Законы ортотропных материалов

Техническая статья

Законы ортотропных материалов применяются в каждом случае, в котором материалы расположены в соответствии с их загружением. Примером являются армированные волокном пластмассы, профилированный лист, железобетон или древесина.

Закон Гука, в соответствии с которым $\mathrm u\;=\;\frac{\mathrm E}{2\;\mathrm G}\;\;-\;1\;\leq\;0.5$ and $-1\;<\;\mathrm u\;<\;0.5$, как правило не действует для ортотропных материалов.

Pисунок 01 - Поперечная деформация

Следующие параметры материала относятся к двумерной жесткости и, если не указано иначе, относятся к материалу древесина. В качестве основы зададим локальную систему осей, как показано на рисунке 01.

  • Ex = жесткость в локальном направлении поверхности x
  • Ey = жесткость в локальном направлении поверхности y
  • Gxz = жесткость на сдвиг в локальном направлении поверхности x (направление толщины плиты)
  • Gyz = жесткость на сдвиг в локальном направлении поверхности y (направление толщины плиты)
  • Gxy = жесткость на сдвиг в плоскости плиты
  • νxy = поперечная деформация в направлении x
  • νyx = поперечная деформация в направлении y

Напряжения, показанные на рисунке 02, связаны с выше упомянутыми жесткостями.

Pисунок 02 - Касательные напряжения

Свойства материала подчиняются следующим правилам.

Уравнение 1:
$\frac{{\mathrm u}_\mathrm{yx}}{{\mathrm E}_\mathrm y}\;=\;\frac{{\mathrm u}_\mathrm{xy}}{{\mathrm E}_\mathrm x}$

Уравнение 2:
${\mathrm u}_\mathrm{xy}\;\geqslant\;{\mathrm u}_\mathrm{yx}$

Уравнение 3:
${\mathrm u}_\mathrm{xy}\;=\;-\frac{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y}{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x}\;=\;\frac{{\mathrm E}_\mathrm x}{{\mathrm E}_\mathrm y}\;\cdot\;{\mathrm u}_\mathrm{yx}$

Уравнение 4:
$\begin{bmatrix}{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x\\{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\\{\mathrm\gamma}_\mathrm{xy}\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}\frac1{{\mathrm E}_\mathrm x}&-\;\frac{{\mathrm u}_\mathrm{xy}}{{\mathrm E}_\mathrm x}&0\\-\;\frac{{\mathrm u}_\mathrm{xy}}{{\mathrm E}_\mathrm x}&\frac1{{\mathrm E}_\mathrm y}&0\\0&0&{\mathrm G}_\mathrm{xy}\end{bmatrix}\;\cdot\;\begin{bmatrix}{\mathrm\sigma}_\mathrm x\\{\mathrm\sigma}_\mathrm y\\{\mathrm\tau}_\mathrm{xy}\end{bmatrix}$

Соотношение деформаций в упомянутых выше уравнениях подчеркивает соотношения, показанные на рисунке 01.

Жесткость в плоскости плиты рассчитывается следующим образом.

Уравнение 5:
${\mathrm d}_\mathrm i=\begin{bmatrix}{\mathrm d}_{11,\mathrm i}&{\mathrm d}_{12,\mathrm i}&0\\&{\mathrm d}_{22,\mathrm i}&0\\\mathrm{sym}&&{\mathrm d}_{33,\mathrm i}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{{\mathrm E}_{\mathrm x,\mathrm i}}{1\;-\;\mathrm u_{\mathrm{xy},\mathrm i}^2\;\frac{{\mathrm E}_{\mathrm y,\mathrm i}}{{\mathrm E}_{\mathrm x,\mathrm i}}}&\frac{{\mathrm u}_{\mathrm{xy},\mathrm i}\;{\mathrm E}_{\mathrm y,\mathrm i}}{1\;-\;\mathrm u_{\mathrm{xy},\mathrm i}^2\;\frac{{\mathrm E}_{\mathrm y,\mathrm i}}{{\mathrm E}_{\mathrm x,\mathrm i}}}&0\\&\frac{{\mathrm E}_{\mathrm y,\mathrm i}}{1\;-\;\mathrm u_{\mathrm{xy},\mathrm i}^2\;\frac{{\mathrm E}_{\mathrm y,\mathrm i}}{{\mathrm E}_{\mathrm x,\mathrm i}}}&0\\\mathrm{sym}&&{\mathrm G}_{\mathrm{xy},\mathrm i}\end{bmatrix}$

Поперечная деформация v

На рисунке 01 мы видим, что изменение деформаций и напряжений в данном направлении является результатом более однородных свойств материала в соответствующем направлении.

