Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung in einer dynamischen Analyse

Fachbeitrag

Die EN 1998-1 Abschnitt 2.2.2 und 4.4.2.2 [1] fordert für den Nachweis im Grenzzustand der Tragfähigkeit die Berechnung unter Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung (P-Δ-Effekt). Dieser Einfluss darf nur vernachlässigt werden, wenn der Empfindlichkeitsbeiwert der gegenseitigen Stockwerksverschiebung θ kleiner 0,1 ist. Der Beiwert θ ist wie folgt definiert:
$$\mathrm\theta\;=\;\frac{\displaystyle{\mathrm P}_\mathrm{tot}\;\cdot\;{\mathrm d}_\mathrm r}{{\mathrm V}_\mathrm{tot}\;\cdot\;\mathrm h}\;(1)$$
mit
θ = Empfindlichkeitsbeiwert der gegenseitigen Stockwerksverschiebung
Ptot = Gesamtgewichtskraft im und oberhalb des betrachteten Geschosses, betrachtet in der Be­messungssituation Erdbeben (siehe Gleichung 2)
dr = gegenseitige Stockwerksverschiebung ermittelt als Differenz der horizontalen Verschiebungen dS oben und unten im betrachteten Geschoss, dabei werden die Verschiebungen mit Hilfe des linearen Bemessungsantwortspektrums mit q = 1,0 ermittelt
Vtot = Gesamterdbebenkraft des betrachteten Geschosses, ermittelt mit Hilfe des linearen Bemessungsantwortspektrums
h = Geschosshöhe

Der Einfluss der Theorie II. Ordnung darf näherungsweise mit einem Faktor 1 / (1 - θ) berücksichtigt werden, wenn 0,1 < θ ≤ 0,2. Für θ > 0,2 ist die geometrische Steifigkeitsmatrix bei der Berechnung der Eigenwerte und bei der Berechnung des multi-modalen Antwortspektrenverfahrens zu berücksichtigen.

Geometrische Steifigkeitsmatrix

Für dynamische Analysen sind iterative Berechnungen zur nichtlinearen Bestimmung der Theorie II. Ordnung nicht geeignet. Das Problem kann linearisiert werden und es ist hinreichend genau, die geometrische Steifigkeitsmatrix auf Basis der axialen Lasten zur Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung heranzuziehen. Dabei wird angenommen, dass die vertikalen Lasten sich aufgrund horizontaler Einwirkungen nicht ändern und die Verformungen klein sind verglichen mit den Gebäudeabmessungen [2]. Die zu berücksichtigenden Lasten sollten denen der Bemessungssituation für Erdbeben nach EN 1990 Abschnitt 6.4.3.4 [3] entsprechen:
$${\mathrm E}_\mathrm d\;=\;\mathrm\Sigma\;{\mathrm G}_{\mathrm k,\mathrm j}\;+\;\mathrm\Sigma\;{\mathrm\psi}_{2,\mathrm i}{\mathrm Q}_{\mathrm k,\mathrm i}\;(2)$$
mit
Ed = Bemessungswert der Einwirkungen
Gk,j = Charakteristischer Wert einer ständigen Einwirkung j
Qk,i = Charakteristischer Wert einer veränderlichen Einwirkung i
Ψ2,i = Beiwert für quasi-ständige Werte der veränderlichen Einwirkungen i

Axiale Zugkräfte erhöhen die Steifigkeit, wie beispielsweise bei einem vorgespannten Seil. Druckkräfte setzen die Steifigkeit herab und können zu einer Singularität in der Steifigkeitsmatrix führen. Die geometrische Steifigkeit Kg ist nicht abhängig von den mechanischen Eigenschaften des Systems, sondern nur von Länge L und Normalkraft N im Stab. Um das grundlegende Problem darzustellen, wird vereinfachend auf einen Kragarm zurückgegriffen, dieser ist in Bild 1 dargestellt. Die einzelnen Massepunkte des Kragarms stellen die einzelnen Geschosse eines Gebäudes dar. An diesem Gebäude soll eine dynamische Analyse unter Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung durchgeführt werden. Die Normalkräfte Ni in den einzelnen Geschossen i = 1…n ergeben sich aus den Vertikalkräften in der Bemessungssituation Erdbeben (siehe Gleichung 2). Die Geschosshöhe ist mit hi definiert.

