16056x

001525

Dipl.-Ing. (FH) Bastian Kuhn, M.Sc.

2018-06-27

Równania materiału ortotropowego

Ortotropowe prawa materiałowe są stosowane wszędzie tam, gdzie materiały są uporządkowane zgodnie z ich obciążeniem. Przykłady obejmują tworzywa sztuczne wzmocnione włóknami, blachy trapezowe, beton zbrojony i drewno.

W przypadku materiałów ortotropowych zazwyczaj uwzględniane jest prawo Hooke'a

ν = \frac{E}{2 G} - 1 \leq 0, 5

Wzór 1

- 1 < ν < 0, 5

Wzór 2

utraciła ważność.

odkształcenie poprzeczne

Poniższe parametry materiałowe odnoszą się do sztywności w dwóch wymiarach oraz, o ile nie zaznaczono inaczej, do materiału drewnianego. Lokalny układ osiowy stanowi podstawę, jak pokazano na rysunku 01.

E_x = sztywność w lokalnym kierunku x powierzchni
E y = sztywność w lokalnym kierunku y powierzchni
G_xz = sztywność na ścinanie w lokalnym kierunku x powierzchni (kierunek grubości płyty)
G_yz = sztywność na ścinanie w lokalnym kierunku y powierzchni (kierunek grubości płyty)
G_xy = sztywność na ścinanie w płaszczyźnie powierzchni
ν_xy = odkształcenie poprzeczne w kierunku x
ν_yx = odkształcenie poprzeczne w kierunku y

Naprężenia na Rysunku 02 są powiązane ze sztywnościami wspomnianymi tutaj.

naprężenia styczne

Prawo materialne podlega następującym regułom.

Równanie 1:

\frac{ν_{yx}}{E_{y}} = \frac{ν_{xy}}{E_{x}}

Wzór 3

Równanie 2:

ν_{xy} ⩾ ν_{yx}

Wzór 4

Równanie 3:

ν_{xy} = - \frac{ε_{y}}{ε_{x}} = \frac{E_{x}}{E_{y}} \cdot ν_{yx}

Wzór 5

Równanie 4 (sztywności w płaszczyźnie):

[\begin{matrix} ε_{x} \\ ε_{y} \\ γ_{xy} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{1}{E_{x}} & - \frac{ν_{xy}}{E_{x}} & 0 \\ - \frac{ν_{xy}}{E_{x}} & \frac{1}{E_{y}} & 0 \\ 0 & 0 & G_{xy} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} σ_{x} \\ σ_{y} \\ τ_{xy} \end{matrix}]

Wzór 6

Stosunek odkształceń w równaniach wymienionych powyżej podkreśla zależności na rysunku 01.

Sztywności w obszarze w płaszczyźnie są obliczane w następujący sposób.

Równanie 5:

d_{i} = [\begin{matrix} d_{11, i} & d_{12, i} & 0 \\ d_{22, i} & 0 \\ sym & d_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{x, i}}{1 - ν_{xy, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & \frac{ν_{xy, i} E_{y, i}}{1 - ν_{xy, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ \frac{E_{y, i}}{1 - ν_{xy, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ sym & G_{xy, i} \end{matrix}]

Wzór 7

Odkształcenie poprzeczne ν

Jak wyjaśniono na rysunku 01, zmodyfikowane odkształcenia i naprężenia w tym kierunku wynikają z bardziej płynnego zachowania materiału w danym kierunku.

Stosunek odkształceń:

Równanie 6:

ν_{xy} = - \frac{ε_{y}}{ε_{x}} \to ε_{y} = - ν_{x} \cdot ε_{x}

Wzór 8

Równanie 7:

ν_{yx} = - \frac{ε_{x}}{ε_{y}} \to ε_{x} = - ν_{y} \cdot ε_{y}

Wzór 9

Jeżeli chcesz zadać krótkie pytanie techniczne,

σ_{x} \neq 0, σ_{y} = 0, σ_{xy} = 0

Wzór 10

poniższe równania dają w rezultacie prawo Hooke'a.

