Z reguły prawo Hooke'a z $\mathrm\nu\; =\;\frac {\mathrm E} {2\;\mathrm G}\;\; -\; 1\;\leq\; dotyczy materiałów ortotropowych. 0,5 $ i $ -1\; <\;\mathrm\nu\; <\; 0,5 $ jest już nieważne.
Poniższe parametry materiałowe odnoszą się do sztywności w dwóch wymiarach i, o ile nie określono inaczej, do drewna. Zastosowano lokalny układ osi jak na rys. 01.
- Ex = sztywność w lokalnym kierunku x powierzchni
- Ey = sztywność w lokalnym kierunku y powierzchni
- Gxz = sztywność na ścinanie w lokalnym kierunku x powierzchni (kierunek grubości płyty)
- Gyz = sztywność na ścinanie w lokalnym kierunku y powierzchni (kierunek grubości płyty)
- Gxy = sztywność na ścinanie w płaszczyźnie szyby
- νxy = odkształcenie poprzeczne w kierunku x
- νyx = odkształcenie poprzeczne w kierunku y
Naprężenia na rysunku 02 są powiązane z podanymi tutaj sztywnościami.
Prawo materiałowe podlega następującym zasadom.
Równanie 1:
Równanie 2:
${\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;\geqslant\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}$
Równanie 3:
Równanie 4 (sztywności w płaszczyźnie tarczy ESZ):
Stosunek odkształceń w powyższych równaniach podkreśla zależności na rysunku 01.
Sztywności w płaszczyźnie tarczy oblicza się w następujący sposób.
Równanie 5:
Odkształcenie poprzeczne ν
Jak już wyjaśniono na rysunku 01, bardziej miękkie zachowanie materiału w odpowiednim kierunku powoduje zmianę odkształceń i naprężeń w tym kierunku.
Stosunek wydłużeń:
Równanie 6:
Równanie 7:
Dla $ {\mathrm\sigma} _\mathrm x\;\neq\; 0,\; {\mathrm\sigma} _\mathrm y\; =\; 0,\; {\mathrm\sigma} _\mathrm {xy}\; =\; 0 $ poniższe równania wynikają z prawa Hooke'a.
Równanie 8:
Równanie 9:
Równanie 10:
Równanie 11:
Równanie 12:
Równanie 13:
Macierz sztywności
Obliczanie globalnej macierzy sztywności płyty.
Równanie 14:
Części zginane:
Równanie 15:
${\mathrm D}_{11}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{11}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm x\;\mathrm d^3}{12\;\left(1\;-\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\right)}$
Równanie 16:
${\mathrm D}_{12}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{12}\;\widehat{=\;}\mathrm{sgn}\left({\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\right)\;\sqrt{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;{\mathrm D}_{11}\;{\mathrm D}_{22}}$
Równanie 17:
${\mathrm D}_{22}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{22}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm y\;\mathrm d^3}{12\;\left(1\;-\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\right)}$
Równanie 18:
${\mathrm D}_{33}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{33}\;\widehat{=\;}{\mathrm G}_\mathrm{xy}\;\frac{\mathrm d^3}{12}$
Proporcje plasterków:
Równanie 19:
${\mathrm D}_{66}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{11}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm x\;\mathrm d}{1\;-\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}}$
Równanie 20:
${\mathrm D}_{67}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{12}\;\widehat{=\;}\mathrm{sgn}\left({\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\right)\;\sqrt{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;{\mathrm D}_{66}\;{\mathrm D}_{77}}$
Równanie 21:
${\mathrm D}_{77}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{22}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm y\;\mathrm d}{1\;-\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}}$
Równanie 22:
${\mathrm D}_{88}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{33}\;\widehat{=\;}{\mathrm G}_\mathrm{xy}\;\mathrm d$
Proporcje ciągu:
Równanie 23:
Równanie 24:
Warunkiem wstępnym dla tych równań jest oczywiście zawsze dodatnia definicja macierzy sztywności, tzn. wszystkie wartości własne macierzy są dodatnie.
Z tego powodu program RFEM sprawdza między innymi definicję odkształcenia poprzecznego zgodnie z poniższym równaniem.
Równanie 25:
Przykład
Poniższy przykład (rys. 03) wyjaśnia ortotropowe zachowanie materiału. W tym celu materiał ortotropowy zostaje skontrastowany z materiałem izotropowym. Ponadto sztywność płyty ortotropowej definiowana jest raz przy dużej sztywności w kierunku x, a raz w kierunku y.
