Zohlednění účinků druhého řádu při dynamické analýze

Odborný článek

Podle normy EN 1998‑1, čl. 2.2.2 a 4.4.2.2 [1] se mají při posouzení v mezním stavu únosnosti uvažovat ve výpočtu účinky druhého řádu (P‑Δ účinky). Tyto účinky můžeme zanedbat, pokud je součinitel citlivosti na mezipodlažní posun θ menší než 0,1.

Součinitel θ je definován následovně:

θ = (Ptot ⋅ dr) / (Vtot ⋅ h)    (1)

kde

θ    =   součinitel citlivosti na mezipodlažní posun,
Ptot    =   celková tíha na podlaží a nad ním, uvažovaná v seizmickém návrhu (viz rovnice 2),
dr    =   návrhový mezipodlažní posun, vyjádřený jako rozdíl průměrného příčného posunu dS vrchní a spodní úrovně podlaží, počítaného pomocí lineárního návrhového spektra odezvy s hodnotou q = 1,0,
Vtot    =   celková seizmická smyková síla v podlaží, počítaná pomocí lineárního návrhového spektra odezvy,
h    =   výška podlaží.

Jestliže 0,1 < θ ≤ 0,2, účinky druhého řádu mohou být uvažovány ve výpočtu přibližně tak, že se příslušné účinky seizmického zatížení násobí součinitelem rovným 1 / (1 – θ). Pokud θ > 0,2, zohledňuje se při výpočtu vlastních čísel a při multimodální analýze spektra odezvy geometrická matice tuhosti.

Geometrická matice tuhosti

Při dynamické analýze není vhodné uplatňovat iterační nelineární metody výpočtu účinků druhého řádu. Úlohu lze linearizovat a dostatečnou přesnost zajistíme, pokud pro uvážení účinků druhého řádu zohledníme geometrickou matici tuhosti na základě osových zatížení. Předpokládá se přitom, že svislá zatížení se na základě vodorovných účinků nemění a že deformace jsou v porovnání s rozměry budovy malé [2]. Zohlednit by se měla zatížení, která odpovídají seizmické návrhové situaci podle EN 1990, čl. 6.4.3.4 [3]:

Ed = ∑j≥1 Gk,j + ∑ Ψ2,i Qk,i   (2)

kde

Ed  návrhová hodnota zatížení,
Gk,j  charakteristická hodnota stálého zatížení j,
Qk,i  charakteristická hodnota proměnného zatížení i,
Ψ2,i  součinitel kvazistálých hodnot proměnných zatížení i.

Osové tahové síly zvyšují tuhost, jako například u předpjatého lana. Tlakové síly tuhost snižují a mohou vést k singularitě v matici tuhosti. Geometrická tuhost Kg není závislá na mechanických vlastnostech konstrukce, nýbrž pouze na délce L a normálové síle N v prutu. Pro objasnění základního problému použijeme zjednodušeně konzolu znázorněnou na Obr. 01.

Jednotlivé hmotné body konzoly představují jednotlivá podlaží budovy. Budovu chceme podrobit dynamické analýze, při které se budou uvažovat účinky druhého řádu. Osové síly Ni v jednotlivých podlažích i = 1…n vyplývají ze svislých sil v seizmické návrhové situaci (viz rovnice 2). Výšku podlaží udává hi.

Obr. 01 – Redukce budovy na konzolovou konstrukci. Jednotlivé hmotné body představují podlaží. Vychýlení vlivem tlakových osových sil znázorněné na obrázku (a) se přepočítá (b) na ekvivalentní točivé momenty, případně posouvající síly [2].

Geometrickou matici tuhosti Kg lze odvodit ze statických podmínek rovnováhy:

(3)

Pro zjednodušení jsou zde znázorněny jen stupně volnosti ve vodorovném posunu. Výše uvedené odvození geometrické matice tuhosti vychází z uvážení točivého momentu předpokládajícího lineární posun. V případě ohybového prvku se jedná o zjednodušení, u příhradového prvku o exaktní řešení.