Równanie 8:

ε_{x} = \frac{σ_{x}}{E_{x}}

Wzór 11

Równanie 9:

ε_{y} = \frac{σ_{y}}{E_{y}}

Wzór 12

Równanie 10:

σ_{y} = ε_{y} \cdot E_{y} mit E_{y} = \frac{ν_{yx} \cdot E_{x}}{ν_{xy}} \to σ_{y} = ε_{y} \cdot \frac{ν_{yx} \cdot E_{x}}{ν_{xy}}

Wzór 13

Równanie 11:

\to σ_{y} = ε_{y} \cdot \frac{ν_{yx} \cdot \frac{σ_{x}}{ε_{x}}}{ν_{xy}}

Wzór 14

Równanie 12:

\to ε_{y} = \frac{ε_{y} \cdot \frac{ν_{yx} \cdot \frac{σ_{x}}{ε_{x}}}{ν_{xy}}}{E_{y}} mit ν_{xy} = - \frac{ε_{y}}{ε_{x}}

Wzór 15

Równanie 13:

\to ε_{y} = \frac{ε_{y} \cdot ν_{yx} \cdot σ_{x}}{ε_{x} \cdot (- \frac{ε_{y}}{ε_{x}}) \cdot E_{y}} = - \frac{ν_{yx} \cdot σ_{x}}{E_{y}}

Wzór 16

Macierz sztywności

Obliczanie globalnej macierzy sztywności płyty.

Równanie 14:

D = [\begin{matrix} D_{11} & D_{12} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ D_{22} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ D_{33} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ D_{44} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ D_{55} & 0 & 0 & 0 \\ sym & D_{66} & 0 & 0 \\ D_{77} & 0 \\ D_{88} \end{matrix}]

Wzór 17

Elementy zginane:

Równanie 15:

D_{11} = \frac{d^{3}}{12} \cdot d_{11} \hat{=} \frac{E_{x} d^{3}}{12 (1 - ν_{xy} ν_{yx})}

Wzór 18

Równanie 16:

D_{12} = \frac{d^{3}}{12} \cdot d_{12} \hat{=} sgn (ν_{xy}) \sqrt{ν_{xy} ν_{yx} D_{11} D_{22}}

Wzór 19

Równanie 17:

D_{22} = \frac{d^{3}}{12} \cdot d_{22} \hat{=} \frac{E_{y} d^{3}}{12 (1 - ν_{xy} ν_{yx})}

Wzór 20

Równanie 18:

D_{33} = \frac{d^{3}}{12} \cdot d_{33} \hat{=} G_{xy} \frac{d^{3}}{12}

Wzór 21

Elementy membranowe:

Równanie 19:

D_{66} = d \cdot d_{11} \hat{=} \frac{E_{x} d}{1 - ν_{xy} ν_{yx}}

Wzór 22

Równanie 20:

D_{67} = d \cdot d_{12} \hat{=} sgn (ν_{xy}) \sqrt{ν_{xy} ν_{yx} D_{66} D_{77}}

Wzór 23

Równanie 21:

D_{77} = d \cdot d_{22} \hat{=} \frac{E_{y} d}{1 - ν_{xy} ν_{yx}}

Wzór 24

Równanie 22:

D_{88} = d \cdot d_{33} \hat{=} G_{xy} d

Wzór 25

Składowe ścinania:

Równanie 23:

D_{44} = \frac{5}{6} G_{xz} \cdot d

Wzór 26

Równanie 24:

D_{55} = \frac{5}{6} G_{yz} \cdot d

Wzór 27

Warunkiem wstępnym tych równań jest to, aby macierz sztywności była dodatnio określona, to znaczy, aby wszystkie wartości własne macierzy były dodatnie.

