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29. April 2024

VE0127 | Kelvin-Voigt-Materialmodell

Beschreibung

Kelvin-Voigt Materialmodell besteht aus der linearen Feder und dem viskosen Dämpfer, die parallel geschaltet sind. In diesem Verifikationsbeispiel wird das Zeitverhalten dieses Modells während der Belastung und Relaxation in einem Zeitintervall von 24 Stunden getestet. Die konstante Kraft F_x wird für 12 Stunden aufgebracht und die restlichen 12 Stunden ist das Materialmodell lastfrei (Relaxation). Bewertet wird die Verformung nach 12 und 20 Stunden. Zeitverlaufsanalyse mit der linearen impliziten Newmark-Methode.

Systemeigenschaften	Feder	Steifigkeit	k	100,000	kN/m
Systemeigenschaften	Dämpfer	Viskose Dämpfung	c	1000000,000	kNs/m
Last		Kraft	F_x	1,000	kN

Kelvin-Voigt Materialmodell

Analytische Lösung

Kelvin-Voigt Materialmodell ist eine Parallelschaltung von Feder und Dämpfer. Die Dehnung in der Feder ε_e und die Dehnung im Dämpfer ε_v sind gleich groß (ε_e =ε_v =ε). Die Gesamtspannung dieses Modells ist definiert als Summe der Spannung in der Feder und im Dämpfer (σ=σ_e +σ_v ). Die Differenzialgleichung für die Dehnung infolge der aufgebrachten Spannung σ_x lautet mit Hilfe der konstitutiven Gleichungen:

Eε (t) + η \dot{ε} (t) = σ_{x}

E	Elastizitätsmodul
t	Zeit
eta	Dynamische Viskosität

Dehnungsdifferenzialgleichung für Kelvin-Voigt-Materialmodell

Diese Differenzialgleichung kann gelöst werden, um die Verformung des Kelvin-Voigt-Materialmodells zu einer bestimmten Zeit zu erhalten.

ε (t) = \frac{σ_{x}}{E} + {Ce}^{- \frac{E}{η} t}

C	Integrationskonstante

Allgemeine Lösung der Dehnungsdifferenzialgleichung

C ist die Integrationskonstante aufgrund der Anfangsbedingungen. Für die Nulldehnung zu Beginn der Belastung (ε(0)=0) ergibt sich:

ε (t) = \frac{σ_{x}}{E} (1 - e^{- \frac{E}{η} t})

Verzerrung des Kelvin-Voigt-Materialmodells (Anfangsbedingung der Dehnung Null)

Diese Formel kann mithilfe von Kraft, Verformung, Steifigkeit und Dämpfung in die Form umgeschrieben werden.

u_{x} (t) = \frac{F_{x}}{k} (1 - e^{- \frac{k}{c} t})

Verformung des Kelvin-Voigt-Materialmodells (Anfangsbedingung Nullverformung)

Die Verformung nach Relaxation kann über einen ähnlichen Prozess mit anderer Anfangsbedingung berechnet werden:

u_{x} (t) = \frac{u_{x 1}}{e^{- \frac{k}{c} t_{1}}} e^{- \frac{k}{c} t}

u_x1	Verformung am Ende der Belastung (Zeitpunkt t₁ ) - Anfangsverformung für die Relaxation

Verformung Kelvin-Voigt Materialmodell (Relaxation)

Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst.

RFEM- und RSTAB-Einstellungen

Modelliert in RFEM 6.05
Zeitverlaufsverfahren mit Zeitdiagramm verwendet
Die lineare implizite Newmark-Methode wird verwendet

Ergebnisse

Größe	Beliebige Lösung	RFEM 6	Verhältnis
u_x (t=12 h) [mm]	9,867	9,867	1,000
u_x (t=20 h) [mm]	0,554	0,554	1,000

Das Zeitverhalten der Verformung u_x kann in folgendem Bild entnommen werden.

RFEM 6-Ergebnisse - Zeitverhalten bei der Verformung ux

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