Bild 01 - Reduzierung eines Gebäudes auf eine Kragarmstruktur. Die einzelnen Massepunkte stellen dabei die Geschosse dar. Die in (a) dargestellte Auslenkung aufgrund der Drucknormalkräfte wird (b) in äquivalente Versatzmomente beziehungsweise Querkräfte umgerechnet [2]

Die geometrische Steifigkeitsmatrix Kg kann über die statischen Gleichgewichtsbedingungen hergeleitet werden:
$$\begin{bmatrix}{\mathrm F}_\mathrm i\\{\mathrm F}_{\mathrm i+1}\end{bmatrix}=\underbrace{\frac{{\mathrm N}_\mathrm i}{{\mathrm h}_\mathrm i}\left[\begin{array}{rc}1.0&-1.0\\-1.0&1.0\end{array}\right]}_{{\mathbf K}_\mathbf g}\begin{bmatrix}{\mathrm u}_\mathrm i\\{\mathrm u}_{\mathrm i+1}\end{bmatrix}\;(3)$$

Vereinfachend werden hier nur die Freiheitsgrade der horizontalen Verschiebungen dargestellt. Die gezeigte Herleitung beruht dem Ansatz des Versatzmomentes auf Basis eines linearen Verschiebungsansatzes. Dies ist für das Biegeelement eine Vereinfachung, beim Fachwerkelement eine exakte Annahme. Eine genauere Ermittlung der geometrischen Steifigkeitsmatrix für Biegebalken kann unter Verwendung eines kubischen Verschiebungsansatzes oder mit Hilfe der analytischen Lösung der Differentialgleichung der Biegelinie erfolgen. Genauere Informationen und Herleitungen werden von Werkle [4] bereitgestellt. Die geometrische Steifigkeitsmatrix Kg wird der Systemsteifigkeitsmatrix K hinzugefügt und ergibt die modifizierte Steifigkeitsmatrix Kmod:
Kmod = K + Kg (4)

Im Falle von Drucknormalkräften führt dies folglich zu einer Verringerung der Steifigkeit.

Beispiel: Eigenfrequenzen und multi-modales Antwortspektrenverfahren unter Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung

Nachfolgend wird gezeigt, wie die geometrische Steifigkeitsmatrix in RFEM und den Zusatzmodulen RF-DYNAM Pro berücksichtigt werden kann. Als Beispiel wird der in Bild 1 dargestellte Kragarm verwendet. Der Kragarm besteht aus fünf konzentrierten Massepunkten. Hier wirken jeweils 4.000 kg in die globale X-Richtung.

Bild 02 - Eigengewicht und Verkehrslasten sind als Knotenlasten zusammengefasst und in zwei separaten Lastfällen definiert

Der Querschnitt ist ein IPE 300 mit einem Material S 235 mit Iy = 8.356 ∙ 10-5 m4 und E = 2,1 ∙ 1011 N/m2. Um die geometrische Steifigkeitsmatrix bei einer dynamischen Analyse berücksichtigen zu können, wird zunächst im Hauptprogramm RFEM eine Lastkombination für die Bemessungssituation Erdbeben (siehe Gleichung 2) definiert.

Bild 03 - Definition einer Lastkombination für die Bemessungssituation Erdbeben (Gleichung 2) und die resultierenden Normalkräfte. Diese Normalkräfte werden zur Ermittlung der geometrischen Steifigkeitsmatrix verwendet

Mit RF-DYNAM Pro - Eigenschwingungen werden Eigenfrequenzen, Eigenformen und effektive Modalmassen einer Struktur ermittelt, dies kann unter Berücksichtigung verschiedenster Steifigkeitsmodifikationen geschehen (siehe Kapitel 2.4.7 im RF-DYNAM Pro Handbuch [5] und im Dlubal-Blog [6]). Zwei Eigenschwingungsfälle sind definiert. Im ESF2 wird die LK1 zur Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix und damit zur Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung importiert. Zum Vergleich ist der ESF1 definiert, dieser enthält keine Steifigkeitsmodifikationen.

Bild 04 - Parameter zur Eigenwertermittlung in RF-DYNAM Pro - Eigenschwingungen

In der nachstehenden Tabelle sind die ermittelten Eigenfrequenzen f [Hz], Eigenperioden T [sec] und die aus dem Antwortspektrum abgelesenen Beschleunigungswerte Sa [m/s²], mit und ohne Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix Kg resultierend aus den Normalkräften aus LK1, aufgelistet.

Bild 05 - Eigenfrequenzen, Eigenperioden und Beschleunigungswerte

Beim multi-modalen Antwortspektrenverfahren werden mit Hilfe der Eigenfrequenzen die Beschleunigungswerte aus dem definierten Antwortspektrum abgelesen. Diese Beschleunigungswerte sind Grundlage für die Ermittlung der Ersatzlasten und Schnittgrößen des Antwortspektrenverfahrens. Die grafische Darstellung des benutzerdefinierten Antwortspektrums ist in Bild 6 gezeigt, die aus dem Antwortspektrum abgelesenen Beschleunigungswerte Sa [m/s²] für jeden Eigenwert sind in vorstehender Tabelle gelistet.

