Законы ортотропных материалов

Закон Гука, в соответствии с которым $\mathrm u\;=\;\frac{\mathrm E}{2\;\mathrm G}\;\;-\;1\;\leq\;0.5$ and $-1\;<\;\mathrm u\;<\;0.5$, как правило не действует для ортотропных материалов.

поперечная деформация

Следующие параметры материала относятся к двумерной жесткости и, если не указано иначе, относятся к материалу древесина. В качестве основы зададим локальную систему осей, как показано на рисунке 01.

• E_x = жесткость в локальном направлении поверхности x
• Ey = жесткость в локальном направлении поверхности y
• G_xz = жесткость на сдвиг в локальном направлении поверхности x (направление толщины плиты)
• G_yz = жесткость на сдвиг в локальном направлении поверхности y (направление толщины плиты)
• G_xy = жесткость на сдвиг в плоскости плиты
• ν_xy = поперечная деформация в направлении x
• ν_yx = поперечная деформация в направлении y

Напряжения, показанные на рисунке 02, связаны с выше упомянутыми жесткостями.

Касательные напряжения

Свойства материала подчиняются следующим правилам.

Уравнение 1:

Уравнение 2:
${\mathrm u}_\mathrm{xy}\;\geqslant\;{\mathrm u}_\mathrm{yx}$

Уравнение 3:

Уравнение 4:

Соотношение деформаций в упомянутых выше уравнениях подчеркивает соотношения, показанные на рисунке 01.

Жесткость в плоскости плиты рассчитывается следующим образом.

Уравнение 5:

Поперечная деформация v

На рисунке 01 мы видим, что изменение деформаций и напряжений в данном направлении является результатом более однородных свойств материала в соответствующем направлении.

Соотношение деформаций:

Уравнение 6:

Уравнение 7:

Для ${\mathrm\sigma}_\mathrm x\; eq\;0,\;{\mathrm\sigma}_\mathrm y\;=\;0,\;{\mathrm\sigma}_\mathrm{xy}\;=\;0$, по закону Гука действительны следующие уравнения.

Уравнение 8:

Уравнение 9:

Уравнение 10:

Уравнение 11:

Уравнение 12:

Уравнение 13:

Матрица жесткости

Расчет глобальной матрицы жесткости плиты.

Уравнение 14:

Изгибные компоненты:

Уравнение 15:
${\mathrm D}_{11}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{11}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm x\;\mathrm d^3}{12\;\left(1\;-\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\right)}$

Уравнение 16:
${\mathrm D}_{12}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{12}\;\widehat{=\;}\mathrm{sgn}\left({\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\right)\;\sqrt{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;{\mathrm D}_{11}\;{\mathrm D}_{22}}$

Уравнение 17:
${\mathrm D}_{22}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{22}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm y\;\mathrm d^3}{12\;\left(1\;-\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\right)}$

Уравнение 18:
${\mathrm D}_{33}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{33}\;\widehat{=\;}{\mathrm G}_\mathrm{xy}\;\frac{\mathrm d^3}{12}$

Мембранные компоненты:

Уравнение 19:
${\mathrm D}_{66}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{11}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm x\;\mathrm d}{1\;-\;{\mathrm u}_\mathrm{xy}\;{\mathrm u}_\mathrm{yx}}$

Уравнение 20:
${\mathrm D}_{67}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{12}\;\widehat{=\;}\mathrm{sgn}\left({\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\right)\;\sqrt{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;{\mathrm D}_{66}\;{\mathrm D}_{77}}$

Уравнение 21:
${\mathrm D}_{77}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{22}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm y\;\mathrm d}{1\;-\;{\mathrm u}_\mathrm{xy}\;{\mathrm u}_\mathrm{yx}}$

Уравнение 22:
${\mathrm D}_{88}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{33}\;\widehat{=\;}{\mathrm G}_\mathrm{xy}\;\mathrm d$

Компоненты среза:

Уравнение 23:

Уравнение 24:

Предпосылкой этих уравнений является то, что матрица жесткости положительна, т.е. все собственные значения матрицы положительны.

По этой причине RFEM проверит, кроме прочего, ввод поперечной деформации с помощью следующего уравнения.

Уравнение 25:

Пример

На последующем примере (рисунок 03) мы поясним свойства ортотропного материала. Мы сравним ортотропный материал с изотропным материалом. Кроме того, зададим высокую жесткость ортотропной плиты в направлении x, а также в направлении y.

