动力分析中考虑二阶理论

技术文章

极限状态设计,在规范 EN 1998‑1 [1] 在第 2.2.2 章和第 4.4.2.2 章中,需要在计算中考虑二阶理论(P‑Δ 效应)。仅在层间侧移敏感度系数 θ 小于 0.1 时不考虑该效应。

系数 θ 的定义如下:

$$\mathrm\theta\;=\;\frac{\displaystyle{\mathrm P}_\mathrm{tot}\;\cdot\;{\mathrm d}_\mathrm r}{{\mathrm V}_\mathrm{tot}\;\cdot\;\mathrm h}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

这里

θ  为层间侧移敏感度系数
Ptot  为抗震设计情况中所考虑的楼层及更高楼层的总重力荷载(见表达式 2)
dr  为设计层间侧移,其值为考虑楼层上、下部由设计地震作用引起的结构体系的点位移 dS 的差值,其 d由结构体系同一点的位移乘以位移性能系数 q = 1.0
Vtot  为楼层总抗震剪力
为层间高度

如果 0.1 < θ ≤ 0.2,则可将相关地震作用效应乘以一个等于 1 / (1 − θ) 的因式,以此来近似地考虑二阶效应。如果 θ > 0.2,那么在计算特征值和多模态反应谱分析时,需要考虑几何刚度矩阵。

几何刚度矩阵

二阶非线性分析的迭代计算在这里不合适进行动力分析。这个问题可以线性化,使用基于轴向载荷的几何刚度矩阵来考虑二阶理论是足够精确的。因此假设垂直荷载不因水平作用而变化,并且变形与建筑物尺寸相比较非常小 [2]。按照 EN 1990 中第 6.4.3.4 节 [3] 要考虑的荷载应与抗震设计情况下的荷载相符合:

$${\mathrm E}_\mathrm d=\sum_{\mathrm j\geq1}{\mathrm G}_{\mathrm k,\mathrm j}+\sum{\mathrm\Psi}_{2,\mathrm i}{\mathrm Q}_{\mathrm k,\mathrm i}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$

这里

Ed  为作用效应设计值
Gk,j  为永久作用 j 特征值
Qk,i  为可变作用 i 特征值
Ψ2,i  为可变作用 i 准永久值的系数

例如在预应力缆绳中轴向拉力提高了刚度,压力使刚度降低并且导致刚度矩阵奇异性。几何刚度 Kg 与系统的机械性能不相关,而是取决于杆件长度 L 和轴力 N。

为了说明基本问题,在图 1 中显示了一个简单的悬臂示例,悬臂的单个质点表示建筑物的各个楼层。这里考虑二阶理论对建筑物进行动力分析,在抗震设计情况下,各个楼层 i = 1...n 的轴力 Ni 是由竖向力产生的(见表达式 2),楼层高 hi。

图 01 - Reduction of building on cantilever structure. The individual mass points represent storeys. Displacement due to compression normal forces shown in (a) is converted to (b) overturning moments or lateral loads [2].

几何刚度矩阵 Kg 能通过力学平衡条件推导:

$$\begin{bmatrix}{\mathrm F}_\mathrm i\\{\mathrm F}_{\mathrm i+1}\end{bmatrix}\;=\;\underbrace{\frac{{\mathrm N}_\mathrm i}{{\mathrm h}_\mathrm i}\left[\begin{array}{rc}1.0&\;-1.0\\-1.0&\;1.0\end{array}\right]}_{{\mathbf K}_\mathbf g}\;\begin{bmatrix}{\mathrm u}_\mathrm i\\{\mathrm u}_{\mathrm i+1}\end{bmatrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$

出于简化的目的,这里只显示水平位移的自由度,所示的推导是基于线性位移应用的偏移弯矩方法,这是弯曲单元的简化,在桁架单元中是精确的假设。

通过使用立方的位移法或挠曲线的微分方程的解析解可以精确计算弯曲梁的几何刚度矩阵。在 Werkle [4] 中提供了更多的信息和推导。

几何刚度矩阵 Kg 添加到系统刚度矩阵 K 中从而得出修改后的刚度矩阵 Kmod :

$${\mathbf K}_\mathbf{mod}\;=\;\mathbf K\;+\;{\mathbf K}_\mathbf g\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$

在受压轴力的情况下,可以导致刚度降低。

举例:考虑二阶理论的固有频率和多模态反应谱

下面展示怎么在 RFEM 和附加模块 RF‑DYNAM Pro 中考虑几何刚度矩阵。如在图 1 中的示例悬臂梁,悬臂是由五个集中质点组成,在这里是每个 4000 kg 作用在全局 X 方向上。

图 02 - Self-weight and imposed loads are summarised as nodal loads and defined in two separate load cases.