Z tego powodu program RFEM sprawdza między innymi definicję odkształcenia poprzecznego zgodnie z poniższym równaniem.

Równanie 25:

ν_{xy} \leq 0, 999 \cdot \sqrt{\frac{E_{x}}{E_{y}}}

Wzór 28

Przykład

Zachowanie ortotropowego materiału zostanie wyjaśnione na poniższym przykładzie (Rysunek 03). Materiał ortotropowy zostanie porównany z materiałem izotropowym. Ponadto sztywność płyty ortotropowej zostanie zdefiniowana z dużą sztywnością w kierunku x i y.

Układ

Konstrukcja:

Grubość płyty 200 mm
Materiał C 24
Sztywności ortotropowe

$\begin{array}{l} E_{x} = 1.100, 0 kN / {cm}^{2} \\ E_{y} = 37, 0 kN / {cm}^{2} \\ G_{y} = 6, 9 kN / {cm}^{2} \\ G_{x} = 69, 0 kN / {cm}^{2} \\ G_{xy} = 69, 0 kN / {cm}^{2} \\ ν_{xy} = 2, 52 \\ ν_{yx} = 0, 085 \end{array}$

Wzór 29
Sztywności izotropowe

$\begin{array}{l} E = 1.100 kN / {cm}^{2} \\ G = 500 kN / {cm}^{2} \\ ν = 0, 1 \end{array}$

Wzór 30
Wymiar w = 2,0 m, l = 4,0 m
Obciążenie 20 kN/m²
Rozmiar oczka siatki ES 50 cm

Konstrukcja jest podparta jako sztywno zamocowana w kierunku pionowym z. Warunki podparcia w kierunkach x i y dobrano w taki sposób, aby odkształcenia nie występowały.

Obliczenia są przeprowadzane zgodnie z liniową analizą statyczną z liniowo sprężystym zachowaniem materiału i warunkami podparcia.

Poniższe odkształcenie poprzeczne wynika z prawa Hooke'a wraz z podanymi wartościami.

Równanie 26:

ν = (\sqrt{E_{x} \cdot E_{y}}) / (2 G) - 1 = 6, 97

Wzór 31

W przypadku wybranego modelu materiałowego tak duże odkształcenie poprzeczne nie jest możliwe. Za pomocą równań z [1] można jednak dostosować wartości.

Równanie 27:

ν_{xy} \approx (\frac{\sqrt{E_{x} E_{y}}}{2 G_{xy}} - 1) \cdot \sqrt{\frac{E_{x}}{E_{y}}}

Wzór 32

Równanie 28:

ν_{yx} \approx (\frac{\sqrt{E_{x} E_{y}}}{2 G_{xy}} - 1) \cdot \sqrt{\frac{E_{y}}{E_{x}}}

Wzór 33

Równanie 29:

ν_{xy} = (\frac{\sqrt{1.100 \cdot 37}}{2 \cdot 69} - 1) \sqrt{\frac{1.100}{37}} = 2, 52

Wzór 34

Równanie 30:

ν_{xy} = (\frac{\sqrt{1.100 \cdot 37}}{2 \cdot 69} - 1) \sqrt{\frac{37}{1.100}} = 0, 085

Wzór 35

Powierzchnie ze sztywnościami

Wyniki:
Zgodnie z oczekiwaniami, największe odkształcenia występują przy orientacji sztywności w kierunku y (Rysunek 06). Reakcja podpory i moment izotropowej płyty są przedstawione na rysunku 05.

Wyniki materiałów izotropowych

Ponieważ płyta o dużej sztywności w kierunku y (E_y = 1100 kN/cm²) ma dużą nośność w tym kierunku, reakcje podporowe również tam są większe (125,4 kNm w porównaniu z 58,3 kNm).

Odkształcenia i reakcje podporowe płyt ortotropowych

Maksymalne momenty zginające dla płyt ortotropowych są równe m_x dla sztywności w kierunku x oraz dla dużej sztywności m_y w kierunku y.

