Leis sobre materiais ortotrópicos

Lei de Hooke com $\mathrm\nu\; =\;\frac {\mathrm E} {2\;\mathrm G}\;\;-\; 1\;\leq\; 0,5 $ e $ -1\; <\;\mathrm\nu\; <\; 0,5 $ geralmente não é válido para materiais ortotrópicos.

deformação transversal

Os seguintes parâmetros de material referem-se à rigidez bidimensional e, salvo indicação em contrário, ao material de madeira. A base é um sistema de eixos local, conforme apresentado na Figura 01.

• E_x = rigidez na direção x local da superfície
• E y = rigidez na direção y local da superfície
• G_xz = rigidez ao corte na direção x local da superfície (direção da espessura da placa)
• G_yz = rigidez ao corte na direção y local da superfície (direção da espessura da placa)
• G_xy = rigidez de corte no plano do painel
• ν_xy = deformação transversal na direção x
• ν_yx = deformação transversal na direção y

As tensões na Figura 02 estão relacionadas com a rigidez mencionada aqui.

tensões de corte

A lei dos materiais está sujeita às seguintes regras.

Equação 1:

Equação 2:
${\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;\geqslant\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}$

Equação 3:

Equação 4 (rigidez no painel ESC):

A relação das deformações nas equações acima sublinha as relações na Figura 01.

Die Steifigkeiten in Scheibenebene berechnen sich wie folgt.

Gleichung 5:

Deformação transversal ν

Como já explicado na Figura 01, o comportamento mais suave do material na respetiva direção resulta em deformações e tensões alteradas nessa direção.

Relação de deformações:

Equação 6:

Equação 7:

Para $ {\ mathrm \ sigma} _ \ mathrm x \; \ neq \; 0, \; {\ mathrm \ sigma} _ \ mathrm y \; = \; 0, \; {\ mathrm \ sigma} _ \ mathrm {xy} \; = \; 0 $, são dadas as seguintes equações com a lei de Hooke.

Equação 8:

Equação 9:

Equação 10:

Equação 11:

Equação 12:

Equação 13:

Matriz de rigidez

Cálculo da matriz de rigidez global da laje.

Equação 14:

Componentes de flexão:

Equação 15:
${\mathrm D}_{11}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{11}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm x\;\mathrm d^3}{12\;\left(1\;-\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\right)}$

Equação 16:
${\mathrm D}_{12}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{12}\;\widehat{=\;}\mathrm{sgn}\left({\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\right)\;\sqrt{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;{\mathrm D}_{11}\;{\mathrm D}_{22}}$

Equação 17:
${\mathrm D}_{22}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{22}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm y\;\mathrm d^3}{12\;\left(1\;-\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\right)}$

Equação 18:
${\mathrm D}_{33}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{33}\;\widehat{=\;}{\mathrm G}_\mathrm{xy}\;\frac{\mathrm d^3}{12}$

Componentes do disco:

Equação 19:
${\mathrm D}_{66}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{11}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm x\;\mathrm d}{1\;-\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}}$

Equação 20:
${\mathrm D}_{67}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{12}\;\widehat{=\;}\mathrm{sgn}\left({\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\right)\;\sqrt{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;{\mathrm D}_{66}\;{\mathrm D}_{77}}$

Equação 21:
${\mathrm D}_{77}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{22}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm y\;\mathrm d}{1\;-\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}}$

Equação 22:
${\mathrm D}_{88}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{33}\;\widehat{=\;}{\mathrm G}_\mathrm{xy}\;\mathrm d$

Componentes de corte:

Equação 23:

Equação 24:

O pré-requisito para estas equações é, obviamente, sempre que a matriz de rigidez é definida positivamente, ou seja, todos os valores próprios da matriz são positivos.

Por este motivo, o RFEM verifica, entre outras coisas, a definição da deformação transversal de acordo com a seguinte equação.

Equação 25:

Exemplo

O comportamento do material ortotrópico será explicado com o seguinte exemplo (Figura 03). Para este efeito, é comparado um material ortotrópico com um material isotrópico. Além disso, a rigidez da placa ortotrópica será definida com a alta rigidez na direção xe na direção y.

• Visualizador 3D | Google
• Visualizador 3D | Babylon
• Realidade virtual

Sistema

Sistema:

• Espessura da placa 200 mm
• Material C24
• Rigidez ortotrópica
  
  $\begin{array}{l}{\mathrm{E}}_{\mathrm{x}} = 1.100,0 \mathrm{kN}/{\mathrm{cm}}^2\\ {\mathrm{E}}_{\mathrm{y}} = 37,0 \mathrm{kN}/{\mathrm{cm}}^2\\ {\mathrm{G}}_{\mathrm{y}} = 6,9 \mathrm{kN}/{\mathrm{cm}}^2\\ {\mathrm{G}}_{\mathrm{x}} = 69,0 \mathrm{kN}/{\mathrm{cm}}^2\\ {\mathrm{G}}_{\mathrm{xy}} = 69,0 \mathrm{kN}/{\mathrm{cm}}^2\\ {\mathrm{\nu }}_{\mathrm{xy}} = 2,52\\ {\mathrm{\nu }}_{\mathrm{yx}} = 0,085\end{array}$

