Considération de la théorie du second ordre dans l’analyse dynamique

Article technique

La vérification à l’état limite ultime selon EN 1998-1 [1], section 2.2.2 et 4.4.2.2, requiert le calcul selon la théorie du second ordre (effet P‑Δ ). Cet effet ne doit être considéré que si le coefficient de sensibilité du déplacement relatif entre étages θ est inférieur à 0,1.

Le coefficient θ est défini comme suit :

$$\mathrm\theta\;=\;\frac{\displaystyle{\mathrm P}_\mathrm{tot}\;\cdot\;{\mathrm d}_\mathrm r}{{\mathrm V}_\mathrm{tot}\;\cdot\;\mathrm h}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ Avec
θ  est le coefficient de sensibilité du déplacement relative entre étages
Ptot  est la charge gravitationnelle sur et au-dessus de l’étage considéré pour la situation d’analyse sismique (voir la relation 2)
dr  est la valeur de calcul du déplacement relatif entre étages, évalué comme la difference moyenne des déplacements latéraux ds au sommet et au bas de l’étage considéré. Pour ceci, le déplacement est déterminé à l’aide du spectre de réponse de calcul linéaire avec q = 1
Vtot  est le effort tranchant dans la situation sismique de calcul par étage déterminé grâce au spectre de réponse linéaire de calcul
est la hauteur entre étages

Les effets du second ordre peuvent être approximativement pris par un facteur égal à 1 / (1 − θ), if 0.1 < θ ≤ 0.2. For θ > 0.2. La considération de la matrice de rigidité géométrique est nécessaire lors du calcul des valeurs propres et lors de l’analyse multimodale du spectre de réponse.

Matrice de rigidité géométrique

Pour les analyses dynamiques, les calculs itératifs ne sont pas adaptés à la détermination non linéaire selon l’analyse du second ordre. Le problème peut être rendu linéaire, ce qui est suffisant pour utiliser la matrice de rigidité géométrique basée sur les charges normales pour considérer la théorie du second ordre. Nous supposons que les charges verticales ne sont pas modifiées à cause des effets horizontaux et que les déformations sont peu importantes par rapport au dimensions du bâtiment [2]. Les charges à considérer doivent correspondre à celles pour les situations de calcul sismique selon EN 1990, section 6.4.3.4 [3] :

$${\mathrm E}_\mathrm d=\sum_{\mathrm j\geq1}{\mathrm G}_{\mathrm k,\mathrm j}+\sum{\mathrm\Psi}_{2,\mathrm i}{\mathrm Q}_{\mathrm k,\mathrm i}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ Avec
Ed  est la valeur de calcul des effets
Gk,j  est la valeur caractéristique d’une action permanente j
Qk,i  est la valeur caractéristique d’une action variable i
Ψ2,i  est le facteur pour les valeurs quasi-permanentes des actions variables i

Les efforts normaux en traction augmentent la rigidité dans un câble précontraint. Les forces en compression réduisent la rigidité et peuvent mener à une singularité dans la matrice de rigidité. La rigidité géométrique Kg ne dépend pas des propriétés mécaniques de la structure, mais uniquement le longueur de barre L et de l’effort normal N.

Pour illustrer ce problème basique, nous pouvons utiliser la barre en porte-à-faux de la Figure 01. Les points de masse ponctuels du porte-à-faux représentent les étages individuels d’un bâtiment. Le bâtiment est sujet à une analyse dynamique considérant la théorie du second ordre. Les efforts normaux Ni des étages individuels i = 1…n résultent des forces verticales en situation sismique de calcul (voir la relation 2). La hauteur de l’étage est définie par hi.

