Considerando a teoria de segunda ordem na análise dinâmica

Os efeitos de segunda ordem podem ser considerados aproximadamente por um fator igual a 1/(1 - θ), se 0,1 < θ ≤ 0,2. Para θ > 0,2, é necessário considerar a matriz de rigidez geométrica ao calcular os valores próprios e a análise de espectro de resposta multimodal.

Matriz de rigidez geométrica

Para as análises dinâmicas, os cálculos iterativos para a determinação não linear da teoria de segunda ordem não são adequados. O problema pode ser linearizado e basta utilizar a matriz de rigidez geométrica com base nas cargas axiais para considerar a teoria de segunda ordem. Para isso, assume-se que as cargas verticais não se alteram devido aos efeitos horizontais e que as deformações são pequenas em comparação com as dimensões do edifício [2]. As cargas a serem consideradas devem corresponder às cargas para as situações de dimensionamento de sismos em concordância com a EN 1990, secção 6.4.3.4 [3] :

As forças de tração axiais aumentam a rigidez, por exemplo, num cabo pré-esforçado. As forças de compressão reduzem a rigidez e podem levar a uma singularidade na matriz de rigidez. A rigidez geométrica K_g não depende das propriedades mecânicas da estrutura, mas apenas do comprimento da barra L e da força axial N. Para ilustrar o problema de base, é apresentado um exemplo simples de uma consola na Figura 01. Os pontos de massa individuais da consola representam os pisos individuais do edifício. O edifício é sujeito a uma análise dinâmica tendo em conta a teoria de segunda ordem. As forças axiais N_i nos pisos individuais i = 1...n resultam das forças verticais na situação de dimensionamento sísmica (ver Regra 2). A altura do piso é definida por h_i.

Redução de um edifício a uma estrutura cantilever. Os pontos de massa individuais representam os pisos. A flecha devido às forças de compressão normais mostradas em (a) é (b) convertida em momentos equivalentes de deslocamento ou forças de corte [2]

A matriz de rigidez geométrica K_g pode ser derivada das condições de equilíbrio estático:

Por razões de simplificação, apenas os graus de liberdade dos deslocamentos horizontais são aqui apresentados. A derivação apresentada é baseada na abordagem do momento de desvio devido à aplicação do deslocamento linear. Esta é uma simplificação para o elemento de flexão e uma suposição exata para o elemento de treliça. Pode ser obtida uma determinação mais precisa da matriz de rigidez geométrica para vigas de flexão através da abordagem do deslocamento cúbico ou da solução analítica da equação diferencial da linha de flexão. Mais informação sobre a teoria e as derivações é fornecidas por Werkle [4]. A matriz de rigidez geométrica K_g é adicionada à matriz de rigidez K e assim a matriz de rigidez modificada K_mod é obtida:
k_mod =k +k_g (4)

No caso de forças axiais de compressão, isso leva a uma redução na rigidez.

Exemplo: Análise de frequências naturais e de espectro de resposta multimodal considerando a teoria de segunda ordem

A seguir é demonstrado como a matriz de rigidez geométrica pode ser considerada no RFEM e nos módulos adicionais RF-DYNAM Pro. A viga em consola apresentada na Figura 01 é utilizada como exemplo. A consola é constituída por cinco pontos de massa concentrados. Aqui, 4000 kg atuam na direção global X em cada caso.

As cargas de peso próprio e variáveis são combinadas como cargas de nó e definidas em dois casos de carga separados

A secção é IPE 300 feita a partir do material S 235 com I_y = 8356 ∙ 10^-5 m⁴ e E = 2,1 ∙ 10¹¹ N/m². Para poder considerar a matriz de rigidez geométrica na análise dinâmica, é inicialmente definida uma combinação de cargas para a situação de dimensionamento sísmico no programa principal do RFEM (ver Equação 2).

Definição de uma combinação de cargas para a situação de dimensionamento de sismo (Equação 2) e das forças axiais resultantes. Estas forças axiais são utilizadas para determinar a matriz de rigidez geométrica.

