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2017-01-18

Considerare gli effetti della teoria del secondo ordine nell'analisi dinamica

Der Einfluss der Theorie II. Ordnung darf näherungsweise mit einem Faktor 1 / (1 - θ) berücksichtigt werden, wenn 0,1 < θ ≤ 0,2. Per θ> 0,2, è necessario considerare la matrice di rigidezza geometrica quando si calcolano gli autovalori e l'analisi dello spettro di risposta multimodale.

Matrice geometrica della rigidezza

Per le analisi dinamiche, i calcoli iterativi per la determinazione non lineare della teoria del secondo ordine non sono adatti. Il problema può essere linearizzato, ed è sufficiente utilizzare la matrice di rigidezza geometrica basata sui carichi assiali per considerare la teoria del secondo ordine. Per questo, si presume che i carichi verticali non cambino a causa degli effetti orizzontali e che le deformazioni siano piccole rispetto alle dimensioni dell'edificio [2]. I carichi da considerare devono corrispondere a quelli per le situazioni di progetto sismico secondo EN 1990, Sezione 6.4.3.4 [3] :


dove
Ed = valore di progetto degli effetti
Gk, j = valore caratteristico dell'azione permanente j
Qk, i = valore caratteristico dell'azione variabile i
Ψ2, i = coefficiente per i valori quasi permanenti delle azioni variabili i

Le forze di trazione assiali aumentano la rigidezza, ad esempio, in un cavo precompresso. Le forze di compressione riducono la rigidezza e possono portare a una singolarità nella matrice di rigidezza. La rigidezza geometrica Kg non dipende dalle proprietà meccaniche della struttura, ma solo dalla lunghezza dell'asta L e dalla forza assiale N. Per illustrare il problema di base, la Figura 01 mostra un semplice esempio di sbalzo. I singoli punti di massa dello sbalzo rappresentano i singoli piani di un edificio. L'edificio è sottoposto ad analisi dinamica secondo la teoria del secondo ordine. Le forze assiali Ni sui singoli piani i = 1 ... n risultano dalle forze verticali nella situazione sismica di progetto (vedi espressione 2). L'altezza della trama è definita da hi.

La matrice di rigidezza geometrica Kg può essere derivata dalle condizioni di equilibrio statico:

Ai fini della semplificazione, qui vengono visualizzati solo i gradi di libertà dello spostamento orizzontale. La derivazione mostrata si basa sull'approccio del momento di ribaltamento dovuto all'applicazione dello spostamento lineare. Questa è una semplificazione per l'elemento di piegatura e un'ipotesi accurata per l'elemento di capriata. Una determinazione più precisa della matrice di rigidezza geometrica per le travi di flessione può essere ottenuta utilizzando l'approccio dello spostamento cubico o la soluzione analitica dell'equazione differenziale della linea di flessione. Informazioni più dettagliate e derivazioni sono fornite da Werkle [4]. La matrice di rigidezza geometrica Kg viene aggiunta alla matrice di rigidezza del sistema K , e quindi si ottiene la matrice di rigidezza modificata Kmod :
Kmod = K + Kg (4)

Nel caso di forze normali di compressione, questo di conseguenza porta ad una riduzione della rigidezza.

Esempio Frequenze naturali e analisi dello spettro di risposta multimodale considerando la teoria del secondo ordine

Quanto segue mostra come la matrice di rigidezza geometrica può essere considerata in RFEM e nei moduli aggiuntivi RF ‑ DYNAM Pro. Als Beispiel wird der in Bild 1 dargestellte Kragarm verwendet. Il cantilever è costituito da cinque punti di massa concentrata. Qui, 4.000 kg agiscono nella direzione X globale in ogni caso.

La sezione trasversale è IPE 300 in materiale S 235 con Iy = 8,356 ∙ 10 -5 m 4 ed E = 2,1 ∙ 10 11 N/m 2. Per essere in grado di considerare la matrice di rigidezza geometrica nell'analisi dinamica, una combinazione di carico è inizialmente definita per la situazione sismica di progetto nel programma principale di RFEM (vedere l'equazione 2).

Il modulo aggiuntivo RF ‑ DYNAM Pro - Natural Vibrations consente di determinare le frequenze naturali, le forme modali e le masse modali efficaci di una struttura, tenendo conto delle varie modifiche della rigidezza (consultare il manuale RF ‑ DYNAM Pro [5] , capitolo 2.4. 7 e articolo tecnico [6] ). Sono definiti due casi di vibrazione naturale. In NVC2, la CO1 viene importata per considerare la matrice di rigidezza geometrica e quindi la teoria del secondo ordine. Per confronto, si definisce NVC1, che non include alcuna modifica della rigidezza.

