13223x
001525
27.6.2018

Zákony ortotropních materiálů

U ortotropních materiálů zpravidla již neplatí Hookův zákon, podle něhož $\mathrm u\;=\;\frac{\mathrm E}{2\;\mathrm G}\;\;-\;1\;\leq\;0,5$ a $-1\;<\;\mathrm u\;<\;0,5$.

Následující materiálové parametry se vztahují na dvourozměrnou tuhost a, pokud není uvedeno jinak, na materiál dřevo. Jako základ stanovíme lokální osový systém, který je znázorněn na obr. 01.

  • Ex = tuhost v lokálním směru x plochy
  • Ey = tuhost v lokálním směru y plochy
  • Gxz = tuhost ve smyku v lokálním směru x plochy (směr tloušťky desky)
  • Gyz = tuhost ve smyku v lokálním směru y plochy (směr tloušťky desky)
  • Gxy = tuhost ve smyku v rovině desky
  • νxy = příčné protažení ve směru x
  • νyx = příčné protažení ve směru y

Napětí znázorněná na obr. 02 se vztahují k výše uvedeným tuhostem.

Pro materiálové vlastnosti platí následující pravidla.

Rovnice 1:

Rovnice 2:
${\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;\geqslant\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}$

Rovnice 3:

Rovnice 4 (tuhosti v rovině desky):

Poměr protažení ve výše uvedených rovnicích podtrhuje vztahy na obr. 01.

Tuhosti v rovině desky se vypočítají následovně.

Rovnice 5:

Příčné protažení ν

Jak je již zřejmé z obrázku 01, vlivem měkčích vlastností materiálu v daném směru se mění deformace a napětí v příslušném směru.

Poměr protažení:

Rovnice 6:

Rovnice 7:

Pro ${\mathrm\sigma}_\mathrm x\; eq\;0,\;{\mathrm\sigma}_\mathrm y\;=\;0,\;{\mathrm\sigma}_\mathrm{xy}\;=\;0$ platí podle Hookova zákona následující rovnice.

Rovnice 8:

Rovnice 9:

Rovnice 10:

Rovnice 11:

Rovnice 12:

Rovnice 13:

Matice tuhosti

Výpočet globální matice tuhosti desky

Rovnice 14:

Ohybové složky:

Rovnice 15:
${\mathrm D}_{11}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{11}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm x\;\mathrm d^3}{12\;\left(1\;-\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\right)}$

Rovnice 16:
${\mathrm D}_{12}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{12}\;\widehat{=\;}\mathrm{sgn}\left({\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\right)\;\sqrt{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;{\mathrm D}_{11}\;{\mathrm D}_{22}}$

Rovnice 17:
${\mathrm D}_{22}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{22}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm y\;\mathrm d^3}{12\;\left(1\;-\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\right)}$

Rovnice 18:
${\mathrm D}_{33}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{33}\;\widehat{=\;}{\mathrm G}_\mathrm{xy}\;\frac{\mathrm d^3}{12}$

Membránové složky:

Rovnice 19:
${\mathrm D}_{66}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{11}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm x\;\mathrm d}{1\;-\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}}$

Rovnice 20:
${\mathrm D}_{67}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{12}\;\widehat{=\;}\mathrm{sgn}\left({\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\right)\;\sqrt{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;{\mathrm D}_{66}\;{\mathrm D}_{77}}$

Rovnice 21:
${\mathrm D}_{77}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{22}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm y\;\mathrm d}{1\;-\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}}$

Rovnice 22:
${\mathrm D}_{88}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{33}\;\widehat{=\;}{\mathrm G}_\mathrm{xy}\;\mathrm d$

Smykové složky:

Rovnice 23:

Rovnice 24:

Předpokladem platnosti těchto rovnic je samozřejmě kladná matice tuhosti, tj. všechna vlastní čísla matice jsou kladná.

RFEM proto mimo jiné ověří zadání příčného protažení pomocí následující rovnice.

Rovnice 25:

Příklad

Na následujícím příkladu (obr. 03) si vysvětlíme ortotropní chování materiálu. Porovnáme přitom ortotropní materiál s izotropním materiálem. U ortotropní desky navíc zadáme vysokou tuhost jednou ve směru x a podruhé ve směru y.

Konstrukce:

  • Tloušťka desky 200 mm
  • Materiál C24
  • Ortotropní tuhosti
  • Izotropní tuhosti
  • Rozměry b = 2,0 m, l = 4,0 m
  • Zatížení 20 kN/m²
  • Velikost sítě konečných prvků 50 cm

Podepření konstrukce zamezuje posunu ve svislém směru z. Podporové podmínky ve směru x a y byly zvoleny tak, aby nedocházelo k žádným vynuceným přetvořením.

