Zákony ortotropních materiálů

Odborný článek

Zákony ortotropních materiálů se uplatňují všude tam, kde jsou materiály uspořádány podle svého namáhání. Příkladem jsou plasty zesílené vlákny, trapézové plechy, vyztužený beton nebo dřevo.

U ortotropních materiálů zpravidla již neplatí Hookův zákon, podle něhož $\mathrm u\;=\;\frac{\mathrm E}{2\;\mathrm G}\;\;-\;1\;\leq\;0,5$ a $-1\;<\;\mathrm u\;<\;0,5$.

Obr. 01 - Příčné protažení

Následující materiálové parametry se vztahují na dvourozměrnou tuhost a, pokud není uvedeno jinak, na materiál dřevo. Jako základ stanovíme lokální osový systém, který je znázorněn na obr. 01.

  • Ex = tuhost v lokálním směru x plochy
  • Ey = tuhost v lokálním směru y plochy
  • Gxz = tuhost ve smyku v lokálním směru x plochy (směr tloušťky desky)
  • Gyz = tuhost ve smyku v lokálním směru y plochy (směr tloušťky desky)
  • Gxy = tuhost ve smyku v rovině desky
  • νxy = příčné protažení ve směru x
  • νyx = příčné protažení ve směru y

Napětí znázorněná na obr. 02 se vztahují k výše uvedeným tuhostem.

Obr. 02 - Napětí ve smyku

Pro materiálové vlastnosti platí následující pravidla.

Rovnice 1:
$\frac{{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}}{{\mathrm E}_\mathrm y}\;=\;\frac{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}}{{\mathrm E}_\mathrm x}$

Rovnice 2:
${\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;\geqslant\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}$

Rovnice 3:
${\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;=\;-\frac{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y}{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x}\;=\;\frac{{\mathrm E}_\mathrm x}{{\mathrm E}_\mathrm y}\;\cdot\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}$

Rovnice 4 (tuhosti v rovině desky):
$\begin{bmatrix}{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x\\{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\\{\mathrm\gamma}_\mathrm{xy}\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}\frac1{{\mathrm E}_\mathrm x}&-\;\frac{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}}{{\mathrm E}_\mathrm x}&0\\-\;\frac{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}}{{\mathrm E}_\mathrm x}&\frac1{{\mathrm E}_\mathrm y}&0\\0&0&{\mathrm G}_\mathrm{xy}\end{bmatrix}\;\cdot\;\begin{bmatrix}{\mathrm\sigma}_\mathrm x\\{\mathrm\sigma}_\mathrm y\\{\mathrm\tau}_\mathrm{xy}\end{bmatrix}$

Poměr protažení ve výše uvedených rovnicích podtrhuje vztahy na obr. 01.

Tuhosti v rovině desky se vypočítají následovně.

Rovnice 5:
${\mathrm d}_\mathrm i=\begin{bmatrix}{\mathrm d}_{11,\mathrm i}&{\mathrm d}_{12,\mathrm i}&0\\&{\mathrm d}_{22,\mathrm i}&0\\\mathrm{sym}&&{\mathrm d}_{33,\mathrm i}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{{\mathrm E}_{\mathrm x,\mathrm i}}{1\;-\;\mathrm\nu_{\mathrm{xy},\mathrm i}^2\;\frac{{\mathrm E}_{\mathrm y,\mathrm i}}{{\mathrm E}_{\mathrm x,\mathrm i}}}&\frac{{\mathrm\nu}_{\mathrm{xy},\mathrm i}\;{\mathrm E}_{\mathrm y,\mathrm i}}{1\;-\;\mathrm\nu_{\mathrm{xy},\mathrm i}^2\;\frac{{\mathrm E}_{\mathrm y,\mathrm i}}{{\mathrm E}_{\mathrm x,\mathrm i}}}&0\\&\frac{{\mathrm E}_{\mathrm y,\mathrm i}}{1\;-\;\mathrm\nu_{\mathrm{xy},\mathrm i}^2\;\frac{{\mathrm E}_{\mathrm y,\mathrm i}}{{\mathrm E}_{\mathrm x,\mathrm i}}}&0\\\mathrm{sym}&&{\mathrm G}_{\mathrm{xy},\mathrm i}\end{bmatrix}$

Příčné protažení ν

Jak je již zřejmé z obrázku 01, vlivem měkčích vlastností materiálu v daném směru se mění deformace a napětí v příslušném směru.

