Учет метода второго порядка в динамическом расчете

Техническая статья

Для окончательного расчета по предельным состояниям, EN 1998‑1 [1], разделы 2.2.2 и 4.4.2.2, необходимо вычисление с учетом метода второго порядка (эффект P‑Δ). Этот эффект не нужно учитывать только если коэффициент чувствительности относительного горизонтального перекоса этажа  θ меньше  0,1.

Коэффициент θ определяется следующим образом:

$$\mathrm\theta\;=\;\frac{\displaystyle{\mathrm P}_\mathrm{tot}\;\cdot\;{\mathrm d}_\mathrm r}{{\mathrm V}_\mathrm{tot}\;\cdot\;\mathrm h}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

где

θ  коэффициент чувствительности относительного горизонтального перекоса этажа
Ptot  общая гравитационная нагрузка на этаже и над этажем, учтенная в сейсмической расчетной ситуации (см. выражение 2)
dr  расчетный относительный горизонтальный перекос этажа, принятый как разница средних боковых перемещений dS в верхней и нижней частях рассматриваемого этажа; для этого перемещение определяется с использованием линейного расчетного спектра реакций с q = 1,0
Vtot  общий сейсмический сдвиг этажа, определяемый с помощью линейного расчетного спектра реакций
высота между этажами

Эффекты второго порядка могут быть приблизительно учтены коэффициентом, равным 1 / (1 − θ), если 0,1 < θ ≤ 0,2. При θ > 0,2, необходимо учитывать геометрическую матрицу жесткости при вычислении собственных чисел и анализе мультимодальных спектров.

Геометрическая матрица жесткости

Для динамических расчетов непригодны итерационные вычисления для нелинейного определения по методу второго порядка. Проблема может быть линеаризована, и для учета метода второго порядка достаточно использовать геометрическую матрицу жесткости, основанную на осевых нагрузках. Для этого предполагается, что вертикальные нагрузки не изменяются из-за горизонтальных эффектов, а деформации малы по сравнению с размерами здания [2]. Рассматриваемые нагрузки должны соответствовать нагрузкам для сейсмических расчетных ситуаций в соответствии с EN 1990, раздел 6.4.3.4 [3]:

$${\mathrm E}_\mathrm d=\sum_{\mathrm j\geq1}{\mathrm G}_{\mathrm k,\mathrm j}+\sum{\mathrm\Psi}_{2,\mathrm i}{\mathrm Q}_{\mathrm k,\mathrm i}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$

где

Ed  расчетное значение эффектов
Gk,j  нормативное значение постоянных воздействий j
Qk,i  нормативное значение переменных воздействий  i
Ψ2,i  коэффициент для квазипостоянных значений переменных воздействий i

Осевые растягивающие силы увеличивают жесткость, например, в предварительно напряженном канате. Сжимающие силы уменьшают жесткость и могут привести к сингулярности в матрице жесткости. Геометрическая жесткость Kg не зависит от механических свойств конструкции, а только от длины стержня L и осевой силы N.

Чтобы проиллюстрировать основную проблему, есть простой пример консоли, показанный на рис. 01. Отдельные точки масс консоли представляют собой этажи здания. Для здания выполняется динамический расчет с учетом метода второго порядка. Осевые силы Ni на отдельных этажах i = 1...n являются результатом вертикальных сил в сейсмической расчетной ситуации (см. выражение 2). Высота этажа задана hi.

Рисунок 01 - Уменьшение здания на консольной конструкции. Отдельные точки масс представляют собой этажи. Перемещение от нормальных сил сжатия, показанных в (а), преобразуется в (b) опрокидывающие моменты или боковые нагрузки [2].

Геометрическую массу жесткости Kg можно получить из условий статического равновесия:

$$\begin{bmatrix}{\mathrm F}_\mathrm i\\{\mathrm F}_{\mathrm i+1}\end{bmatrix}\;=\;\underbrace{\frac{{\mathrm N}_\mathrm i}{{\mathrm h}_\mathrm i}\left[\begin{array}{rc}1.0&\;-1.0\\-1.0&\;1.0\end{array}\right]}_{{\mathbf K}_\mathbf g}\;\begin{bmatrix}{\mathrm u}_\mathrm i\\{\mathrm u}_{\mathrm i+1}\end{bmatrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$

В целях упрощения, здесь изображаются только степени свободы горизонтального перемещения. Показанный вывод основан на приближении опрокидывающего момента из-за применения линейного перемещения. Это упрощение для изгибаемого элемента и точное предположение для элемента фермы.

