Les effets de l'analyse du second ordre peuvent être pris en compte approximativement par un facteur égal à 1/(1 - θ), si 0,1 < θ ≤ 0,2. Pour θ > 0,2, la matrice de rigidité géométrique doit être considérée lors du calcul des valeurs propres et de l'analyse du spectre de réponse multimodal.
Matrice de rigidité géométrique
Les calculs itératifs pour la détermination non linéaire de la théorie du second ordre ne sont pas appropriés pour les analyses dynamiques. Le problème peut être linéarisé et il suffit d'utiliser la matrice de rigidité géométrique basée sur les charges axiales pour considérer la théorie du second ordre. Pour cela, on suppose que les charges verticales ne changent pas à cause des effets horizontaux et que les déformations sont limitées au regard des dimensions du bâtiment [2]. Les charges à considérer doivent correspondre à celles des situations de calcul sismiques selon l'EN 1990, section 6.4.3.4 [3] :
où
Ed = valeur de calcul des effets
Gk,j = valeur caractéristique de l’action permanente j
Qk,i = valeur caractéristique de l’action variable i
Ψ2,i = facteur pour les valeurs quasi-permanentes des actions variables i
Les efforts de traction axiaux augmentent par exemple la rigidité d'un câble précontraint. Les efforts de compression réduisent la rigidité et peuvent entraîner une singularité dans la matrice de rigidité. La rigidité géométrique Kg ne dépend pas des propriétés mécaniques de la structure, mais uniquement de la longueur de barre L et de l'effort normal N. Pour illustrer ce problème, un exemple de porte-à-faux est affiché sur la Figure 01. Les points de masse individuels du porte-à-faux représentent les différents étages d'un bâtiment. Le bâtiment est soumis à une analyse dynamique selon la théorie du second ordre. Les efforts normaux Ni sur les différents étages i = 1 ... n résultent des efforts verticaux dans la situation de projet sismique (voir l'expression 2). La hauteur de l'étage est définie par hi.
![Réduction d'un bâtiment en structure en porte-à-faux. Les points de masse individuels représentent les étages. La flèche due aux efforts de compression normaux indiqués en (a) est (b) convertie en moments de déplacement ou en effort tranchant équivalents [2]]](/fr/webimage/009762/467694/01-de-png.png?mw=760&hash=85d1dbfea5c6ec9f0f573d148cc6d8ae68201a9d)
La matrice de rigidité géométrique Kg peut être déduite des conditions d'équilibre statique :
Par souci de simplification, seuls les degrés de liberté des déplacements horizontaux sont indiqués ici. La dérivation indiquée s'appuie sur l'approche du moment de basculement basée sur une approche linéaire des déplacements. Il s'agit d'une simplification de l'élément en flexion, mais d'une hypothèse exacte pour l'élément en treillis. La matrice de rigidité géométrique pour les poutres en flexion peut être déterminée avec plus de précision à l'aide d'une approche cubique des déplacements ou de la solution analytique de l'équation différentielle de la ligne en flexion. L'ouvrage [4] de H. Werkle contient des informations et des calculs plus détaillés à ce sujet. La matrice de rigidité géométrique Kg est ajoutée à la matrice de rigidité K , ce qui permet d'obtenir la matrice de rigidité Kmod modifiée :
Kmod = K + Kg (4)
Dans le cas d'efforts normaux de compression, la rigidité est donc réduite.
Exemple : Analyse des fréquences propres et du spectre de réponse multimodal selon la théorie du second ordre
Voici comment la matrice de rigidité géométrique peut être considérée dans RFEM et les modules additionnels RF-DYNAM Pro. Le porte-à-faux représenté sur la Figure 01 est utilisé comme exemple. Le porte-à-faux est composé de cinq points de masse concentrée. Ici, 4 000 kg agissent dans la direction X globale dans chaque cas.
La section est un IPE 300 en matériau S 235 avec Iy = 8,356 ∙10-5 m4 et E = 2,1 ∙ 1011 N/m2. Afin de pouvoir considérer la matrice de rigidité géométrique dans l'analyse dynamique, une combinaison de charges est d'abord définie dans RFEM pour la situation de projet sismique (voir l'Équation 2).