Соотношение деформаций:

Уравнение 6:
${\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;=\;-\frac{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y}{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x}\;\rightarrow\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;=\;-{\mathrm\nu}_\mathrm x\;\cdot\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x$

Уравнение 7:
${\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;=\;-\frac{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x}{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y}\;\rightarrow\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x\;=\;-{\mathrm\nu}_\mathrm y\;\cdot\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y$

Для ${\mathrm\sigma}_\mathrm x\; eq\;0,\;{\mathrm\sigma}_\mathrm y\;=\;0,\;{\mathrm\sigma}_\mathrm{xy}\;=\;0$, по закону Гука действительны следующие уравнения.

Уравнение 8:
${\mathrm\varepsilon}_\mathrm x\;=\;\frac{{\mathrm\sigma}_\mathrm x}{{\mathrm E}_\mathrm x}$

Уравнение 9:
${\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;=\;\frac{{\mathrm\sigma}_\mathrm y}{{\mathrm E}_\mathrm y}$

Уравнение 10:
${\mathrm\sigma}_\mathrm y\;=\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;\cdot\;{\mathrm E}_\mathrm y\;\mathrm{with}\;{\mathrm E}_\mathrm y\;=\;\frac{{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;\cdot\;{\mathrm E}_\mathrm x}{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}}\;\hspace{5mm}\rightarrow\;\hspace{5mm}{\mathrm\sigma}_\mathrm y\;=\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;\cdot\;\frac{{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;\cdot\;{\mathrm E}_\mathrm x}{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}}$

Уравнение 11:
$\rightarrow\;{\mathrm\sigma}_\mathrm y\;=\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;\cdot\;\frac{{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm\sigma}_\mathrm x}{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x}}}{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}}$

Уравнение 12:
$\rightarrow\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;=\;\frac{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm\sigma}_\mathrm x}{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x}}}{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}}}}{{\mathrm E}_\mathrm y}\;\mathrm{with}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;=\;-\frac{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y}{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x}$

Уравнение 13:
$\rightarrow\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;=\;\frac{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;\cdot\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;\cdot\;{\mathrm\sigma}_\mathrm x}{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x\;\cdot\;\left(-{\displaystyle\frac{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y}{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x}}\right)\;\cdot\;{\mathrm E}_\mathrm y}\;=\;-\frac{{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;\cdot\;{\mathrm\sigma}_\mathrm x}{{\mathrm E}_\mathrm y}$

Матрица жесткости

Расчет глобальной матрицы жесткости плиты.

Уравнение 14:
$\mathrm D\;=\;\begin{bmatrix}{\mathrm D}_{11}&{\mathrm D}_{12}&0&0&0&0&0&0\\&{\mathrm D}_{22}&0&0&0&0&0&0\\&&{\mathrm D}_{33}&0&0&0&0&0\\&&&{\mathrm D}_{44}&0&0&0&0\\&&&&{\mathrm D}_{55}&0&0&0\\&\mathrm{sym}&&&&{\mathrm D}_{66}&0&0\\&&&&&&{\mathrm D}_{77}&0\\&&&&&&&{\mathrm D}_{88}\end{bmatrix}$

Изгибные компоненты:

Уравнение 15:
${\mathrm D}_{11}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{11}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm x\;\mathrm d^3}{12\;\left(1\;-\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\right)}$

Уравнение 16:
${\mathrm D}_{12}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{12}\;\widehat{=\;}\mathrm{sgn}\left({\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\right)\;\sqrt{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;{\mathrm D}_{11}\;{\mathrm D}_{22}}$

Уравнение 17:
${\mathrm D}_{22}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{22}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm y\;\mathrm d^3}{12\;\left(1\;-\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\right)}$

Уравнение 18:
${\mathrm D}_{33}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{33}\;\widehat{=\;}{\mathrm G}_\mathrm{xy}\;\frac{\mathrm d^3}{12}$

Мембранные компоненты:

Уравнение 19:
${\mathrm D}_{66}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{11}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm x\;\mathrm d}{1\;-\;{\mathrm u}_\mathrm{xy}\;{\mathrm u}_\mathrm{yx}}$

Уравнение 20:
${\mathrm D}_{67}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{12}\;\widehat{=\;}\mathrm{sgn}\left({\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\right)\;\sqrt{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;{\mathrm D}_{66}\;{\mathrm D}_{77}}$

Уравнение 21:
${\mathrm D}_{77}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{22}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm y\;\mathrm d}{1\;-\;{\mathrm u}_\mathrm{xy}\;{\mathrm u}_\mathrm{yx}}$

Уравнение 22:
${\mathrm D}_{88}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{33}\;\widehat{=\;}{\mathrm G}_\mathrm{xy}\;\mathrm d$

Компоненты среза:

Уравнение 23:
${\mathrm D}_{44}\;=\;\frac56\;{\mathrm G}_\mathrm{xz}\;\cdot\;\mathrm d$

Уравнение 24:
${\mathrm D}_{55}\;=\;\frac56\;{\mathrm G}_\mathrm{yz}\;\cdot\;\mathrm d$

Предпосылкой этих уравнений является то, что матрица жесткости положительна, т.е. все собственные значения матрицы положительны.