O módulo adicional RF-DYNAM Pro - Natural Vibrations permite determinar frequências naturais, formas próprias e massas modais efetivas de uma estrutura tendo em consideração várias alterações de rigidez (ver Manual RF-DYNAM Pro [5] , Capítulo 2.4. 7 e artigo técnico [6] ). São definidos dois casos de vibração natural. No NVC2, o CC1 é importado para considerar a matriz de rigidez geométrica e, portanto, a teoria de segunda ordem. Para comparação, é definido o NVC1 que não inclui quaisquer modificações de rigidez.

Parâmetros para a determinação dos valores próprios no RF -DYNAM Pro - Vibrações naturais

A tabela seguinte inclui as frequências naturais determinadas f [Hz], os períodos naturais T [sec] e os valores de aceleração S_a [m/s²] com base no espectro de resposta, com e sem a matriz de rigidez geométrica K_g resultante da compressão axial forças do CO1.

Frequências naturais, períodos naturais e valores de aceleração

A análise do espectro de resposta multimodal utiliza frequências naturais para determinar os valores de aceleração a partir do espectro de resposta definido. Com base nos valores de aceleração, são determinadas as cargas equivalentes e os esforços internos do espectro de resposta. A representação gráfica de um espectro de resposta definido pelo utilizador é apresentada na Figura 06 e os valores de aceleração S_a [m/s²] determinados a partir do espectro de resposta para cada valor próprio estão listados na tabela acima.

Espectro de resposta definido pelo utilizador

Para garantir a atribuição correta das frequências modificadas, tem de ser atribuído o caso de vibração natural (NVC) direito ao caso de carga dinâmico (DLC).

Atribuição de um caso de vibração natural a um caso de carga dinâmico para determinar cargas equivalentes

No caso de forças axiais de compressão, a consideração da matriz de rigidez geométrica leva à redução da frequência natural e pode causar valores de aceleração S_a mais baixos, como no nosso exemplo. Apenas uma modificação das frequências naturais não é suficiente para considerar a teoria de segunda ordem. Na verdade, isto pode na verdade levar a resultados inferiores, o que pode estar incorreto. É muito importante que a matriz de rigidez modificada também seja utilizada para a determinação das forças internas e das deformações. No RF-DYNAM Pro - Forced Vibrations, a rigidez modificada é utilizada automaticamente para determinar os resultados do espectro de resposta porque o cálculo é realizado no RF-DYNAM Pro. No RF-DYNAM Pro - Equivalent Loads, as cargas equivalentes são determinadas e exportadas como casos de carga para o programa principal RFEM. Por isso, o cálculo é realizado parcialmente no RF-DYNAM Pro e parcialmente no RFEM. Os fundamentos teóricos para o cálculo da carga equivalente são explicados no manual do RF-DYNAM Pro [5]. O exemplo de verificação [7] mostra o cálculo num exemplo específico. As cargas equivalentes determinadas com e sem a matriz de rigidez geométrica são apresentadas na Figura 08.

Cargas equivalentes para a primeira forma própria (a) sem as modificações de rigidez de DLC1 e (b) tendo em consideração a matriz de rigidez geométrica de DLC2

A exportação das cargas equivalentes tem muitas vantagens, mas a mais importante é a correta transferência das modificações de rigidez nos casos de carga. Os parâmetros de cálculo dos casos de carga exportados devem ser ajustados como mostra a Figura 09.

Parâmetros de cálculo de casos de carga com cargas equivalentes exportadas: Die geometrische Steifigkeitsmatrix muss auch hier berücksichtigt werden, dafür werden Normalkräfte aus der LK1 importiert

Os casos de carga individuais são sobrepostos utilizando o método SRSS ou CQC. Isto é definido automaticamente no RF-DYNAM Pro e exportado para as combinações de resultados. Os resultados com e sem a matriz de rigidez geométrica são exibidos na Figura 10.

Deformações u_X, momento M_Y e reações de apoio P_X resultantes do método do espectro de resposta multimodal (a) sem as modificações de rigidez de DLC1, e (b) considerando a matriz de rigidez geométrica de DLC2

A consideração da matriz de rigidez geométrica leva a deformações e esforços internos maiores. No entanto, as cargas equivalentes efetivas e as cargas de apoio resultantes são ligeiramente menores quando se considera a matriz de rigidez geométrica.

Referências