• 3D Viewer | Google
• 3D Viewer | Babylon
• Виртуальная реальность

Система

Конструкция:

• Толщина плиты 200 мм
• Материал C 24
• Ортотропная жесткость
  
  $\begin{array}{l}{\mathrm{E}}_{\mathrm{x}} = 1,100.0 \mathrm{кН}/{\mathrm{см}}^2\\ {\mathrm{E}}_{\mathrm{y}} = 37.0 \mathrm{кН}/{\mathrm{см}}^2\\ {\mathrm{G}}_{\mathrm{y}} = 6.9 \mathrm{кН}/{\mathrm{см}}^2\\ {\mathrm{G}}_{\mathrm{x}} = 69.0 \mathrm{кН}/{\mathrm{см}}^2\\ {\mathrm{G}}_{\mathrm{xy}} = 69.0 \mathrm{кН}/{\mathrm{см}}^2\\ {\mathrm{u}}_{\mathrm{xy}} = 2.52\\ {\mathrm{u}}_{\mathrm{yx}} = 0.085\end{array}$

  Формула 29
• Изотропная жесткость
  
  $\begin{array}{l}\mathrm{E} = 1,100 \mathrm{кН}/{\mathrm{см}}^2\\ \mathrm{G} = 500 \mathrm{кН}/{\mathrm{см}}^2\\ \mathrm{u} = 0.1\end{array}$

  Формула 30
• Размер w = 2,0 м, l = 4,0 м
• Нагрузка 20 кН/м²
• Размер сетки КЭ 50 см

Конструкция, благодаря опиранию, жестко защемлена в вертикальном направлении z. Условия опирания в направлении х и у были выбраны таким образом, чтобы не возникало воздействий от защемления.

Расчет выполняется по статическому линейному анализу с учетом линейно-упругих свойств материала и условий опирания.

По закону Гука с заданными значениями мы получим следующую поперечную деформацию.

Уравнение 26:
$\mathrm\nu\;=\;\left(\sqrt{{\mathrm E}_\mathrm x\;\cdot\;{\mathrm E}_\mathrm y}\right)\;/\;\left(2\;\mathrm G\right)\;-\;1\;=\;6.97$

Так высокая поперечная деформация невозможна для выбранной модели материала. Однако с помощью уравнений из нормы [1], значения можно скорректировать.

Уравнение 27:

Уравнение 28:

Уравнение 29:

Уравнение 30:

• 3D Viewer | Google
• 3D Viewer | Babylon
• Виртуальная реальность

Поверхности и их жесткость

Результаты
Как и ожидалось, наибольшие деформации происходят при направленности жесткости в направлении y (рисунок 06). Опорная реакция и момент изотропной плиты показаны на рисунке 05.

• 3D Viewer | Google
• 3D Viewer | Babylon
• Виртуальная реальность

Результаты изотропного материала

Так как плита с высокой жесткостью в направлении y (E_y = 1100 кН/см²) обладает высокой прочностью в данном направлении, в нем наблюдаются и более высокие опорные реакции (125,4 кНм по сравнению с 58,3 кНм).

• 3D Viewer | Google
• 3D Viewer | Babylon
• Виртуальная реальность

Деформации и опорные реакции ортотропных плит

Полученные максимальные изгибающие моменты ортотропных плит равны m_x для жесткости в направлении x и m_y для высокой жесткости в направлении y.

У плиты с высокой жесткостью в направлении y максимальный изгибающий момент m_y находится почти в центре плиты (рисунок 07).

Biegemomente der orthotropen Platte mx (links) und my (rechts)

Изменения поперечной деформации

Поперечная деформация, согласно диаграмме деформаций, может достигнуть максимальных и минимальных значений, указанных в таблице.

Поэтому плита, заданная в начале с высокой жесткостью (E_x = 11 000), будет задана с данными высокими поперечными деформациями. Другие жесткости плиты не изменятся.

На рисунке 08 показаны результаты изменения ν_xy от 5,44 до -5,44. 

При ν_xy = 5,44 опорные реакции качественно соответствуют изотропным свойствам материала. Изгибающий момент увеличивается от m_x = 18,1 кНм/м (изотропная плита) до m_x = 34,9 кНм/м (ортотропная плита)

По сравнению с ортотропной плитой, имеющей обычные поперечные деформации, (ν_xy = 2,5) изгибающий момент немного уменьшается. 

Ergebnisse der Variation gemäß Tabelle (links: νxy = 5,44, средний: νxy = 0, справа: νxy = -5,44)

При ν_xy = 0 высокая амплитуда опорной реакции на свободном конце плиты распределится в постоянную величину 43 кН/м

Момент m_x возрастет до 38,1 кНм/м. По сравнению с предыдущим результатом (ν_xy =5,44), здесь проявляется воздействие поперечной деформации. При ν = 0, напряжений и искривления из-за поперечной деформации не возникает.

При ν_xy = -5,44 наблюдается надкритический отказ на свободном конце пластины, и опорные реакции будут отрицательными. Максимальный момент наблюдается в центре плиты и равен 59,5 кНм/м.

Плита теперь обладает скорее свойствами одноосно напряженной плиты без третьей опоры в продольном направлении.

Эти свойства можно объяснить с помощью рисунка 01 и приведенных здесь соотношений.

Из-за высокой отрицательной поперечной деформации (ν_xy = -5,44), плита подвергается избыточному сжатию на свободном конце и поэтому не может быть деформирована.

Воздействие ортотропии в направлении y в этом случае почти равно нулю (E_y ≈ 0).

Резюме

Благодаря ортотропной модели материала в RFEM можно задать практически любые параметры материала. При изменениях поперечных деформаций мы можем получить очень различные результаты. После корректировки значений поперечной деформации по норме [1] мы получим значения, близкие к решению для однопролетной балки.

Уравнение 31:

Слишком высокие отрицательные поперечные деформации составляют модифицированную конструктивную систему, которая больше не соответствует нашей модели.