Přesnějšího výpočtu geometrické matice tuhosti u ohybových nosníků lze dosáhnout kubickou funkcí nebo analytickým řešením diferenciální rovnice ohybové čáry. Další informace a odvození předkládá Werkle [4]. Geometrická matice tuhosti Kg se přidá k matici tuhosti konstrukce K, a tím dostáváme modifikovanou matici tuhosti Kmod:

Kmod = K + Kg    (4)

Důsledkem je v případě tlakových osových sil nižší tuhost.

Příklad: Vlastní frekvence a multimodální analýza spektra odezvy při zohlednění účinků druhého řádu

Následně si ukážeme, jak se geometrická matice tuhosti zohledňuje v programu RFEM a jeho přídavných modulech RF‑DYNAM Pro. Jako příklad nám poslouží konzola znázorněná na Obr. 01. V konzole se hmota soustředí do pěti bodů, v nichž působí vždy 4 000 kg v globálním směru X.

Obr. 02 - Vlastní tíha a provozní zatížení se spojují do uzlových zatížení a definují se ve dvou samostatných zatěžovacích stavech.

Jako průřez vybereme IPE 300 a jako materiál S 235, kdy:
Iy = 8356 ⋅ 10-5 m4 a
E = 2,1 ⋅ 1011 N/m².
Má‑li se zohlednit geometrická matice tuhosti při dynamické analýze, je třeba nejdříve v hlavním programu RFEM zadat kombinaci zatížení pro seizmickou návrhovou situaci (viz rovnice 2).

Obr. 03 - Zadání kombinace zatížení pro seizmickou návrhovou situaci (rovnice 2) a výsledné osové síly. Z daných osových sil se bude vycházet při stanovení geometrické matice tuhosti.

Modul RF‑DYNAM Pro – Natural Vibrations umožňuje spočítat vlastní frekvence, vlastní tvary a efektivní modální hmoty konstrukce při zohlednění nejrůznějších úprav tuhosti (viz kapitola 2.4.7 manuálu RF‑DYNAM Pro [5] a také článek [6]). Zadáme dva případy vlastního kmitání (PVK). Do PVK2 se importuje kombinace zatížení 1 (KZ1) pro zohlednění geometrické matice tuhosti, a tím také účinků druhého řádu. Pro srovnání vytvoříme PVK1, který nebude obsahovat žádné úpravy tuhosti.

Obr. 04 - Parametry pro výpočet vlastních čísel v modulu RF‑DYNAM Pro – Natural Vibrations

V následující tabulce jsou přehledně uvedeny vypočítané vlastní frekvence f [Hz], vlastní periody T [s] a hodnoty zrychlení stanovené na základě spektra odezvy Sa [m/s²] při i bez zohlednění geometrické matice tuhosti Kg odvozené z osových sil z KZ1.

Obr. 05 - Vlastní frekvence, vlastní periody a hodnoty zrychlení

Při multimodální analýze spektra odezvy se na základě vlastních frekvencí stanoví ze zadaného spektra odezvy hodnoty zrychlení. Z daných hodnot zrychlení se pak vychází při výpočtu náhradních břemen a vnitřních sil v rámci spektrální analýzy. Grafické znázornění uživatelsky zadaného spektra odezvy vidíme na obrázku 6, hodnoty zrychlení Sa [m/s⊃] stanovené na základě spektra odezvy pro každé vlastní číslo se uvádí v tabulce výše.

Obr. 06 - Uživatelsky zadané spektrum odezvy

Chceme‑li zajistit správné přiřazení upravených frekvencí, je třeba k dynamickému zatěžovacímu stavu (DZS) přiřadit správný případ vlastního kmitání (PVK).

Obr. 07 - Přiřazení případu vlastního kmitání k dynamickému zatěžovacímu stavu pro výpočet náhradních břemen

Zohlednění geometrické matice tuhosti vede v případě tlakových osových sil k menší vlastní frekvenci a tím také, jako i v našem příkladu, k menším hodnotám zrychlení Sa. Úprava vlastních frekvencí sama o sobě nestačí pro zohlednění účinků druhého řádu, může spíš dokonce vést k menším výsledným hodnotám, které pak nejsou na straně bezpečnosti. Je velmi důležité použít modifikovanou matici tuhosti také pro výpočet vnitřních sil a deformací.