La seguente tabella include le frequenze naturali determinate f [Hz], i periodi naturali T [sec] e i valori di accelerazione Sa [m/s²] basati sullo spettro di risposta, con e senza la matrice di rigidezza geometrica Kg risultante dall'assiale forze di CO1.

L'analisi dello spettro di risposta multimodale utilizza le frequenze naturali per determinare i valori di accelerazione dallo spettro di risposta definito. Diese Beschleunigungswerte sind Grundlage für die Ermittlung der Ersatzlasten und Schnittgrößen des Antwortspektrenverfahrens. La visualizzazione grafica di uno spettro di risposta definito dall'utente è mostrata nella Figura 06, e i valori di accelerazione Sa [m/s²] determinati dallo spettro di risposta per ciascun autovalore sono elencati nella tabella sopra.

Al fine di garantire la corretta allocazione delle frequenze modificate, il caso di vibrazione naturale (NVC) corretto deve essere assegnato al caso di carico dinamico (DLC).

Nel caso di forze assiali di compressione, la considerazione della matrice di rigidezza geometrica porta alla riduzione della frequenza naturale, e può causare valori di accelerazione inferiori Sa , come nel nostro esempio. La sola modifica delle frequenze naturali non è sufficiente per considerare la teoria del secondo ordine, in realtà, questo può effettivamente portare a risultati più piccoli, che possono quindi essere errati. È molto importante anche utilizzare la matrice di rigidezza modificata per determinare le forze interne e le deformazioni. In RF-DYNAM Pro - Forced Vibrations, la rigidezza modificata viene automaticamente utilizzata per determinare i risultati dello spettro di risposta, poiché il calcolo viene eseguito in RF ‑ DYNAM Pro. In RF ‑ DYNAM Pro - Carichi equivalenti, i carichi equivalenti vengono determinati ed esportati come casi di carico nel programma principale di RFEM. Pertanto, il calcolo viene eseguito parzialmente in RF ‑ DYNAM Pro e in parte in RFEM. Il background teorico per il calcolo del carico equivalente è spiegato nel Manuale RF ‑ DYNAM Pro [5]. L'esempio di verifica [7] mostra il calcolo su un esempio specifico. I carichi equivalenti determinati, con e senza la matrice di rigidezza geometrica, sono mostrati nella Figura 08.

L'esportazione dei carichi equivalenti presenta molti vantaggi, ma il più importante è il corretto trasferimento delle modifiche di rigidezza nei casi di carico. I parametri di calcolo dei casi di carico esportati devono essere adeguati come mostrato nella Figura 09.

I singoli casi di carico vengono sovrapposti utilizzando il metodo SRSS o CQC. Viene automaticamente impostato in RF ‑ DYNAM Pro ed esportato in combinazioni di risultati. I risultati con e senza la matrice di rigidezza geometrica sono mostrati in Figura 10.

La considerazione della matrice di rigidezza geometrica porta a maggiori deformazioni e forze interne. Tuttavia, i carichi equivalenti e i carichi sui vincoli risultanti sono leggermente inferiori se si considera la matrice di rigidezza geometrica.

Letteratura

[1] Eurocodice 8: Progettazione di strutture antisismiche - Parte 1: Regole generali, azioni sismiche e regole per gli edifici; EN 1998-1: 2004/A1: 2013
[2] Wilson, E. L .: Analisi statica e dinamica tridimensionale di strutture. Computer e strutture, 2002
[3] Eurocodice: Basi della progettazione strutturale; EN 1990: 2010‑12
[4] Werkle, H.: Finite Elemente in der Baustatik: Statik und Dynamik der Stab- und Flächentragwerke (3a edizione). Wiesbaden: Springer Vieweg, 2008
[5] Manuale RF-DYNAM Pro. Tiefenbach: Dlubal Software, settembre 2016. Scarica ...
[6] Schubert, G .: Dlubal RFEM 5 e RSTAB 8 - Importazione di modifiche di rigidezza. Tiefenbach: Dlubal Software, maggio 2015
[7] Esempio di verifica 105: Carichi equivalenti. Tiefenbach: Dlubal Software, dicembre 2015. Scarica ...

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