动力分析中考虑二阶理论

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EN 1998-1中的条款2.2.2和4.4.2.2 [1]要求在极限状态下的计算必须考虑二阶理论(P-Δ效应)。 只有当相互楼板位移θ的灵敏度系数小于0.1时,才可以忽略该影响。 系数θ定义如下:
$$\mathrm\theta\;=\;\frac{\displaystyle{\mathrm P}_\mathrm{tot}\;\cdot\;{\mathrm d}_\mathrm r}{{\mathrm V}_\mathrm{tot}\;\cdot\;\mathrm h}\;(1)$$

θ=楼板相互位移的敏感系数
P tot =在考虑的地震荷载作用下考虑的层中及以上的总重力(见公式2)
d r =倒地楼层位移,由所考虑楼层顶部和底部的水平位移d S得出 ;位移通过线性设计响应谱q = 1.0确定
V tot =考虑的层的总地震力,通过线性设计反应谱确定
h =楼层高度

如果0.1 <θ≤0.2,那么二阶理论的影响可以考虑以系数1/(1-θ)来考虑。 当θ> 0.2时,计算特征值和计算多模态响应谱法时必须考虑几何刚度矩阵。

几何刚度矩阵

对于动态分析,不适合用于二阶分析的非线性计算的迭代计算。 该问题可以线性化,并且在轴向荷载的基础上使用几何刚度矩阵考虑二阶理论是足够准确的。 假定竖向荷载不因水平作用而变化,并且变形小于建筑物尺寸[2] 。 所考虑的荷载应与按照EN 1990条款6.4.3.4 [3]设计的地震荷载对应:
$${\mathrm E}_\mathrm d\;=\;\mathrm\Sigma\;{\mathrm G}_{\mathrm k,\mathrm j}\;+\;\mathrm\Sigma\;{\mathrm\psi}_{2,\mathrm i}{\mathrm Q}_{\mathrm k,\mathrm i}\;(2)$$

E d =作用的设计值
G k,j =永久作用j的特征值
Q k,i =变量作用i的特征值
Ψ2 ,i =变量作用的准永久值的系数i

轴向拉力可以提高刚度,例如预应力索。 压应力会降低刚度,并导致刚度矩阵出现奇异性。 几何刚度K g不取决于系统的力学性能,而取决于构件的长度L和轴向力N。 为了说明这个基本问题,为简化起见,使用了一个悬臂梁,如图1所示。 悬臂的各个质量点代表建筑物的各个楼层。 对该建筑物进行了动力分析,考虑了二阶理论。 各个层中的轴向力i i = 1…n是在地震情况下的竖向力(见公式2)。 层高由h i定义。

图片 01 - 1-减少在悬臂结构上的建筑物。 各个质量点代表楼层。 由(a)中的压缩法向力引起的位移被转换为(b)倾覆力矩或侧向荷载[2]。

几何刚度矩阵K g可以由静平衡条件得出:
$$\begin{bmatrix}{\mathrm F}_\mathrm i\\{\mathrm F}_{\mathrm i+1}\end{bmatrix}=\underbrace{\frac{{\mathrm N}_\mathrm i}{{\mathrm h}_\mathrm i}\left[\begin{array}{rc}1.0&-1.0\\-1.0&1.0\end{array}\right]}_{{\mathbf K}_\mathbf g}\begin{bmatrix}{\mathrm u}_\mathrm i\\{\mathrm u}_{\mathrm i+1}\end{bmatrix}\;(3)$$

为了简化说明,这里只显示水平位移的自由度。 所示的推导是基于偏移力矩的线性位移方法得出的。 这是弯曲单元的简化,桁架单元的精确假设。 弯曲梁的几何刚度矩阵的更精确的确定可以通过三次位移法或者通过弯曲线微分方程的解析解来实现。 Werkle [4]提供了更详细的信息和推导。 几何刚度矩阵K g被添加到系统刚度矩阵K中,并得出修正的刚度矩阵K mod
K mod = K + K g (4)

因此在受压法向力的情况下导致刚度减小。

举例: 考虑二阶理论的固有频率和多模态反应谱分析

下图显示了如何在附加模块RFEM和RF-DYNAM Pro中考虑几何刚度矩阵。 例如,使用图1所示的悬臂梁。 悬臂梁包含五个集中质量点。 在这里,每个4,000 kg沿全局X方向作用。