V modulu RF‑DYNAM Pro – Forced Vibrations se při stanovení výsledků spektrální analýzy automaticky uvažuje upravená tuhost, výpočet totiž probíhá v rámci RF‑DYNAM Pro. V modulu RF‑DYNAM Pro – Equivalent Loads se vypočítají náhradní břemena a importují se jako zatěžovací stavy do hlavního programu RFEM. Výpočet tak zčásti probíhá v modulech RF‑DYNAM Pro a zčásti v programu RFEM. Teoretické pozadí výpočtu náhradních břemen přibližujeme v manuálu RF‑DYNAM Pro [5]. Verifikační příklad [7] má předvést výpočet na konkrétním příkladu. Vypočítaná náhradní břemena, při i bez zohlednění geometrické matice tuhosti, vidíme na Obr. 08.

Obr. 08 - Náhradní břemena pro první vlastní tvar (a) bez úprav tuhosti z DZS1 a (b) při zohlednění geometrické matice tuhosti z DZS2

Export náhradních břemen přináší řadu výhod, je ovšem důležité převést úpravy tuhosti do zatěžovacích stavů správně. Parametry výpočtu exportovaných zatěžovacích stavů je potřeba upravit, jak vidíme na Obr. 09.

Obr. 09 - Parametry výpočtu zatěžovacích stavů s exportovanými náhradními břemeny. Je tu také třeba zohlednit geometrickou matici tuhosti, proto se importují normálové síly z KZ1.

Jednotlivé zatěžovací stavy se skládají do kombinací podle pravidel superpozice účinků SRSS nebo CQC. Superpozici a export do kombinací výsledků automaticky řídí RF‑DYNAM Pro. Výsledky při i bez zohlednění geometrické matice tuhosti jsou znázorněny na Obr. 10.

Obr. 10 - Deformace uX, moment MY a podporové reakce PX získané z multimodální analýzy spektra odezvy (a) bez úprav tuhosti z DZS1 a (b) při zohlednění geometrické matice tuhosti z DZS2

Při zohlednění geometrické matice tuhosti dostaneme větší deformace i vnitřní síly. Náhradní břemena a výsledná zatížení podpor jsou oproti tomu o něco menší, pokud zohledníme geometrickou matici tuhosti.

Literatura

[1]   ČSN EN 1998-1. Eurokód 8: Navrhování konstrukcí odolných proti zemětřesení - Část 1: Obecná pravidla, seizmická zatížení a pravidla pro pozemní stavby. Praha: Český normalizační institut, 2006.
[2]   Wilson, E. Three dimensional static and dynamic analysis of structures. Berkeley, Calif.: Computers and Structures Inc., 2002.
[3]   ČSN EN 1990. Eurokód: Zásady navrhování konstrukcí. Praha: Český normalizační institut, 2015.
[4]   Werkle, H. Finite Elemente in der Baustatik: Statik und Dynamik der Stab- und Flächentragwerke. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2008.
[5]   Manuál RF-DYNAM Pro. Praha: Dlubal Software, 2011. Stáhnout...
[6]   Schubert, G. Import osových sil, úprav tuhostí a dalších možností. In: Dlubal Software [online]. Praha, 2015.
[7]   Verifikační příklad 105: Equivalent Loads. In: Dlubal Software [online]. Praha, 2015. Stáhnout...

Odkazy

Kontakt

Kontakt

Máte dotazy nebo potřebujete poradit?
Kontaktujte nás nebo využijte stránky s často kladenými dotazy.

+420 227 203 203

info@dlubal.cz

RFEM Hlavní program
RFEM 5.xx

Hlavní program

Program RFEM pro statické výpočty metodou konečných prvků umožňuje rychlé a snadné modelování konstrukcí, které se skládají z prutů, desek, stěn, skořepin a těles. Pro následná posouzení jsou k dispozici přídavné moduly, které zohledňují specifické vlastnosti materiálů a podmínky uvedené v normách.

RFEM Dynamická analýza
RF-DYNAM Pro - Natural Vibrations  5.xx

Přídavný modul

Analýza vlastního kmitání

RFEM Dynamická analýza
RF-DYNAM Pro - Forced Vibrations 5.xx

Přídavný modul

Časová analýza a analýza multimodálního spektra odezvy

RFEM Dynamická analýza
RF-DYNAM Pro - Equivalent Loads 5.xx

Přídavný modul

Náhradní statické zatížení za použití analýzy multimodálního spektra odezvy