Le module additionnel RF-DYNAM Pro - Natural Vibrations vous permet de déterminer les fréquences propres, les modes propres et les masses modales efficaces d'une structure en considérant différentes modifications de rigidité (voir le Chapitre 2.4 du RF-DYNAM Pro [5] ). 7 et l'article technique [6] ). Deux cas de vibration propre sont définis. Le CC1 est importé dans le CVP 2 afin de considérer la matrice de rigidité géométrique et donc la théorie du second ordre. À des fins de comparaison, le CVP1 est défini, celui-ci n'incluant aucune modification de rigidité.
Le tableau suivant contient les fréquences propres déterminées f [Hz], les périodes propres T [sec] et les valeurs d'accélération Sa [m/s²] basées sur le spectre de réponse, avec et sans la matrice de rigidité géométrique Kg résultant de l'effort normal forces de CO1.
L'analyse du spectre de réponse multimodal utilise les fréquences propres pour déterminer les valeurs d'accélération à partir du spectre de réponse défini. Les charges équivalentes et les efforts internes du spectre de réponse sont déterminés à partir de ces valeurs d'accélération. L'affichage graphique du spectre de réponse défini par l'utilisateur est affiché dans la Figure 06 et les valeurs d'accélération Sa [m/s²] déterminées à partir du spectre de réponse pour chaque valeur propre sont listées dans le tableau au-dessus.
Afin d'assurer une distribution correcte des fréquences modifiées, le cas de vibration propre droit (CVP) doit être attribué au cas de charge dynamique (CCD).
Dans le cas d'efforts normaux de compression, la considération de la matrice de rigidité géométrique entraîne une réduction de la fréquence propre et peut entraîner des valeurs d'accélération Sa plus faibles, comme dans notre exemple. La modification des fréquences propres n'est pas suffisante pour considérer la théorie du second ordre. Cette méthode permet d'obtenir des résultats plus petits et pouvant donc être erronés. Il est très important d'utiliser la matrice de rigidité modifiée pour la détermination des efforts internes et des déformations. Dans RF-DYNAM Pro - Forced Vibrations, la rigidité modifiée est automatiquement utilisée pour déterminer les résultats du spectre de réponse, car le calcul est effectué dans RF-DYNAM Pro. Dans RF-DYNAM Pro - Equivalent Loads, les charges équivalentes sont déterminées et exportées sous forme de cas de charge dans le logiciel de base RFEM. Le calcul est donc partiellement effectué dans RF-DYNAM Pro et partiellement dans RFEM. Les principes théoriques sur le calcul de la charge équivalente sont expliqués dans le manuel de RF-DYNAM Pro [5]. L'exemple de vérification [7] montre le calcul sur un exemple spécifique. Les charges équivalentes déterminées avec et sans matrice de rigidité géométrique sont affichées sur la Figure 08.
L'exportation des charges équivalentes présente de nombreux avantages, mais le principal est le transfert correct des modifications de rigidité dans les cas de charge. Les paramètres de calcul des cas de charge exportés doivent être ajustés comme indiqué sur la Figure 09.
Les différents cas de charge sont superposés à l'aide de la méthode SRSS ou CQC. Cet option est automatiquement défini dans RF-DYNAM Pro et exporté dans les combinaisons de résultats. Les résultats avec et sans matrice de rigidité géométrique sont affichés dans la Figure 10.
La considération de la matrice de rigidité géométrique engendre des déformations et des efforts internes plus importants. Cependant, les charges équivalentes efficaces et les charges d'appui résultantes sont légèrement plus faibles lorsque l'on considère la matrice de rigidité géométrique.
![Réduction d'un bâtiment en structure en porte-à-faux. Les points de masse individuels représentent les étages. La flèche due aux efforts de compression normaux indiqués en (a) est (b) convertie en moments de déplacement ou en effort tranchant équivalents [2]]](/fr/webimage/009762/467694/01-de-png.png?mw=512&hash=2551750327252c0e49d549ec0d9fb2579bfaa885)
![Réduction d'un bâtiment en structure en porte-à-faux. Les points de masse individuels représentent les étages. La flèche due aux efforts de compression normaux indiqués en (a) est (b) convertie en moments de déplacement ou en effort tranchant équivalents [2]]](/fr/webimage/009762/467694/01-de-png.png?mw=350&hash=d9822b6f398f12dfbe5ade0e1b85cf57c27573ab)