Poměr protažení:

Rovnice 6:
${\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;=\;-\frac{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y}{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x}\;\rightarrow\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;=\;-{\mathrm\nu}_\mathrm x\;\cdot\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x$

Rovnice 7:
${\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;=\;-\frac{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x}{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y}\;\rightarrow\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x\;=\;-{\mathrm\nu}_\mathrm y\;\cdot\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y$

Pro ${\mathrm\sigma}_\mathrm x\; eq\;0,\;{\mathrm\sigma}_\mathrm y\;=\;0,\;{\mathrm\sigma}_\mathrm{xy}\;=\;0$ platí podle Hookova zákona následující rovnice.

Rovnice 8:
${\mathrm\varepsilon}_\mathrm x\;=\;\frac{{\mathrm\sigma}_\mathrm x}{{\mathrm E}_\mathrm x}$

Rovnice 9:
${\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;=\;\frac{{\mathrm\sigma}_\mathrm y}{{\mathrm E}_\mathrm y}$

Rovnice 10:
${\mathrm\sigma}_\mathrm y\;=\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;\cdot\;{\mathrm E}_\mathrm y\;\mathrm{kde}\;{\mathrm E}_\mathrm y\;=\;\frac{{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;\cdot\;{\mathrm E}_\mathrm x}{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}}\;\hspace{5mm}\rightarrow\;\hspace{5mm}{\mathrm\sigma}_\mathrm y\;=\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;\cdot\;\frac{{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;\cdot\;{\mathrm E}_\mathrm x}{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}}$

Rovnice 11:
$\rightarrow\;{\mathrm\sigma}_\mathrm y\;=\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;\cdot\;\frac{{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm\sigma}_\mathrm x}{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x}}}{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}}$

Rovnice 12:
$\rightarrow\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;=\;\frac{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm\sigma}_\mathrm x}{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x}}}{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}}}}{{\mathrm E}_\mathrm y}\;\mathrm{kde}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;=\;-\frac{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y}{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x}$

Rovnice 13:
$\rightarrow\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;=\;\frac{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;\cdot\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;\cdot\;{\mathrm\sigma}_\mathrm x}{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x\;\cdot\;\left(-{\displaystyle\frac{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y}{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x}}\right)\;\cdot\;{\mathrm E}_\mathrm y}\;=\;-\frac{{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;\cdot\;{\mathrm\sigma}_\mathrm x}{{\mathrm E}_\mathrm y}$

Matice tuhosti

Výpočet globální matice tuhosti desky

Rovnice 14:
$\mathrm D\;=\;\begin{bmatrix}{\mathrm D}_{11}&{\mathrm D}_{12}&0&0&0&0&0&0\\&{\mathrm D}_{22}&0&0&0&0&0&0\\&&{\mathrm D}_{33}&0&0&0&0&0\\&&&{\mathrm D}_{44}&0&0&0&0\\&&&&{\mathrm D}_{55}&0&0&0\\&\mathrm{sym}&&&&{\mathrm D}_{66}&0&0\\&&&&&&{\mathrm D}_{77}&0\\&&&&&&&{\mathrm D}_{88}\end{bmatrix}$

Ohybové složky:

Rovnice 15:
${\mathrm D}_{11}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{11}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm x\;\mathrm d^3}{12\;\left(1\;-\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\right)}$

Rovnice 16:
${\mathrm D}_{12}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{12}\;\widehat{=\;}\mathrm{sgn}\left({\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\right)\;\sqrt{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;{\mathrm D}_{11}\;{\mathrm D}_{22}}$

Rovnice 17:
${\mathrm D}_{22}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{22}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm y\;\mathrm d^3}{12\;\left(1\;-\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\right)}$

Rovnice 18:
${\mathrm D}_{33}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{33}\;\widehat{=\;}{\mathrm G}_\mathrm{xy}\;\frac{\mathrm d^3}{12}$

Membránové složky:

Rovnice 19:
${\mathrm D}_{66}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{11}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm x\;\mathrm d}{1\;-\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}}$

Rovnice 20:
${\mathrm D}_{67}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{12}\;\widehat{=\;}\mathrm{sgn}\left({\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\right)\;\sqrt{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;{\mathrm D}_{66}\;{\mathrm D}_{77}}$

Rovnice 21:
${\mathrm D}_{77}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{22}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm y\;\mathrm d}{1\;-\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}}$

Rovnice 22:
${\mathrm D}_{88}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{33}\;\widehat{=\;}{\mathrm G}_\mathrm{xy}\;\mathrm d$

Smykové složky:

Rovnice 23:
${\mathrm D}_{44}\;=\;\frac56\;{\mathrm G}_\mathrm{xz}\;\cdot\;\mathrm d$

Rovnice 24:
${\mathrm D}_{55}\;=\;\frac56\;{\mathrm G}_\mathrm{yz}\;\cdot\;\mathrm d$

Předpokladem platnosti těchto rovnic je samozřejmě kladná matice tuhosti, tj. všechna vlastní čísla matice jsou kladná.