Figure 01 – Réduction du bâtiment sur une structure en porte-à-faux. Les points de masses individuels représentent les étages. La déviation due aux efforts normaux en compression affichés dans (a) sont convertis en (b) moments de retournement ou charges latérales [2]

La matrice de rigidité géométrique Kg peut être dérivée des conditions d’équilibre statique :

$$\begin{bmatrix}{\mathrm F}_\mathrm i\\{\mathrm F}_{\mathrm i+1}\end{bmatrix}\;=\;\underbrace{\frac{{\mathrm N}_\mathrm i}{{\mathrm h}_\mathrm i}\left[\begin{array}{rc}1.0&\;-1.0\\-1.0&\;1.0\end{array}\right]}_{{\mathbf K}_\mathbf g}\;\begin{bmatrix}{\mathrm u}_\mathrm i\\{\mathrm u}_{\mathrm i+1}\end{bmatrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$

Dans un but de simplification, seuls les degrés de liberté de la déviation horizontale sont affichés ici. La dérivation est affichée comme basée sur l’approche du moment de retournement due à l’application de déviation linéaire. C’est une simplification pour l’élément en flexion et une supposition précise pour l’élément en treillis.

Une détermination de la matrice de rigidité plus précise peut être obtenue pour les poutres en flexion à l’aide de l’approche de déviation ou la solution analytique de l’équation différentielle de la ligne en flexion. Retrouvez plus d’informations dans le document [4] par Werkle.

La matrice de rigidité géométrique Kg est ajoutée à la matrice de rigidité du système K, et ansin, la matrice de rigidité modifiée Kmod est obtenue :

$${\mathbf K}_\mathbf{mod}\;=\;\mathbf K\;+\;{\mathbf K}_\mathbf g\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$

Dans le cas d’efforts normaux en compression, ceci génère une réduction de la rigidité.

Exemple : Analyses des fréquences naturelles et du spectre de réponse multimodal selon la théorie du second ordre

Ce qui suit démontre comment considérer la matrice de rigidité géométrique dans RFEM et les modules RF-DYNAM Pro. Utilisons le porte-à-faux de la Figure 01. Le porte-à-faux est composé de cinq positions de masse concentrée. Ici, 4 000 kg agissent dans la direction x globale, dans chaque cas.

Figure 02 – Poids propre et charges imposées sont résumées comme des charges nodales et définis dans deux cas de charge distincts

La section est une IPE 300 de matériau S235 avec :
${\mathrm l}_\mathrm y\;=\;8.356\;\cdot\;10^{-5}\;\mathrm m^4\;$
$\mathrm E\;=\;2.1\;\cdot\;10^{11}\;\mathrm N/\mathrm m^2$
Afin de considerer la matrice de rigidité globale dans l’analyse dynamique, une combinaison de charge est d’abord définie pour la situation sismique de calcul dans le logiciel de base RFEM (voir la relation 2).

Figure 03 – Définition de la combinaison de charge pour la situation sismique de calcul (relation 2) et les efforts normaux résultants. Ces efforts normaux permettent de déterminer la matrice de rigidité géométrique

Le module additionnel RF-DYNAM Pro – Natural Vibrations permet de déterminer les fréquences naturelles, les modes propres et les masses modales efficaces d’une structure avec considération d’une variété de modifications de rigidité (voir le Chapitre 2.4.7 du manuel RF-DYNAM Pro [5] et l’article technique [6]). Deux cas de vibration naturelle sont définis. Dans NVC2, CO1 est importé afin de considérer la matrice de rigidité géométrique et donc la théorie du second ordre. Pour comparaison, NVC1 défini ne contient pas de modifications de rigidité.

Figure 04 – Paramètres pour l’analyse des valeurs propres dans RF-DYNAM Pro – Natural Vibrations

Le tableau suivant comprend les fréquences naturelles déterminnées f [Hz], les périodes naturelles T [sec] et les valeurs d’accélération Sa [m/s²] basées sur le spectre de réponse, avec et sans la matrice de rigidité géométrique Kg résultant des efforts normaux de CO1.

Figure 05 – Valeurs des fréquences naturelles, des périodes et des accélérations

L’analyse du spectre de réponse multimodal utilise les fréquences naturelles pour déterminer les valeurs d’accélération à partir du spectre de réponse défini. L’affichage graphique d’un spectre de réponse personnalisé est affiché dans la Figure 06 et les valeurs d’accélération Sa [m/s²] déterminé à partir du spectre de réponse pour chaque valeur propre sont listées dans le tableau ci-dessus.