Výpočet proběhne podle teorie prvního řádu se zohledněním lineárně pružného chování materiálu a příslušných podporových podmínek.

Podle Hookova zákona se pro zadané hodnoty stanoví následující příčné protažení.

Rovnice 26:
$\mathrm\nu\;=\;\left(\sqrt{{\mathrm E}_\mathrm x\;\cdot\;{\mathrm E}_\mathrm y}\right)\;/\;\left(2\;\mathrm G\right)\;-\;1\;=\;6,97$

Takto vysoké příčné protažení není v případě zvoleného materiálového modelu možné. Pomocí rovnic z [1] lze ovšem hodnoty upravit.

Rovnice 27:

Rovnice 28:

Rovnice 29:

Rovnice 30:

Výsledky
Podle očekávání vycházejí největší výsledné deformace, pokud jsou tuhosti orientovány ve směru y (obr. 06). Podporové reakce a moment v izotropní desce jsou znázorněny na obr. 05.

Vzhledem k tomu, že deska s vysokou tuhostí ve směru y (Ey = 1100 kN/cm²) vykazuje v tomto směru vysokou únosnost, jsou tu také reakce vyšší (125,4 kNm ku 58,3 kNm).

Maximální ohybové momenty jsou u ortotropních desek obdobné v případě mx s tuhostí ve směru x a v případě my s vyšší tuhostí ve směru y.

Deska s vysokou tuhostí ve směru y vykazuje maximální ohybový moment my téměř ve svém středu (obr. 07).

Variabilita příčného protažení

Příčné protažení může podle daných vztahů dosahovat maximálních a minimálních hodnot uvedených v tabulce.

líbilo.

líbilo.MaxMin
νxy5,447-5,447
νyx0,183-0,183

První definovaná deska s vysokou tuhostí (Ex = 11 000) se proto zadá s danými vysokými hodnotami příčného protažení. Ostatní tuhosti ovšem u desky zůstávají beze změny.

Na obr. 08 jsou uvedeny výsledky pro rozsah νxy od 5,44 do -5,44 .

V případě νxy = 5,44 reakce kvalitativně odpovídají izotropnímu chování materiálu. Ohybový moment roste od mx = 18,1 kNm/m (izotropní deska) do mx = 34,9 kNm/m (ortotropní deska).

Oproti ortotropní desce s obvyklým příčným protažením (νxy = 2,5) se ohybový moment lehce snižuje.

Při νxy = 0 se vysoká hodnota podporové reakce na volném konci desky rozloží do konstatní hodnoty 43 kN/m.

Moment mx se zvýší na 38,1 kNm/m. Ve srovnání s předchozím výsledkem (νxy =5,44) se tu projevuje vliv příčného protažení. Při ν =0 nevzniká žádná deformace ani přetvoření v důsledku příčného protažení.

V případě νxy = -5,44 dochází k porušení na volném konci desky a podporové reakce přecházejí do záporných hodnot. Maximální moment, který dosahuje 59,5 kNm/m, lze pozorovat ve středu desky.

Deska se nyní chová spíše jako deska nosná v jednom směru bez třetí podpory ve svém podélném směru.

Na obr. 01 a zde znázorněných vztazích si můžeme toto chování vysvětlit.

Kvůli vysokému zápornému příčnému protažení (νxy = -5,44) je deska na volném okraji zcela přetížena, a nemůže se proto deformovat.

Vliv ortotropie ve směru y je přitom téměř nulový (Ey ≈ 0).

Shrnutí

Ortotropní materiálový model v programu RFEM umožňuje zadat takřka libovolné parametry materiálů. V důsledku variability příčného protažení můžeme dosáhnout značně odlišných výsledků. Příčné protažení po úpravě hodnot podle [1] vede k hodnotám, které se blíží řešení u prostého nosníku.

Rovnice 31:

Příliš vysoká záporná příčná protažení poukazují na upravený statický systém, který již neodpovídá příslušnému modelu.


Autor

Ing. Kuhn je zodpovědný za vývoj produktů pro dřevěné konstrukce a poskytuje technickou podporu zákazníkům.

Odkazy
Reference
  1. Huber, M. T : The Theory of Crosswise Reinforced Ferroconcrete Slabs and Its Application to Various Important Constructional Problems Involving Rectangular Slabs, Der Bauingenieur 12, Seiten 354 - 360, und 13, Seiten 392 - 395. 1923
Stahování