Consideración de la teoría de segundo orden en análisis dinámico

Los efectos de segundo orden se pueden considerar aproximadamente mediante un factor igual a 1/(1 − θ), si 0,1 < θ ≤ 0,2. Para θ > 0.2, es necesario considerar la matriz de rigidez geométrica al calcular los valores propios y el análisis del espectro de respuesta multimodal.

Matriz de rigidez geométrica

Para análisis dinámicos, los cálculos iterativos para la determinación no lineal de la teoría de segundo orden no son adecuados. El problema se puede linealizar y es suficiente usar la matriz de rigidez geométrica basada en cargas axiales para considerar la teoría de segundo orden. Para esto, se supone que las cargas verticales no cambian debido a los efectos horizontales, y las deformaciones son pequeñas en comparación con las dimensiones del edificio [2]. Las cargas a considerar deberían corresponder a aquellas para las situaciones de cálculo sísmicas según EN 1990, apartado 6.4.3.4 [3] :

Los esfuerzos axiles de tracción aumentan la rigidez, por ejemplo, en un cable pretensado. Los esfuerzos de compresión reducen la rigidez y pueden conducir a una singularidad en la matriz de rigidez. La rigidez geométrica K_g no depende de las propiedades mecánicas de la estructura, sino solo de la longitud de la barra L y el esfuerzo axil N. Para ilustrar el problema básico, se muestra un ejemplo simple de un voladizo en la imagen 01. Los puntos de masa individuales del voladizo representan las plantas individuales de un edificio. El edificio se somete a un análisis dinámico considerando la teoría de segundo orden. Los esfuerzos axiles_Ni en las plantas individuales i = 1...n resultan de los esfuerzos verticales en la situación de proyecto sísmica (véase la expresión 2). La altura de la planta se define mediante h_i.

Reducción de un edificio a una estructura en voladizo. Los puntos de masa individuales representan los pisos. La flecha debida a los esfuerzos normales de compresión mostrados en (a) se (b) convierte en momentos de desplazamiento equivalentes o esfuerzos cortantes [2]

La matriz de rigidez geométrica K_g se puede derivar de las condiciones de equilibrio estático:

Para simplificar, aquí solo se muestran los grados de libertad del desplazamiento horizontal. La derivación que se muestra se basa en el enfoque del momento de vuelco debido a la aplicación del desplazamiento lineal. Esta es una simplificación para el elemento de flexión y una hipótesis precisa para el elemento de cercha. Se puede obtener una determinación más precisa de la matriz de rigidez geométrica para las barras de flexión utilizando la aproximación de desplazamiento cúbico o la solución analítica de la ecuación diferencial de la línea de flexión. Werkle [4] proporciona más información sobre teorías y derivaciones. La matriz de rigidez geométrica K_g se agrega a la matriz de rigidez del sistema K y, por lo tanto, se obtiene la matriz de rigidez modificada K_mod :
_Kmod = K + _Kg (4)

En el caso de los esfuerzos normales de compresión, esto conlleva a la reducción de la rigidez.

Ejemplo: Frecuencias naturales y análisis del espectro de respuesta multimodal considerando la teoría de segundo orden

A continuación se muestra cómo se puede considerar la matriz de rigidez geométrica en RFEM y en los módulos adicionales RF-DYNAM Pro. El voladizo que se muestra en la figura 01 se usa como ejemplo. El voladizo consta de cinco puntos de masa concentrada. Aquí, 4.000 kg actúan en la dirección X global en cada caso.

El peso propio y las sobrecargas de uso se combinan como cargas en nudo y se definen en dos casos de carga separados

La sección es IPE 300 hecha de material S 235 con I_y = 8.356 ∙ 10^-5 m⁴ y E = 2,1 ∙ 10¹¹ N/m². Para poder considerar la matriz de rigidez geométrica en el análisis dinámico, se define inicialmente una combinación de carga para la situación de proyecto sísmica en el programa principal de RFEM (véase la ecuación 2).

Definición de una combinación de carga para la situación de proyecto sísmica (ecuación 2) y los esfuerzos axiles resultantes. Estas fuerzas axiales se utilizan para determinar la matriz de rigidez geométrica.