Figure 06 – Spectre de réponse personnalisé

Afin que l’assignation des fréquences modifiées soit correcte, le bon cas de vibration naturelle (NVC) doit être assigné au bon cas de charge dynamique (DLC).

Figure 07 – Assignation du cas de vibration naturelle au cas de charge dynamique pour la détermination des charges équivalentes

Dans le cas d’efforts normaux en compression, la considération de la matrice de rigidité géométrique mène à la réduction de la fréquence naturelle et peut provoquer des valeurs d’accélération Sa, comme dans notre exemple. La modification des fréquences naturelles n’est pas suffisante pour considérer la théorie du second ordre. De même, nous pourrions obtenir des résultats plus faibles encore et donc, incorrects. L’utilisation de la matrice de rigidité modifiée est très importante pour la détermination des efforts internes et des déformations.

Dans RF-DYNAM Pro – Forced Vibrations, la rigidité modifiée est automatiquement utilisée pour déterminer les résultats de spectre de réponse car le calcul est réalisé dans RF-DYNAM Pro. Dans RF-DYNAM Pro – Equivalent Loads, les charges équivalentes sont déterminées et exportées comme cas de charges dans le logiciel RFEM. Ainsi, le calcul est réalisé de manière partielle dans RF-DYNAM Pro et dans RFEM.

La théorie pour le calcul de la charge équivalente est expliquée dans le manuel de RF-DYNAM Pro [5]. L’exemple de vérification [7] démontre le calcul sur un exemple. Les charges équivalentes déterminée, avec ou sans matrice de rigidité géométrique, sont affichées dans la Figure 08.

Figure 08 – Charges équivalentes pour le Mode propre 1 (a) sans modifications de rigidité de DLC1 et (b) avec matrice de rigidité de DLC2

L’export des charges équivalentes a plusieurs avantages, mais le plus important est le bon transfert des modifications de rigidité dans les cas de charge. Les paramètres de calcul des cas de charge exportés doivent être ajustés, comme affiché dans la Figure 09.

Figure 09 – Paramètres de calcul des cas de charge avec les charges équivalentes exportées. De même, la matrice de rigidité géométrique doit être considérée. Les efforts normaux issus de CC1 sont importés

Les cas de charge individuels sont superposés avec la méthode SRSS ou CQC dans RF-DYNAM Pro et exportés comme combinaisons de résultats. Les résultats avec et sans matrice de rigidité géométrique affichée dans la Figure 10.

Figure 10 – Déformations uX, moment MY et réactions d’appui PX résultant de l’analyse de spectre de réponse multimodal (a) sans modifications de rigidité de DLC1 et (b) avec matrice de rigidité géométrique de DLC2

La considération de la matrice de rigidité géométrique mène à de plus grandes déformations et efforts internes. Tout de même, les charges équivalentes et les charges d’appui résultantes sont légèrement plus petites lorsque la matrice de rigidité géométrique est considérée.

Littérature

[1]   Eurocode 8 - Calcul des structures pour leur résistance aux séismes - Partie 1 : règles générales, actions sismiques et règles pour les bâtiments; EN 1998‑1:2004 / A1:2013
[2]   Wilson, E. (2002). Three dimensional static and dynamic analysis of structures. Berkeley, Calif.: Computers and Structures Inc.
[3]   Eurocode 0: Basis of structural design; EN 1990:2010‑12
[4]   Werkle, H. (2008). Finite Elemente in der Baustatik: Statik und Dynamik der Stab- und Flächentragwerke (3rd ed.). Wiesbaden: Springer Vieweg.
[5]   Manuel RF-DYNAM Pro. (2016). Tiefenbach: Dlubal Software. Télécharger.
[6]   Schubert, G. (2015). Import of Axial Forces, Stiffness Modifications and Extra Options in RF-/DYNAM Pro - Natural Vibrations. Tiefenbach: Dlubal Software.
[7]   Verification Example 105: Equivalent Loads. (2015). Dlubal Software website. Télécharger.

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