По этой причине RFEM проверит, кроме прочего, ввод поперечной деформации с помощью следующего уравнения.

Уравнение 25:
${\mathrm u}_\mathrm{xy}\;\leq\;0,999\;\cdot\;\sqrt{\frac{{\mathrm E}_\mathrm x}{{\mathrm E}_\mathrm y}}$

Пример

На последующем примере (рисунок 03) мы поясним свойства ортотропного материала. Мы сравним ортотропный материал с изотропным материалом. Кроме того, зададим высокую жесткость ортотропной плиты в направлении x, а также в направлении y.

Pисунок 03 - Конструкция

Конструкция:

  • Толщина плиты 200 мм
  • Материал C 24
  • Ортотропная жесткость
    $\begin{array}{l}{\mathrm E}_\mathrm x\;=\;1,100.0\;\mathrm{кН}/\mathrm{см}^2\\{\mathrm E}_\mathrm y\;=\;37.0\;\mathrm{кН}/\mathrm{см}^2\\{\mathrm G}_\mathrm y\;=\;6.9\;\mathrm{кН}/\mathrm{см}^2\\{\mathrm G}_\mathrm x\;=\;69.0\;\mathrm{кН}/\mathrm{см}^2\\{\mathrm G}_\mathrm{xy}\;=\;69.0\;\mathrm{кН}/\mathrm{см}^2\\{\mathrm u}_\mathrm{xy}\;=\;2.52\\{\mathrm u}_\mathrm{yx}\;=\;0.085\end{array}$
  • Изотропная жесткость
    $\begin{array}{l}\mathrm E\;=\;1,100\;\mathrm{кН}/\mathrm{см}^2\\\mathrm G\;=\;500\;\mathrm{кН}/\mathrm{см}^2\\\mathrm u\;=\;0.1\end{array}$
  • Размер w = 2,0 м, l = 4,0 м
  • Нагрузка 20 кН/м²
  • Размер сетки КЭ 50 см

Конструкция, благодаря опиранию, жестко защемлена в вертикальном направлении z. Условия опирания в направлении х и у были выбраны таким образом, чтобы не возникало воздействий от защемления.

Расчет выполняется по статическому линейному анализу с учетом линейно-упругих свойств материала и условий опирания.

По закону Гука с заданными значениями мы получим следующую поперечную деформацию.

Уравнение 26:
$\mathrm\nu\;=\;\left(\sqrt{{\mathrm E}_\mathrm x\;\cdot\;{\mathrm E}_\mathrm y}\right)\;/\;\left(2\;\mathrm G\right)\;-\;1\;=\;6.97$

Так высокая поперечная деформация невозможна для выбранной модели материала. Однако с помощью уравнений из нормы [1], значения можно скорректировать.

Уравнение 27:
${\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;\approx\;\left(\frac{\sqrt{{\mathrm E}_\mathrm x\;{\mathrm E}_\mathrm y}}{2\;{\mathrm G}_\mathrm{xy}}\;-\;1\right)\;\cdot\;\sqrt{\frac{{\mathrm E}_\mathrm x}{{\mathrm E}_\mathrm y}}$

Уравнение 28:
${\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;\approx\;\left(\frac{\sqrt{{\mathrm E}_\mathrm x\;{\mathrm E}_\mathrm y}}{2\;{\mathrm G}_\mathrm{xy}}\;-\;1\right)\;\cdot\;\sqrt{\frac{{\mathrm E}_\mathrm y}{{\mathrm E}_\mathrm x}}$

Уравнение 29:
${\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;=\;\left(\frac{\sqrt{1,100\;\cdot\;37}}{2\;\cdot\;69}\;-\;1\right)\;\sqrt{\frac{1,100}{37}}\;=\;2.52$

Уравнение 30:
${\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;=\;\left(\frac{\sqrt{1,100\;\cdot\;37}}{2\;\cdot\;69}\;-\;1\right)\;\sqrt{\frac{37}{1,100}}\;=\;0.085$

Pисунок 04 - Поверхности и их жесткость

Результаты
Как и ожидалось, наибольшие деформации происходят при направленности жесткости в направлении y (рисунок 06). Опорная реакция и момент изотропной плиты показаны на рисунке 05.