材料是 S235 钢的 IPE 300:
${\mathrm l}_\mathrm y\;=\;8.356\;\cdot\;10^{-5}\;\mathrm m^4\;$
$\mathrm E\;=\;2.1\;\cdot\;10^{11}\;\mathrm N/\mathrm m^2$
为了能考虑动力分析中的几何刚度矩阵,首先在主程序 RFEM 中抗震设计时定义一个荷载组合(见等式 2)。

图 03 - Definition of the load combination for the seismic design situation (Expression 2) and the resulting axial forces. These axial forces are used to determine the geometric stiffness matrix.

在附加模块 RF‑DYNAM Pro - Natural Vibrations 中允许根据各种刚度修改确定固有频率、振型和结构有效模态(见手册 RF‑DYNAM Pro Manual [5] 中第 2.4.7 章以及技术文章 [6])。定义了两个固有频率情况,在 NVC2 中 CO1 是为了考虑几何刚度矩阵和考虑二阶理论而导入,为了比较,定义了没有任何刚度修改的 NVC1。

图 04 - Parameters for Eigenvalue Analysis in RF‑DYNAM Pro - Natural Vibrations

下表中包括了没有刚度修改的 NVC1 和在 CO1 中的轴力得出的几何刚度矩阵 Kg 的 NVC2 情况下的固有频率 f [Hz]、固有周期 T [sec]、从反应谱得到的加速度 Sa [m/s²]。

图 05 - Natural Frequencies, Periods and Acceleration Values

多模态反应谱分析使用固有频率从定义的反应谱中确定加速度值。根据这些加速度值,确定等效荷载和反应谱方法中的内力。在图 6 中显示了用户定义的反应谱图形,并且在表中列出了从反应谱得到加速度值 Sa [m/s²]。

图 06 - User-Defined Response Spectrum

为了确保修正频率的正确分配,必须将正确的固有振动工况 (NVC) 分配给动力荷载工况 (DLC)。

图 07 - Assigning Natural Vibration Case to Dynamic Load Case to Determine Equivalent Loads

在受压轴力情况下,考虑几何刚度矩阵导致固有频率降低并且在该例中得到较小的加速度值 Sa。仅对固有有频率的修改不足以考虑二阶理论,事实上这可能导致得出较小的结果,因此处于不安全的一面。也使用修正的刚度矩阵来确定内力和变形是非常重要。

在模块 RF-DYNAM Pro - 强迫振动 中修正的刚度应用于自动计算反应谱方法的结果,因为在这里计算是在 RF‑DYNAM Pro 中进行。在模块 RF‑DYNAM Pro - 等效荷载 中计算出等效荷载并作为荷载工况导出到主程序 RFEM,因此一部分计算是在 RF‑DYNAM Pro 进行,一部分计算是在 RFEM 中进行。

在手册 RF‑DYNAM Pro [5] 中介绍了等效荷载计算的理论背景,验证示例 [7] 展示了具体示例的计算,在图 8 中显示了带有几何刚度矩阵和没有几何刚度矩阵确定的等效荷载。

图 08 - Equivalent loads for Mode Shape 1 (a) without stiffness modifications from DLC1 and (b) with geometric stiffness matrix from DLC2

导出等效荷载有许多优点,但是最重要的是在荷载工况中刚度修正的正确传递,导出的荷载工况的计算参数必须如图 9 所示进行调整。

图 09 - Calculation parameters of load cases with the exported equivalent loads. Here also, the geometric stiffness matrix must be considered. For this, the axial forces from LC1 are imported.

使用 SRSS 或者 CQC 方法叠加各个荷载工况,这在 RF‑DYNAM Pro 中自动设置并且导出到结果组合中,带有几何刚度矩阵和没有几何刚度矩阵的结果显示在图 10 中。

图 10 - Deformations uX, moment MY, and support reactions PX resulting from the multi-modal response spectrum analysis (a) with no stiffness modifications from DLC1 and (b) with the geometric stiffness matrix from DLC2

考虑几何刚度矩阵导致更大的变形和内力,然而在考虑几何刚度矩阵时等效荷载和由此产生的支座荷载就较小一点。

参考

[1]   Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance - Part 1: General rules, seismic actions and rules for buildings; EN 1998‑1:2004 / A1:2013
[2]   Wilson, E. (2002). Three dimensional static and dynamic analysis of structures. Berkeley, Calif.: Computers and Structures Inc.
[3]   Eurocode 0: Basis of structural design; EN 1990:2010‑12
[4]   Werkle, H. (2008). Finite Elemente in der Baustatik: Statik und Dynamik der Stab- und Flächentragwerke (3rd ed.). Wiesbaden: Springer Vieweg.
[5]   Manual RF-DYNAM Pro. (2016). Tiefenbach: Dlubal Software. Download.
[6]   Schubert, G. (2015). Import of Axial Forces, Stiffness Modifications and Extra Options in RF-/DYNAM Pro - Natural Vibrations. Tiefenbach: Dlubal Software.
[7]   Verification Example 105: Equivalent Loads. (2015). rel="noopener noreferrer" Dlubal Software website. Download.

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