W przypadku płyty o dużej sztywności w kierunku y maksymalny moment zginający m_y występuje prawie w środku płyty (Rysunek 07).

Biegemomente der orthotropen Platte mx (links) und my (rechts)

Wariacja odkształcenia poprzecznego

Odkształcenie poprzeczne może osiągnąć maksymalne i minimalne wartości podane w tabeli dla materiału o wytrzymałości C24.

	Maks.	Min.
ν_xy	5,447	-5,447
ν_yx	0,183	-0,183

Wprowadzona na początku płyta o dużej sztywności (E_x = 11.000) zostanie w tym celu zdefiniowana z uwzględnieniem tak dużych odkształceń poprzecznych. Pozostałe sztywności płyty pozostają niezmienione.

Rysunek 08 przedstawia wyniki zmiany ν_xy = 5,44 na -5,44.

Dla ν_xy = 5,44 reakcje podporowe są jakościowo identyczne z zachowaniem materiału izotropowego. Moment zginający wzrasta od m_x = 18,1 kNm/m (płyta izotropowa) do m_x = 34,9 kNm/m (płyta ortotropowa).

W porównaniu z płytą ortotropową o powszechnych odkształceniach poprzecznych (ν_xy = 2,5), moment zginający jest nieznacznie zredukowany.

Ergebnisse der Variation gemäß Tabelle (links: νxy = 5,44, środek: νxy = 0, Po prawej: νxy = -5,44)

Przy ν_xy = 0, wysoka amplituda reakcji podporowej na swobodnym końcu płyty przesuwa się do stałej wartości 43 kN/m.

Moment m_x wzrasta do 38,1 kNm/m. W porównaniu z poprzednim wynikiem (ν_xy =5,44), tutaj pokazano wpływ odkształcenia poprzecznego. Dla ν =0 odkształcenie poprzeczne nie powoduje żadnych odkształceń ani odkształceń.

Dla ν_xy = -5,44 uszkodzenie postkrytyczne pojawia się na swobodnym końcu płyty, a reakcje podporowe stają się ujemne. Maksymalny moment w środku płyty wynosi 59,5 kNm/m.

Płyta zachowuje się teraz bardziej niż płyta obciążona jednoosiowo, bez trzeciej podpory w kierunku podłużnym.

Zachowanie to można wytłumaczyć za pomocą rysunku 01 i przedstawionej tam zależności.

Ze względu na duże ujemne odkształcenie poprzeczne (ν_xy = -5,44) płyta jest całkowicie obciążona przy swobodnej krawędzi i nie może być odkształcona.

Wpływ ortotropii w kierunku y jest tutaj prawie zerowy (E_y ≈ 0).

Uwagi końcowe

Za pomocą ortotropowego modelu materiałowego w programie RFEM można zdefiniować prawie dowolne parametry materiałowe. W przypadku zróżnicowania odkształceń poprzecznych możliwe są bardzo różne wyniki. Po modyfikacji wartości zgodnie z [1] dla odkształcenia poprzecznego wartości są zbliżone do rozwiązania dla belki jednoprzęsłowej.

Równanie 31:

M_{y} = \frac{q l^{2}}{8} = 40 kNm

Wzór 36

Zbyt wysokie ujemne odkształcenia poprzeczne wskazują na zmodyfikowany układ konstrukcyjny, który nie odpowiada już modelowi.

Autor

Pan Kuhn jest odpowiedzialny za rozwój produktów do konstrukcji drewnianych i zapewnia wsparcie techniczne dla naszych klientów.

Odnośniki

Analiza nieliniowa

Odniesienia

Huber, M. T : The Theory of Crosswise Reinforced Ferroconcrete Slabs and Its Application to Various Important Constructional Problems Involving Rectangular Slabs, Der Bauingenieur 12, Seiten 354 - 360, und 13, Seiten 392 - 395. 1923

Pobrane

;