac{E}{η} t})

Přetvoření materiálového modelu Kelvina-Voigta (počáteční podmínka nulového přetvoření)

Tento vzorec lze přepsat do tvaru pomocí síly, deformace, tuhosti a tlumení.

u_{x} (t) = \frac{F_{x}}{k} (1 - e^{- \frac{k}{c} t})

Deformace Kelvinova-Voigtova materiálového modelu (nulová deformace, počáteční podmínka)

Deformaci po relaxaci lze spočítat podobným způsobem s různými počátečními podmínkami:

u_{x} (t) = \frac{u_{x 1}}{e^{- \frac{k}{c} t_{1}}} e^{- \frac{k}{c} t}

u_x1	Deformace na konci zatížení (čas t₁ ) - počáteční deformace pro relaxaci

Deformace Kelvinova-Voigtova materiálového modelu (relaxace)

Výsledky jsou shrnuty v následující tabulce.

Nastavení programů RFEM a RSTAB

Modelováno v programu RFEM 6.05
Je použita časová analýza s časovým diagramem
Je použita lineární implicitní Newmarkova metoda

Výsledky

Množství	Analytické řešení	RFEM 6	Poměrná hodnota
u_x (t=12 h) [mm]	9,867	9,867	1,000
u_x (t=20 h) [mm]	0,554	0,554	1,000

Časový průběh deformace u_x vidíme na následujícím obrázku.

RFEM 6 Výsledky - Časový průběh deformace ux

;