RFEM proto mimo jiné ověří zadání příčného protažení pomocí následující rovnice.

Rovnice 25:
${\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;\leq\;0,999\;\cdot\;\sqrt{\frac{{\mathrm E}_\mathrm x}{{\mathrm E}_\mathrm y}}$

Příklad

Na následujícím příkladu (obr. 03) si vysvětlíme ortotropní chování materiálu. Porovnáme přitom ortotropní materiál s izotropním materiálem. U ortotropní desky navíc zadáme vysokou tuhost jednou ve směru x a podruhé ve směru y.

Obr. 03 - Konstrukce

Konstrukce:

  • Tloušťka desky 200 mm
  • Materiál C24
  • Ortotropní tuhosti
    $\begin{array}{l}{\mathrm E}_\mathrm x\;=\;1 100,0\;\mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2\\{\mathrm E}_\mathrm y\;=\;37,0\;\mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2\\{\mathrm G}_\mathrm y\;=\;6,9\;\mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2\\{\mathrm G}_\mathrm x\;=\;69,0\;\mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2\\{\mathrm G}_\mathrm{xy}\;=\;69,0\;\mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2\\{\mathrm u}_\mathrm{xy}\;=\;2,52\\{\mathrm u}_\mathrm{yx}\;=\;0,085\end{array}$
  • Izotropní tuhosti
    $\begin{array}{l}\mathrm E\;=\;1 100\;\mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2\\\mathrm G\;=\;500\;\mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2\\\mathrm u\;=\;0,1\end{array}$
  • Rozměry b = 2,0 m, l = 4,0 m
  • Zatížení 20 kN/m²
  • Velikost sítě konečných prvků 50 cm

Podepření konstrukce zamezuje posunu ve svislém směru z. Podporové podmínky ve směru x a y byly zvoleny tak, aby nedocházelo k žádným vynuceným přetvořením.

Výpočet proběhne podle teorie prvního řádu se zohledněním lineárně pružného chování materiálu a příslušných podporových podmínek.

Podle Hookova zákona se pro zadané hodnoty stanoví následující příčné protažení.

Rovnice 26:
$\mathrm\nu\;=\;\left(\sqrt{{\mathrm E}_\mathrm x\;\cdot\;{\mathrm E}_\mathrm y}\right)\;/\;\left(2\;\mathrm G\right)\;-\;1\;=\;6,97$

Takto vysoké příčné protažení není v případě zvoleného materiálového modelu možné. Pomocí rovnic z [1] lze ovšem hodnoty upravit.

Rovnice 27:
${\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;\approx\;\left(\frac{\sqrt{{\mathrm E}_\mathrm x\;{\mathrm E}_\mathrm y}}{2\;{\mathrm G}_\mathrm{xy}}\;-\;1\right)\;\cdot\;\sqrt{\frac{{\mathrm E}_\mathrm x}{{\mathrm E}_\mathrm y}}$

Rovnice 28:
${\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;\approx\;\left(\frac{\sqrt{{\mathrm E}_\mathrm x\;{\mathrm E}_\mathrm y}}{2\;{\mathrm G}_\mathrm{xy}}\;-\;1\right)\;\cdot\;\sqrt{\frac{{\mathrm E}_\mathrm y}{{\mathrm E}_\mathrm x}}$

Rovnice 29:
${\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;=\;\left(\frac{\sqrt{1 100\;\cdot\;37}}{2\;\cdot\;69}\;-\;1\right)\;\sqrt{\frac{1 100}{37}}\;=\;2,52$

Rovnice 30:
${\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;=\;\left(\frac{\sqrt{1 100\;\cdot\;37}}{2\;\cdot\;69}\;-\;1\right)\;\sqrt{\frac{37}{1 100}}\;=\;0,085$

Obr. 04 - Plochy s příslušnými tuhostmi

Výsledky
Podle očekávání vycházejí největší výsledné deformace, pokud jsou tuhosti orientovány ve směru y (obr. 06). Podporové reakce a moment v izotropní desce jsou znázorněny na obr. 05.

Obr. 05 - Výsledky izotropního materiálu

Vzhledem k tomu, že deska s vysokou tuhostí ve směru y (Ey = 1100 kN/cm²) vykazuje v tomto směru vysokou únosnost, jsou tu také reakce vyšší (125,4 kNm ku 58,3 kNm).