截面为IPE 300,材料S 235的I y = 8.356∙10 -5 m 4 ,E = 2.1∙10 11 N/m 2 。 为了在动态分析中考虑几何刚度矩阵,在主程序RFEM中首先定义了地震设计情况下的荷载组合(见公式2)。

图片 02 - 3-定义抗震设计情况下的荷载组合(表达式2)以及由此产生的轴向力。 这些轴向力用于确定几何刚度矩阵。

使用RF-DYNAM Pro-自然振动,可以确定结构的固有频率,振型和有效振型。这可以通过考虑各种刚度修改来实现(参见RF-DYNAM Pro手册[5]和Dlubal Blog [6]中的2.4.7章)。 定义了两个自然振动工况。 在ESF2中输入CO1是为了考虑几何刚度矩阵,从而考虑二阶理论。 为了便于比较,定义了ESF1。它不包含刚度修改。

图片 04 - 4 - Parameters for Eigenvalue Analysis in RF-DYNAM Pro - Natural Vibrations

下表列出了所确定的固有频率F [Hz]时自然周期T [秒],和加速度值S A [米/秒²],这是从反应谱读取,具有和不考虑几何刚度矩阵K 由CO1的法向力产生。

图片 05 - 5 - Natural Frequencies, Periods and Acceleration Values

在多模态反应谱方法中,加速度值通过固有频率从定义的反应谱中读取。 这些加速度值是确定响应谱分析的等效荷载和内力的基础。 用户定义的响应谱图如图6所示。在上表中列出了从每个特征值的响应谱中读出的加速度值S a [m/s²]。

图片 06 - User-Defined Response Spectrum

为了确保正确分配修改后的频率,必须在动荷载工况(DLF)中分配正确的自然振动工况(ESF)。

图片 07 - Assigning Natural Vibration Case to Dynamic Load Case to Determine Equivalent Loads

几何刚度矩阵的考虑导致在压缩法向力的情况下固有频率的减小,并且在该示例中可以导致相应的加速度值S a减小。 仅考虑固有频率的修改还不足以考虑二阶理论。相反,它甚至可能导致较小的结果,因此存在不确定性。 使用修正的刚度矩阵确定内力和变形也很重要。 在RF-DYNAM Pro-强迫振动中,修改后的刚度会自动用于确定响应谱分析的结果,因为它是在RF-DYNAM Pro中进行计算。 在RF-DYNAM Pro-等效荷载中确定等效荷载,并在荷载工况下导出到主程序RFEM中。 因此,计算部分在RF-DYNAM Pro中进行,部分在RFEM中进行。 计算等效荷载的理论背景可以在RF-DYNAM Pro手册[5]中找到。 验证示例[7]给出了计算示例。 在不考虑几何刚度矩阵的情况下确定的等效荷载如图8所示。

图片 08 - Equivalent Loads for Mode Shape 1

导出等效荷载有很多优点,但是将刚度修改正确地传递到荷载工况是很重要的。 导出的荷载工况的计算参数必须修改,如图9所示。

图片 09 - 导出等效荷载的荷载工况的计算参数。 在此还必须考虑几何刚度矩阵,其中轴向力是从CO1中导入的

各个荷载工况与SRSS或CQC规则叠加。 这由RF-DYNAM Pro自动控制并以结果组合形式导出。 在不考虑几何刚度矩阵的情况下的结果如图10所示。

图片 10 - Deformations uX, moment MY, and support reactions PX

考虑几何刚度矩阵会导致更大的变形和内力。 另一方面,考虑几何刚度矩阵,作用的等效荷载和相应的支座荷载要小一些。

使用的文献材料

[1]  欧洲规范8: 抗震结构设计-第1部分: 建筑物的基础,地震作用和规则; EN 1998-1:2004/A1:2013
[2]  威尔逊E. L .: 结构的三维静力和动力分析。 计算机与结构,2002
[3]  欧洲代码: 结构工程基础; DIN EN 1990:2010-12
[4] Werkle,H。: 结构分析中的有限元: 杆件和面结构的静力学和动力学,第三版。 威斯巴登: Springer Vieweg,2008年
[5] 手册RF-DYNAM Pro。 Tiefenbach: Dlubal Software,2016年9月。 下载...
[6] 舒伯特,G .: Dlubal RFEM 5&RSTAB 8-在RF-/DYNAM Pro-Natural Vibration中导入法向力,刚度变化和选项 。 Tiefenbach: Dlubal Software,2015年5月
[7] 验证示例105: 等效荷载。 Tiefenbach: Dlubal Software,2015年12月。 下载...

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