二阶效应可以近似通过系数 1/(1 − θ) 来考虑，如果 0.1 < θ ≤ 0.2。 对于 θ > 0.2，在计算振型和多振型反应谱方法时必须考虑几何刚度矩阵。
几何刚度矩阵
对于动力分析，二阶效应的迭代计算不适用。 该问题可以被线性化，并且使用基于轴向荷载的几何刚度矩阵来考虑二阶效应理论就足够了。 对此，假设竖向荷载不会由于水平作用而改变，并且与建筑尺寸相比较小[2] 。 根据欧洲规范 EN 1990，章节 6.4.3.4 [3] ，考虑的荷载对应于抗震设计情况：
值:
Ed = 效应设计值
Gk,j = 永久作用 j 的标准值
Qk,i = 可变作用 i 的标准值
ψ2,i = 可变作用准永久值的系数 i
轴向拉力会增加刚度，例如在预应力钢索中。 压力会降低刚度矩阵的刚度，并导致奇异。 几何刚度Kg与结构的力学属性无关，而与杆件长度 L 和轴力 N 有关。 为了说明基本问题，图 01 中显示了悬臂梁的一个简单示例。 悬臂的各个质量点代表建筑物的各楼层。 该结构采用二阶效应理论进行动力分析。 各楼层的轴力 Ni = 1...n 在抗震设计情况下由竖向力得出（见公式 2）。 楼层高度由 hi定义。
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几何刚度矩阵Kg可以根据静力平衡条件得出：
为了简化说明这里只显示水平位移的自由度。 所示的推导是基于倾覆弯矩方法中的线性位移。 这是对受弯单元的简化，对桁架单元的假设是准确的。 对于弯曲梁的几何刚度矩阵，可以通过位移三次法或弯曲线的微分方程的解析解得到更精确的确定。 更详细的信息和推导可以参考 Werkle [4] 。 将几何刚度矩阵Kg与系统刚度矩阵K相加，得到修正刚度矩阵Kmod ：
Kmod = K + Kg (4)
在受压轴力的情况下，这会导致刚度降低。
示例 考虑二阶理论的固有频率和多振型反应谱分析
下面介绍如何在 RFEM 和附加模块 RF-DYNAM Pro 中考虑几何刚度矩阵。 这里以图片 01 中的悬臂梁为例。 悬臂梁由五个集中的质量点组成。 在这里全局 X 方向上的荷载为 4000 kg。
截面为 IPE 300，由材料 S 235 制成，截面 Iy = 8.356 ∙ 10-5 m4 ，E = 2,1 ∙ 1011 N/m2 。 为了能够在动力分析中考虑几何刚度矩阵，首先在 RFEM 主程序中在抗震设计情况下定义一个荷载组合（见公式 2）。
使用附加模块 RF-DYNAM Pro - 固有振动，可以在考虑刚度调整的情况下确定自振频率、振型和有效模态质量（见 RF-DYNAM Pro 使用手册[5]的第 2.4 章）。 7，技术文章[6] ）。 定义了两个固有振动工况。 在 NVC2 中导入 LC1，以便考虑几何刚度矩阵和二阶效应理论。 为了便于比较，这里定义不考虑刚度调整的 NVC1。
下表是根据反应谱计算得出的自振频率 f [Hz]、固有周期 T [秒]和加速度 Sa [m/s²]，包含和不包含几何刚度矩阵Kg ， CO1 的力。
在多振型反应谱分析方法中可以计算结构自振频率来计算反应谱中的加速度。 根据这些加速度值可以计算等效荷载和内力反应谱。 用户自定义反应谱的图形显示如图 06 所示，由每个特征值反应谱确定的加速度值 Sa [m/s²] 在上表中列出。
为了确保正确地分配修正频率，必须将正确的固有振动工况 (NVC) 分配给动荷载工况 (DLC)。
在施加轴向压力的情况下，通过调整几何刚度矩阵来计算结构的固有频率， 考虑二阶效应理论，仅仅调整自振频率是不够的。并且可能导致错误的结果出现。 修改后的刚度矩阵对于计算内力和变形也非常重要。 在附加模块 RF-DYNAM Pro - 强迫振动中计算反应谱时自动使用修正的刚度值，因为计算是在附加模块 RF-DYNAM Pro 中完成。 在附加模块 RF-DYNAM Pro - 等效荷载中计算等效荷载，然后作为荷载工况导出到主程序 RFEM 中。 因此，该计算部分在 RF-DYNAM Pro 中进行，部分在 RFEM 中进行。 计算等效荷载的理论背景可以参考手册 RF-DYNAM Pro [5]。 验算示例[7]给出了在具体算例上的计算结果。 计算得出的带有和没有几何刚度矩阵的等效荷载如图 08 所示。
导出等效荷载有很多优点，但最重要的是可以正确传递荷载工况中的刚度调整。 导出的荷载工况的计算参数必须按照图 09 中所示进行调整。
各个荷载工况通过 SRSS 或 CQC 方法进行叠加。 在模块 RF-DYNAM Pro 中会自动设置并导出到结果组合中。 图10显示使用和不使用几何刚度矩阵的结果。
考虑几何刚度矩阵会导致较大的变形和内力。 但是在考虑几何刚度矩阵时有效的等效荷载和由此产生的支座荷载略小。
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