  Fórmula 29
• Rigidez isotrópica
  
  $\begin{array}{l}\mathrm{E} = 1.100 \mathrm{kN}/{\mathrm{cm}}^2\\ \mathrm{G} = 500 \mathrm{kN}/{\mathrm{cm}}^2\\ \mathrm{\nu } = 0,1\end{array}$

  Fórmula 30
• Dimensão b = 2,0 m, l = 4,0 m
• Carga 20 kN/m²
• Tamanho da malha de EF 50 cm

A estrutura é suportada de forma rígida na direção z vertical. As condições de apoio nas direções x e y foram selecionadas de tal forma que não ocorrem efeitos devido à restrição.

O cálculo é realizado de acordo com a análise estática linear com comportamento linear do material elástico e condições de apoio.

A seguinte deformação transversal resulta da lei de Hooke, juntamente com os valores dados.

Equação 26:
$\mathrm\nu\;=\;\left(\sqrt{{\mathrm E}_\mathrm x\;\cdot\;{\mathrm E}_\mathrm y}\right)\;/\;\left(2\;\mathrm G\right)\;-\;1\;=\;6,97$

Esta alta deformação transversal é impossível com o modelo de material selecionado. Com as equações de [1] , os valores podem, no entanto, ser ajustados.

Equação 27:

Equação 28:

Equação 29:

Equação 30:

• Visualizador 3D | Google
• Visualizador 3D | Babylon
• Realidade virtual

Superfícies com rigidez

Dados de saída
Como esperado, as maiores deformações ocorrem com a orientação das rigidezes na direção y (Figura 06). A reação de apoio e o momento da placa isotrópica são apresentados na Figura 05.

• Visualizador 3D | Google
• Visualizador 3D | Babylon
• Realidade virtual

Resultados de material isotrópico

Como a placa com alta rigidez na direção y (E_y = 1.100 kN/cm²) tem alta resistência nesta direção, as reações de apoio também são maiores (125,4 kNm em comparação com 58,3 kNm).

• Visualizador 3D | Google
• Visualizador 3D | Babylon
• Realidade virtual

Deformações e reações de apoio de placas ortotrópicas

Os momentos fletores máximos resultantes para as placas ortotrópicas são iguais a m_x com a rigidez na direção x e para m_y com uma alta rigidez na direção y.

Para a placa com alta rigidez na direção y, o momento fletor máximo m_y está quase no centro da placa (Figura 07).

Biegemomente der orthotropen Platte mx (links) und my (rechts)

Variação da deformação transversal

A deformação transversal de acordo com as relações de deformação pode atingir os valores máximo e mínimo listados na tabela.

A placa com a alta rigidez (E_x = 11.000) introduzida no início é definida com estas deformações transversais elevadas. No entanto, as outras rigidez da placa permanecem inalteradas.

A Figura 08 mostra os resultados da variação de ν_xy = 5,44 a -5,44.

Para ν_xy = 5,44, as reações de apoio são qualitativamente idênticas ao comportamento do material isotrópico. O momento fletor aumenta de m_x = 18,1 kNm/m (placa isotrópica) para m_x = 34,9 kNm/m (placa ortotrópica).

Comparado com a placa ortotrópica com as deformações transversais mais comuns (ν_xy = 2,5), o momento fletor é ligeiramente reduzido.

Ergebnisse der Variation gemäß Tabelle (links: νxy = 5,44, meio: νxy = 0, direita: νxy = -5,44)

Com ν_xy = 0, a alta deflexão da reação de apoio na extremidade livre da placa muda para um valor constante de 43 kN/m.

O momento m_x aumenta para 38,1 kNm/m. Comparativamente ao resultado anterior (ν_xy = 5,44), é apresentada a influência da deformação transversal. Para ν = 0, nenhuma deformação ou distorção é causada devido à deformação transversal.

Para ν_xy = -5,44, existe uma avaria na extremidade da placa livre e as reações de apoio tornam-se negativas. O momento máximo resulta no meio da placa com 59,5 kNm/m.

A placa agora se comporta mais do que uma placa tensionada uniaxial sem o terceiro apoio na direção longitudinal.

Este comportamento pode ser explicado através da Figura 01 e das relações aí listadas.

Devido à alta deformação transversal negativa (ν_xy = -5,44), a placa está completamente sobreprimida na borda livre e não pode, portanto, ser deformada.

A influência da ortotropia na direção y é quase zero aqui (E_y ≈ 0).

Resumo

Quase todos os parâmetros de material podem ser definidos com o modelo de material ortotrópico no RFEM. São possíveis resultados muito diferentes com a variação das deformações transversais. Uma deformação transversal após a modificação dos valores de acordo com [1] resulta em valores próximos da solução para uma viga de vão único.

Equação 31:

As deformações transversais negativas excessivamente altas mostram um sistema estrutural alterado que já não corresponde à modelação.