Bild 06 - Benutzerdefiniertes Antwortspektrum

Um eine richtige Zuordnung der modifizierten Frequenzen sicherzustellen, muss der richtige Eigenschwingungsfall (ESF) im Dynamischen Lastfall (DLF) zugewiesen werden.

Bild 07 - Zuweisung des Eigenschwingungsfalles im Dynamischen Lastfall zur Ermittlung der Ersatzlasten

Die Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix führt im Falle von Drucknormalkräften zu einer Verringerung der Eigenfrequenz und kann, wie in diesem Beispiel, zu geringeren zugehörigen Beschleunigungswerten Sa führen. Die Modifikation der Eigenfrequenzen alleine reicht nicht aus, um die Theorie II. Ordnung zu berücksichtigen, vielmehr kann dies sogar zu kleineren Ergebnissen führen und damit auf der unsicheren Seite liegen. Es ist sehr wichtig, die modifizierte Steifigkeitsmatrix auch für die Ermittlung der Schnittgrößen und Verformungen zu verwenden. In RF-DYNAM Pro - Erzwungene Schwingungen wird die modifizierte Steifigkeit automatisch zur Ermittlung der Ergebnisse des Antwortspektrenverfahrens verwendet, da hier die Berechnung innerhalb von RF-DYNAM Pro stattfindet. In RF-DYNAM Pro - Ersatzlasten werden Ersatzlasten ermittelt und in Lastfälle ins Hauptprogramm RFEM exportiert. Die Berechnung findet damit teilweise in RF-DYNAM Pro und teilweise in RFEM statt. Theoretische Hintergründe zur Berechnung der Ersatzlasten finden sich im RF-DYNAM Pro Handbuch [5]. Ein Verifikationsbeispiel [7] zeigt die Berechnung an einem konkreten Beispiel. Die ermittelten Ersatzlasten, mit und ohne Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix, sind in Bild 8 dargestellt.

Bild 08 - Ersatzlasten für die erste Eigenform (a) ohne Steifigkeitsmodifikationen aus dem DLF1 und (b) unter Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix aus dem DLF2

Der Export der Ersatzlasten hat viele Vorteile, aber eine korrekte Übernahme der Steifigkeitsmodifikation in die Lastfälle ist wichtig. Die Berechnungsparameter der exportierten Lastfälle müssen, wie in Bild 9 gezeigt, modifiziert werden.

Bild 09 - Berechnungsparameter der Lastfälle mit exportierten Ersatzlasten. Die geometrische Steifigkeitsmatrix muss auch hier berücksichtigt werden, dafür werden Normalkräfte aus der LK1 importiert

Die einzelnen Lastfälle werden mit der SRSS- oder CQC-Regel überlagert. Dies wird automatisch von RF-DYNAM Pro gesteuert und in Ergebniskombinationen exportiert. Die Ergebnisse, mit und ohne Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix, sind in Bild 10 dargestellt.

Bild 10 - Verformungen uX, Moment MY und Auflagerreaktionen PX resultierend aus dem multi-modalen Antwortspektrenverfahren (a) ohne Steifigkeitsmodifikationen aus dem DLF1 und (b) unter Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix aus dem DLF2

Die Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix führt zu größeren Verformungen und Schnittgrößen. Die angreifenden Ersatzlasten und resultierenden Auflagerlasten hingegen sind etwas kleiner unter Berücksichtigung der geometrischen Steifigkeitsmatrix.

Literatur

[1]  Eurocode 8: Auslegung von Bauwerken gegen Erdbeben - Teil 1: Grundlagen, Erdbebeneinwirkungen und Regeln für Hochbauten; EN 1998-1:2004/A1:2013
[2]  Wilson, E. L.: Three dimensional static and dynamic analysis of structures. Computers and Structures, 2002
[3]  Eurocode: Grundlagen der Tragwerksplanung; DIN EN 1990:2010-12
[4]  Werkle, H.: Finite Elemente in der Baustatik: Statik und Dynamik der Stab- und Flächentragwerke, 3. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2008
[5]  Handbuch RF-DYNAM Pro. Tiefenbach: Dlubal Software, September 2016. Download...
[6]  Schubert, G.: Dlubal RFEM 5 & RSTAB 8 - Import von Normalkräften, Steifigkeitsänderungen und Zusatzoptionen in RF-/DYNAM Pro - Eigenschwingungen. Tiefenbach: Dlubal Software, Mai 2015
[7]  Verification Example 105: Equivalent Loads. Tiefenbach: Dlubal Software, Dezember 2015. Download...

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