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29.04.2024

VE0127 | Modèle de matériau Kelvin-Voigt

Description du projet

Le modèle de matériau de Kelvin-Voigt est composé d'un ressort linéaire et d'un amortisseur visqueux connectés en parallèle. Dans cet exemple de vérification, le comportement dans le temps de ce modèle lors du chargement et de la relaxation dans un intervalle de temps de 24 heures est testé. La force constante F_x est appliquée pendant 12 heures et les 12 heures restantes sont le modèle de matériau sans charge (relaxation). La déformation après 12 et 20 heures est évaluée. L'analyse de l'historique de temps avec la méthode linéaire implicite Newmark est utilisée.

Propriétés du système	Ressort	Rigidité	k	100,000	kN/m
Propriétés du système	Amortisseur	Amortissement visqueux	c	1000000,000	kNs/m
Import	Force	F_x	1,000	kN

Modèle de matériau Kelvin-Voigt

Solution analytique

Le modèle de matériau de Kelvin-Voigt est une connexion parallèle du ressort et de l'amortisseur. La déformation dans le ressort ε_e et la déformation dans l'amortisseur ε_v sont égales (ε_e = ε_v = ε). La contrainte totale de ce modèle est définie comme la somme de la contrainte dans le ressort et de l'amortisseur (σ = σ_e +σ_v ). En utilisant des équations de comportement, l'équation différentielle pour la déformation due à la contrainte appliquée σ_x est la suivante :

Eε (t) + η \dot{ε} (t) = σ_{x}

E	Module d'élasticité
t	Temps
eta	Viscosités dynamiques

Équation différentielle de déformation pour le modèle de matériau de Kelvin-Voigt

Cette équation différentielle peut être résolue pour obtenir la déformation du modèle de matériau Kelvin-Voigt à un moment précis.

ε (t) = \frac{σ_{x}}{E} + {Ce}^{- \frac{E}{η} t}

C	Constante d'intégration

Solution générale de l'équation de différence de déformation

C est la constante d'intégration basée sur les conditions initiales. Pour la déformation nulle au début du chargement (ε (0) = 0), la déformation est la suivante :

ε (t) = \frac{σ_{x}}{E} (1 - e^{- \frac{E}{η} t})

Déformation du modèle de matériau Kelvin-Voigt (condition initiale de déformation nulle)

Cette formule peut être réécrite dans le formulaire à l'aide de la force, de la déformation, de la rigidité et de l'amortissement.

u_{x} (t) = \frac{F_{x}}{k} (1 - e^{- \frac{k}{c} t})

Déformation du modèle de matériau Kelvin-Voigt (condition initiale de déformation nulle)

La déformation après relaxation peut être calculée à l'aide d'un processus similaire avec des conditions initiales différentes :

u_{x} (t) = \frac{u_{x 1}}{e^{- \frac{k}{c} t_{1}}} e^{- \frac{k}{c} t}

u_x1	Déformation à la fin du chargement (temps t₁ ) - déformation initiale pour la relaxation

Déformation du modèle de matériau Kelvin-Voigt (relaxation)

Les résultats sont résumés dans le tableau suivant.

Paramètres de RFEM et RSTAB

Modélisé dans RFEM 6.05
L'analyse de l'historique de temps avec un diagramme de temps est utilisée
La méthode linéaire implicite Newmark est utilisée

résultats

Quantité	Solution quelconque	RFEM6	Ratio
u_x (t = 12 h) [mm]	9,867	9,867	1,000
u_x (t = 20 h) [mm]	0,554	0,554	1,000

Le comportement de la déformation u_x dans le temps est affiché dans la figure suivante.

Résultats de RFEM 6 - Comportement dans le temps de la déformation ux

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