Obr. 06 - Deformace a podporové reakce u ortotropních desek

Maximální ohybové momenty jsou u ortotropních desek obdobné v případě mx s tuhostí ve směru x a v případě my s vyšší tuhostí ve směru y.

Deska s vysokou tuhostí ve směru y vykazuje maximální ohybový moment my téměř ve svém středu (obr. 07).

Obr. 07 - Ohybové momenty u ortotropní desky mx (vlevo) a my (vpravo)

Variabilita příčného protažení

Příčné protažení může podle daných vztahů dosahovat maximálních a minimálních hodnot uvedených v tabulce.

 

 MaxMin
νxy5,447-5,447
νyx0,183-0,183

První definovaná deska s vysokou tuhostí (Ex = 11 000) se proto zadá s danými vysokými hodnotami příčného protažení. Ostatní tuhosti ovšem u desky zůstávají beze změny.

Na obr. 08 jsou uvedeny výsledky pro rozsah νxy od 5,44 do -5,44 .

V případě νxy = 5,44 reakce kvalitativně odpovídají izotropnímu chování materiálu. Ohybový moment roste od mx = 18,1 kNm/m (izotropní deska) do mx = 34,9 kNm/m (ortotropní deska).

Oproti ortotropní desce s obvyklým příčným protažením (νxy = 2,5) se ohybový moment lehce snižuje.

Obr. 08 - Výsledky pro různé hodnoty podle tabulky (nahoře: νxy = 5,44, uprostřed: νxy = 0, dole: νxy = -5,44)

Při νxy = 0 se vysoká hodnota podporové reakce na volném konci desky rozloží do konstatní hodnoty 43 kN/m.

Moment mx se zvýší na 38,1 kNm/m. Ve srovnání s předchozím výsledkem (νxy =5,44) se tu projevuje vliv příčného protažení. Při ν =0 nevzniká žádná deformace ani přetvoření v důsledku příčného protažení.

V případě νxy = -5,44 dochází k porušení na volném konci desky a podporové reakce přecházejí do záporných hodnot. Maximální moment, který dosahuje 59,5 kNm/m, lze pozorovat ve středu desky.

Deska se nyní chová spíše jako deska nosná v jednom směru bez třetí podpory ve svém podélném směru.

Na obr. 01 a zde znázorněných vztazích si můžeme toto chování vysvětlit.

Kvůli vysokému zápornému příčnému protažení (νxy = -5,44) je deska na volném okraji zcela přetížena, a nemůže se proto deformovat.

Vliv ortotropie ve směru y je přitom téměř nulový (Ey ≈ 0).

Shrnutí

Ortotropní materiálový model v programu RFEM umožňuje zadat takřka libovolné parametry materiálů. V důsledku variability příčného protažení můžeme dosáhnout značně odlišných výsledků. Příčné protažení po úpravě hodnot podle [1] vede k hodnotám, které se blíží řešení u prostého nosníku.

Rovnice 31:
${\mathrm M}_\mathrm y\;=\;\frac{\mathrm q\;\mathrm l^2}8\;=\;40\;\mathrm{kNm}$

Příliš vysoká záporná příčná protažení poukazují na upravený statický systém, který již neodpovídá příslušnému modelu.

Literatura

[1] Huber, M. T : The Theory of Crosswise Reinforced Ferroconcrete Slabs and Its Application to Various Important Constructional Problems Involving Rectangular Slabs, Der Bauingenieur 12 (str. 354 - 360) a 13 (str. 392 - 395). 1923

Literatura

[1]   Huber, M. T.: The Theory of Crosswise Reinforced Ferroconcrete Slabs and Its Application to Various Important Constructional Problems Involving Rectangular Slabs, Der Bauingenieur 12, pages 354 - 360, and 13, pages 392 - 395. 1923

Ke stažení

Odkazy

Kontakt

Kontakt

Máte dotazy nebo potřebujete poradit?
Kontaktujte nás nebo využijte stránky s často kladenými dotazy.

+420 227 203 203

info@dlubal.cz

RFEM Hlavní program
RFEM 5.xx

Hlavní program

Program RFEM pro statické výpočty metodou konečných prvků umožňuje rychlé a snadné modelování konstrukcí, které se skládají z prutů, desek, stěn, skořepin a těles. Pro následná posouzení jsou k dispozici přídavné moduly, které zohledňují specifické vlastnosti materiálů a podmínky uvedené v normách.

Cena za první licenci
3 540,00 USD