Более точное задание геометрической матрицы жесткости для изгибаемых балок можно получить, используя способ кубического перемещения или аналитическое решение дифференциального уравнения линии изгиба. Более подробная информация и выводы приводятся Werkle [4].

Геометрическая матрица жесткости Kg добавляется к матрице жесткости системы K и, таким образом, получается модифицированная матрица жесткости Kmod:

$${\mathbf K}_\mathbf{mod}\;=\;\mathbf K\;+\;{\mathbf K}_\mathbf g\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$

В случае нормальных сжимающих сил это, следовательно, приводит к уменьшению жесткости.

Пример: Собственные частоты и анализ мультимодального спектра реакций с учетом метода второго порядка

Ниже показано, как геометрическая матрица жесткости может быть рассмотрена в RFEM и дополнительных модулях RF‑DYNAM Pro. В качестве примера используется консоль, показанная на рисунке 01. Консоль состоит из пяти концентрированных точек массы. Здесь в каждом случае вдоль общей оси X действуют 4000 кг.

Рисунок 02 – Собственный вес и временные нагрузки суммируются как узловые нагрузки и задаются в двух отдельных загружениях.

Сечение - IPE 300, из материала S 235 с:
${\mathrm l}_\mathrm y\;=\;8.356\;\cdot\;10^{-5}\;\mathrm m^4\;$
$\mathrm E\;=\;2.1\;\cdot\;10^{11}\;\mathrm N/\mathrm m^2$
Чтобы иметь возможность учесть геометрическую матрицу жесткости в динамическом расчете, сначала определяется сочетание нагрузок для сейсмической расчетной ситуации в основной программе RFEM (см. уравнение 2).

Рисунок 03 – Задание сочетания нагрузок для сейсмической расчетной ситуации (выражение 2) и результирующих осевых сил. Эти осевые силы используются для определения геометрической матрицы жесткости.

Дополнительный модуль RF‑DYNAM Pro - Natural Vibrations позволяет определять собственные частоты, формы колебаний и эффективные модальные массы конструкции с учетом различных модификаций жесткости (см. руководство пользователя RF‑DYNAM Pro [5], глава 2.4.7, и техническую статью [6]). Определены два случая собственных колебаний. В NVC2, СН1 импортируется для рассмотрения геометрической матрицы жесткости и, следовательно, метода второго порядка. Для сравнения задан NVC1, который не включает никаких изменений жесткости.

Рисунок 04 - Параметры для анализа собственных чисел в RF-DYNAM Pro - Natural Vibrations

В следующей таблице представлены определенные собственные частоты f [Гц], собственные периоды T [с] и значения ускорения Sa [м/с²] на основе спектра реакций с геометрической матрицей жесткости Kg и без нее, обусловленной осевыми силами СН1.

Рисунок 05 – Значения собственных частот, периодов и ускорений

Анализ мультимодального спектра реакций использует собственные частоты для определения значений ускорения из определенного спектра реакций. На основе этих значений ускорения определяются эквивалентные нагрузки и внутренние силы спектра реакций. Графическое изображение пользовательского спектра реакций показано на рисунке 06, а значения ускорения Sa [м/с²], определенные по спектру реакций для каждого собственного числа, перечислены в таблице выше.

Рисунок 06 – Пользовательский спектр реакций

Чтобы обеспечить корректное распределение измененных частот, необходимо использовать правильный случай естественного колебания (NVC) для динамического загружения (DLC).

Рисунок 07 – Придание случая собственных колебаний к динамическому загружению для определения эквивалентных нагрузок

В случае осевых сжимающих сил, учет геометрической матрицы жесткости приводит к уменьшению собственной частоты и может вызвать более низкие значения ускорения Sa, как в нашем примере. Единственной модификации собственных частот недостаточно, чтобы учесть метод второго порядка. Фактически это может привести к меньшим результатам, что может быть неверным. Очень важно также использовать модифицированную матрицу жесткости для определения внутренних сил и деформаций.