Konstrukcja:
- Grubość płyty 200 mm
- Materiał C24
- Sztywności ortotropowe
- Sztywności izotropowe
- Wymiar w = 2,0 m, l = 4,0 m
- Obciążenie 20 kN/m²
- Rozmiar oczka siatki FE 50 cm
Układ jest nieruchomy w kierunku pionowym Z. Warunki podparcia w kierunkach x i y zostały dobrane w taki sposób, aby nie powstały wiązania.
Obliczenia przeprowadzono zgodnie z teorią pierwszego rzędu z uwzględnieniem liniowo sprężystego zachowania materiału i warunków przechowywania.
Prawo Hooke'a daje następujące odkształcenie poprzeczne o podanych wartościach.
Równanie 26:
$\mathrm\nu\;=\;\left(\sqrt{{\mathrm E}_\mathrm x\;\cdot\;{\mathrm E}_\mathrm y}\right)\;/\;\left(2\;\mathrm G\right)\;-\;1\;=\;6,97$
To duże odkształcenie poprzeczne nie jest możliwe w przypadku wybranego modelu materiałowego. Jednak wartości można dostosować za pomocą równań z [1].
Równanie 27:
Równanie 28:
Równanie 29:
Równanie 30:
Wyniki
Zgodnie z oczekiwaniami, największe odkształcenia wynikają z orientacji sztywności w kierunku y (rys. 06). Reakcja podporowa i moment płyty izotropowej pokazano na rysunku 05.
Ponieważ płyta o dużej sztywności w kierunku y (Ey = 1100 kN/cm²) ma dużą nośność w tym kierunku, reakcje podporowe również są tam większe (125,4 kNm do 58,3 kNm).
Maksymalne momenty zginające dla płyt ortotropowych są analogiczne dla mx dla sztywności w kierunku x oraz dla my dla dużej sztywności w kierunku y.
W przypadku płyty o dużej sztywności w kierunku y maksymalny moment zginający my występuje prawie pośrodku płyty (rys. 07).
Zmienność odkształcenia poprzecznego
Rozszerzenie poprzeczne zgodnie z zależnościami na wydłużenie może osiągnąć wartości maksymalne i minimalne podane w tabeli.
Maks. | Min. | |
---|---|---|
νxy | 5,447 | -5.447 |
νyx | 0,183 | -0,183 |
Płyta wprowadzona na początku o dużej sztywności (Ex = 11.000) jest zdefiniowana w tym celu przy tych dużych odkształceniach poprzecznych. Pozostałe sztywności płyty pozostają jednak niezmienione.
Rysunek 08 przedstawia wyniki zmiany od νxy = 5,44 do -5,44.
Dla νxy = 5,44 reakcje podporowe są jakościowo identyczne z izotropowym zachowaniem materiału. Moment zginający wzrasta od mx = 18,1 kNm/m (płyta izotropowa) do mx = 34,9 kNm/m (płyta ortotropowa).
W porównaniu z płytą ortotropową o częstszych odkształceniach poprzecznych (νxy = 2,5), moment zginający jest nieco mniejszy.
Gdy νxy = 0, duże ugięcie reakcji podpory na swobodnym końcu płyty przesuwa się do stałej wartości 43 kN/m.
Moment mx wzrasta do 38,1 kNm/m. W porównaniu z poprzednim wynikiem (νxy = 5,44) widoczny staje się wpływ odkształcenia poprzecznego. Dla ν = 0 nie powstaje odkształcenie ani odkształcenie spowodowane odkształceniem poprzecznym.
Dla νxy = -5,44 następuje przebicie na swobodnym końcu płyty i reakcje podporowe stają się ujemne. Maksymalny moment obrotowy w środku płyty wynosi 59,5 kNm/m.
Płyta zachowuje się teraz bardziej jak płyta rozciągana jednokierunkowo bez trzeciego łożyska w kierunku podłużnym.
To zachowanie można wyjaśnić na podstawie rys. 01 i przedstawionych tam zależności.
Ze względu na duże ujemne odkształcenie poprzeczne (νxy = -5,44), płyta jest całkowicie zatłoczona na swobodnej krawędzi i dlatego nie może się tu odkształcić.
Wpływ ortotropii w kierunku y jest bliski zeru (Ey ≈ 0).
Podsumowanie
Dzięki ortotropowemu modelowi materiału w programie RFEM możliwe jest prawie dowolne zdefiniowanie parametrów materiału. Wykorzystując zmienność odkształceń poprzecznych, można uzyskać bardzo różne wyniki. Odkształcenie poprzeczne po zmodyfikowaniu wartości zgodnie z [1] daje wartości zbliżone do rozwiązania dla belki jednoprzęsłowej.
Równanie 31:
Nadmiernie duże ujemne odkształcenia poprzeczne reprezentują zmodyfikowany układ konstrukcyjny, który nie odpowiada już modelowaniu.