El módulo adicional RF-DYNAM Pro - Natural Vibrations permite determinar las frecuencias naturales, las deformadas de los modos y las masas modales eficaces de una estructura, teniendo en cuenta varias modificaciones de rigidez ( véase el capítulo 2.4. 7 y el artículo técnico [6] ). Se definen dos casos de vibración natural. En NVC2, se importa CC1 para considerar la matriz de rigidez geométrica y, por lo tanto, la teoría de segundo orden. A modo de comparación, se define el NVC1, que no incluye ninguna modificación de rigidez.

Parámetros para la determinación de valores propios en RF -DYNAM Pro - Natural Vibrations

La siguiente tabla incluye las frecuencias naturales determinadas f [Hz], los períodos naturales T [seg] y los valores de aceleración S_a [m/s²] basados en el espectro de respuesta, con y sin la matriz de rigidez geométrica K_g resultante del cálculo axial fuerzas de CO1.

Frecuencias naturales, períodos naturales y valores de aceleración

El análisis del espectro de respuesta multimodal utiliza frecuencias naturales para determinar los valores de aceleración del espectro de respuesta definido. En base a estos valores de aceleración, se determinan las cargas equivalentes y los esfuerzos internos del espectro de respuesta. La representación gráfica de un espectro de respuesta definido por el usuario se muestra en la figura 06, y los valores de aceleración_Sa [m/s²] determinados a partir del espectro de respuesta para cada valor propio se enumeran en la tabla anterior.

Espectro de respuesta definido por el usuario

Para garantizar la asignación correcta de las frecuencias modificadas, se debe asignar el caso de vibración natural (NVC) correcto al caso de carga dinámica (DLC).

Asignación del caso de vibración natural al caso de carga dinámico para determinar las cargas equivalentes

En el caso de esfuerzos axiles_de compresión, la consideración de la matriz de rigidez geométrica conduce a la reducción de la frecuencia natural y puede causar valores de aceleración Sa más bajos, como en nuestro ejemplo. La sola modificación de las frecuencias naturales no es suficiente para considerar la teoría de segundo orden. De hecho, esto puede conducir a resultados más pequeños, que pueden ser incorrectos. Es muy importante usar también la matriz de rigidez modificada para la determinación de esfuerzos internos y deformaciones. En RF-DYNAM Pro - Forced Vibrations, la rigidez modificada se usa automáticamente para determinar los resultados del espectro de respuesta, porque el cálculo se realiza dentro de RF-DYNAM Pro. En RF-DYNAM Pro - Equivalent Loads, las cargas equivalentes se determinan y exportan como casos de carga al programa principal RFEM. Por lo tanto, el cálculo se realiza parcialmente en RF-DYNAM Pro y parcialmente en RFEM. Los antecedentes teóricos para el cálculo de la carga equivalente se explican en el manual RF-DYNAM Pro [5]. El ejemplo de verificación [7] muestra el cálculo en un ejemplo específico. Las cargas equivalentes determinadas, con y sin la matriz de rigidez geométrica, se muestran en la figura 08.

Cargas equivalentes para la primera deformada del modo (a) sin modificaciones de rigidez de DLC1 y (b) teniendo en cuenta la matriz de rigidez geométrica de DLC2

La exportación de las cargas equivalentes tiene muchas ventajas, pero la más importante es la transferencia correcta de las modificaciones de rigidez en los casos de carga. Los parámetros de cálculo de los casos de carga exportados se deben ajustar como se muestra en la figura 09.

Parámetros de cálculo de casos de carga con cargas equivalentes exportadas: Die geometrische Steifigkeitsmatrix muss auch hier berücksichtigt werden, dafür werden Normalkräfte aus der LK1 importiert

Los casos de carga individuales se superponen utilizando el método SRSS o CQC. Esto se establece automáticamente en RF-DYNAM Pro y se exporta a las combinaciones de resultados. Los resultados con y sin la matriz de rigidez geométrica se muestran en la figura 10.

Deformaciones u_X, momentos M_Y y reacciones en apoyos P_X resultantes del método del espectro de respuesta multimodal (a) sin modificaciones de rigidez de DLC1, y (b) teniendo en cuenta la matriz de rigidez geométrica de DLC2

La consideración de la matriz de rigidez geométrica conduce a deformaciones y esfuerzos internos más grandes. Sin embargo, las cargas equivalentes eficaces y las cargas en los apoyos resultantes son ligeramente menores cuando se considera la matriz de rigidez geométrica.

Referencias