Pисунок 05 - Результаты изотропного материала

Так как плита с высокой жесткостью в направлении y (Ey = 1100 кН/см²) обладает высокой прочностью в данном направлении, в нем наблюдаются и более высокие опорные реакции (125,4 кНм по сравнению с 58,3 кНм).

Pисунок 06 - Деформации и опорные реакции ортотропных плит

Полученные максимальные изгибающие моменты ортотропных плит равны mx для жесткости в направлении x и my для высокой жесткости в направлении y.

У плиты с высокой жесткостью в направлении y максимальный изгибающий момент my находится почти в центре плиты (рисунок 07).

Pисунок 07 - Изгибающие моменты ортотропной плиты mx (слева) и my (справа)

Изменения поперечной деформации

Поперечная деформация, согласно диаграмме деформаций, может достигнуть максимальных и минимальных значений, указанных в таблице.

 

 МаксимумМинимум
νxy5,447-5,447
νyx0,183-0,183

Поэтому плита, заданная в начале с высокой жесткостью (Ex = 11 000), будет задана с данными высокими поперечными деформациями. Другие жесткости плиты не изменятся.

На рисунке 08 показаны результаты изменения νxy от 5,44 до -5,44. 

При νxy = 5,44 опорные реакции качественно соответствуют изотропным свойствам материала. Изгибающий момент увеличивается от mx = 18,1 кНм/м (изотропная плита) до mx = 34,9 кНм/м (ортотропная плита)

По сравнению с ортотропной плитой, имеющей обычные поперечные деформации, (νxy = 2,5) изгибающий момент немного уменьшается. 

Pисунок 08 - Результаты изменений по таблице (слева: νxy = 5,44, в центре: vxy = 0, справа: νxy = -5,44)

При νxy = 0 высокая амплитуда опорной реакции на свободном конце плиты распределится в постоянную величину 43 кН/м

Момент mx возрастет до 38,1 кНм/м. По сравнению с предыдущим результатом (νxy =5,44), здесь проявляется воздействие поперечной деформации. При ν = 0, напряжений и искривления из-за поперечной деформации не возникает.

При νxy = -5,44 наблюдается надкритический отказ на свободном конце пластины, и опорные реакции будут отрицательными. Максимальный момент наблюдается в центре плиты и равен 59,5 кНм/м.

Плита теперь обладает скорее свойствами одноосно напряженной плиты без третьей опоры в продольном направлении.

Эти свойства можно объяснить с помощью рисунка 01 и приведенных здесь соотношений.

Из-за высокой отрицательной поперечной деформации (νxy = -5,44), плита подвергается избыточному сжатию на свободном конце и поэтому не может быть деформирована.

Воздействие ортотропии в направлении y в этом случае почти равно нулю (Ey ≈ 0).

Резюме

Благодаря ортотропной модели материала в RFEM можно задать практически любые параметры материала. При изменениях поперечных деформаций мы можем получить очень различные результаты. После корректировки значений поперечной деформации по норме [1] мы получим значения, близкие к решению для однопролетной балки.

Уравнение 31:
${\mathrm M}_\mathrm y\;=\;\frac{\mathrm q\;\mathrm l^2}8\;=\;40\;\mathrm{кНм}$

Слишком высокие отрицательные поперечные деформации составляют модифицированную конструктивную систему, которая больше не соответствует нашей модели.

Литература

[1]   Huber, M. T.: The Theory of Crosswise Reinforced Ferroconcrete Slabs and Its Application to Various Important Constructional Problems Involving Rectangular Slabs, Der Bauingenieur 12, pages 354 - 360, and 13, pages 392 - 395. 1923

Загрузки

Ссылки

Контакты

Свяжитесь с Dlubal

У вас есть какие-либо вопросы или необходим совет?
Свяжитесь с нами через бесплатную поддержку по электронной почте, в чате или на форуме или найдите различные предлагаемые решения и полезные советы на страницах часто задаваемых вопросов.

+49 9673 9203 0

info@dlubal.com

RFEM Основная программа
RFEM 5.xx

Основная программа

Программное обеспечение для расчета конструкций методом конечных элементов (МКЭ) плоских и пространственных конструктивных систем, состоящих из плит, стен, оболочек, стержней (балок), тел и контактных элементов

Цена первой лицензии
3 540,00 USD