В RF-DYNAM Pro - Forced Vibrations измененная жесткость автоматически используется для определения результатов спектра реакций, поскольку расчет выполняется в RF‑DYNAM Pro. В RF‑DYNAM Pro - Equivalent Loads эквивалентные нагрузки определяются и экспортируются как загружения в основную программу RFEM. Поэтому расчет выполняется частично в RF-DYNAM Pro и частично в RFEM.

Теоретическая основа для расчета эквивалентной нагрузки объясняется в Руководстве к RF‑DYNAM Pro [5]. Контрольный пример [7] показывает вычисление на конкретном примере. Определенные эквивалентные нагрузки, с геометрической матрицей жесткости и без нее, показаны на рисунке 08.

Рисунок 08 - Эквивалентные нагрузки для формы колебаний 1 (a) без модификации жесткости из ДЗГ1 и (b) с геометрической матрицей жесткости из ДЗГ2

Экспорт эквивалентных нагрузок имеет много преимуществ, но наиболее важным является правильная передача модификаций жесткости в загружения. Параметры расчета экспортируемых загружений должны быть скорректированы, как показано на рисунке 09.

Рисунок 09 - Параметры расчета загружений с экспортированными эквивалентными нагрузками. Здесь также необходимо учитывать геометрическую матрицу жесткости. Для этого импортируются осевые силы из ЗГ1.

Отдельные загружения комбинируются с помощью SRSS или CQC. Это автоматически задано в RF-DYNAM Pro и экспортируется в расчетные сочетания. Результаты с геометрической матрицей жесткости и без нее показаны на рисунке 10.

Рисунок 10 - Деформации uX, момент MY и опорные реакции PX, полученные в результате мультимодального спектрального анализа (a) без модификаций жесткости из ДЗГ1 и (b) с геометрической матрицей жесткости из ДЗГ2

Учет геометрической матрицы жесткости приводит к большим деформациям и внутренним силам. Однако эквивалентные нагрузки и результирующие опорные реакции немного меньше при учете геометрической матрицы жесткости.

Литература

[1]   Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance - Part 1: General rules, seismic actions and rules for buildings; EN 1998‑1:2004 / A1:2013
[2]   Wilson, E. (2002). Three dimensional static and dynamic analysis of structures. Berkeley, Calif.: Computers and Structures Inc.
[3]   Eurocode 0: Basis of structural design; EN 1990:2010‑12
[4]   Werkle, H. (2008). Finite Elemente in der Baustatik: Statik und Dynamik der Stab- und Flächentragwerke (3rd ed.). Wiesbaden: Springer Vieweg.
[5]   Manual RF-DYNAM Pro. (2016). Tiefenbach: Dlubal Software. Скачать.
[6]   Schubert, G. (2015). Import of Axial Forces, Stiffness Modifications and Extra Options in RF-/DYNAM Pro - Natural Vibrations. Tiefenbach: Dlubal Software.
[7]   Verification Example 105: Equivalent Loads. (2015). Dlubal Software website. Скачать.

Ссылки

Контакты

Свяжитесь с Dlubal

У вас есть какие-либо вопросы или необходим совет?
Свяжитесь с нами или ознакомьтесь с различными предлагаемыми решениями и полезными советами на странице часто задаваемых вопросов.

+49 9673 9203 0

info@dlubal.com

RFEM Основная программа
RFEM 5.xx

Основная программа

Программное обеспечение для расчета конструкций методом конечных элементов (МКЭ) плоских и пространственных конструктивных систем, состоящих из плит, стен, оболочек, стержней (балок), тел и контактных элементов

RFEM Динамический расчет
RF-DYNAM Pro - Natural Vibrations  5.xx

Дополнительный модуль

Динамический расчет собственных частот и форм колебаний моделей стержней, поверхностей и тел

RFEM Динамический расчет
RF-DYNAM Pro - Forced Vibrations 5.xx

Дополнительный модуль

Динамический и сейсмический расчет, включающий анализ истории времени и анализ многомодального спектра реакций

RFEM Динамический расчет
RF-DYNAM Pro - Equivalent Loads 5.xx

Дополнительный модуль

Расчет сейсмической и статической нагрузки с помощью анализа многомодального спектра реакций