Leyes de los materiales ortótropos

Generalmente, la ley de Hooke con $\mathrm\nu\;=\;\frac{\mathrm E}{2\;\mathrm G}\;\;-\;1\;\leq\;0,5$ y $-1\;<\;\mathrm\nu\;<\;0,5$ ya no es válida para los materiales ortótropos.

deformación transversal

Los siguientes parámetros del material se refieren a la rigidez bidimensional y, salvo que se indique lo contrario, a la madera del material. La base es un sistema de ejes local, como se muestra en la figura 01.

• E_x = rigidez en la dirección local x de la superficie
• Ey = rigidez en la dirección local y de la superficie
• G_xz = rigidez a cortante en la dirección local x de la superficie (dirección de la rigidez de la chapa)
• G_yz = rigidez a cortante en la dirección local y de la superficie (dirección de la rigidez de la chapa)
• G_xy = rigidez a cortante en el área de la chapa
• ν_xy = deformación transversal en la dirección x
• ν_yx = deformación transversal en la dirección y

Las tensiones en la figura 02 están relacionadas con las rigideces aquí mencionadas.

Tensiones tangenciales

Esta ley del material está sujeta a las siguientes reglas.

Ecuación 1:

Ecuación 2:
${\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;\geqslant\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}$

Ecuación 3:

Ecuación 4 (rigidez en el área de la chapa)

En las ecuaciones mencionadas anteriormente, la relación de las deformaciones subrayan las relaciones en la figura 01.

La rigidez en el área de la chapa se calcula como sigue.

Ecuación 5:

Deformación transversal v

Como se ha explicado en la figura 01, las deformaciones y tensiones modificadas en esta dirección se obtienen desde el comportamiento más suave del material en la dirección respectiva.

Razón de las deformaciones:

Ecuación 6:

Ecuación 7:

Para ${\mathrm\sigma}_\mathrm x\;\neq\;0,\;{\mathrm\sigma}_\mathrm y\;=\;0,\;{\mathrm\sigma}_\mathrm{xy}\;=\;0$ las siguientes ecuaciones se dan con la ley de Hooke.

Ecuación 8:

Ecuación 9:

Ecuación 10:

Ecuación 11:

Ecuación 12:

Ecuación 13:

Matriz de rigidez

Cálculo de la matriz de rigidez global de la chapa.

Ecuación 14:

Componentes de flexión:

Ecuación 15:
${\mathrm D}_{11}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{11}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm x\;\mathrm d^3}{12\;\left(1\;-\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\right)}$

Ecuación 16:
${\mathrm D}_{12}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{12}\;\widehat{=\;}\mathrm{sgn}\left({\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\right)\;\sqrt{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;{\mathrm D}_{11}\;{\mathrm D}_{22}}$

Ecuación 17:
${\mathrm D}_{22}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{22}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm y\;\mathrm d^3}{12\;\left(1\;-\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\right)}$

Ecuación 18:
${\mathrm D}_{33}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{33}\;\widehat{=\;}{\mathrm G}_\mathrm{xy}\;\frac{\mathrm d^3}{12}$

Componentes de la membrana:

Ecuación 19:
${\mathrm D}_{66}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{11}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm x\;\mathrm d}{1\;-\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}}$

Ecuación 20:
${\mathrm D}_{67}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{12}\;\widehat{=\;}\mathrm{sgn}\left({\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\right)\;\sqrt{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;{\mathrm D}_{66}\;{\mathrm D}_{77}}$

Ecuación 21:
${\mathrm D}_{77}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{22}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm y\;\mathrm d}{1\;-\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}}$

Ecuación 22:
${\mathrm D}_{88}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{33}\;\widehat{=\;}{\mathrm G}_\mathrm{xy}\;\mathrm d$

Componentes de cortante:

Ecuación 23:

Ecuación 24:

Como requisito previo, la matriz de rigidez se define positiva, de forma que todos los valores propios de la matriz son positivos.

Por esta razón RFEM comprueba, entre otras, la definición de la deformación transversal según la siguiente ecuación.

Ecuación 25:

Ejemplo

Con el siguiente ejemplo (figura 03), se explica el comportamiento del material ortótropo. Se va a comparar un material ortótropo con un material isótropo. Además, la rigidez de la chapa ortótropa se definirá con la rigidez elevada en la dirección x y también en la dirección y.

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Sistema

Estructura:

• Espesor de la chapa 200 mm
• Material C 24
• Rigidez ortótropa
  
  $\begin{array}{l}{\mathrm{E}}_{\mathrm{x}} = 1.100,0 \mathrm{kN}/{\mathrm{cm}}^2\\ {\mathrm{E}}_{\mathrm{y}} = 37,0 \mathrm{kN}/{\mathrm{cm}}^2\\ {\mathrm{G}}_{\mathrm{y}} = 6,9 \mathrm{kN}/{\mathrm{cm}}^2\\ {\mathrm{G}}_{\mathrm{x}} = 69,0 \mathrm{kN}/{\mathrm{cm}}^2\\ {\mathrm{G}}_{\mathrm{xy}} = 69,0 \mathrm{kN}/{\mathrm{cm}}^2\\ {\mathrm{\nu }}_{\mathrm{xy}} = 2,52\\ {\mathrm{\nu }}_{\mathrm{yx}} = 0,085\end{array}$

  Fórmula 29
• Rigidez isótropa
  
  $\begin{array}{l}\mathrm{E} = 1.100 \mathrm{kN}/{\mathrm{cm}}^2\\ \mathrm{G} = 500 \mathrm{kN}/{\mathrm{cm}}^2\\ \mathrm{\nu } = 0,1\end{array}$

  Fórmula 30
• Dimensión 2 = 2,0 m, l = 4,0 m
• Carga 20 kN/m²
• Tamaño de la malla de EF 50 cm

Los apoyos de la estructura se definen como empotrados en la dirección vertical z. Las condiciones de los apoyos en las direcciones x e y se deben seleccionar de tal manera que no se den efectos debidos a la coacciones.

El cálculo se realiza según el análisis estático lineal con el comportamiento elástico lineal del material y las condiciones del apoyo.

La siguiente deformación transversal se obtiene de la ley de Hooke, junto con los valores dados.

Ecuación 26:
$\mathrm\nu\;=\;\left(\sqrt{{\mathrm E}_\mathrm x\;\cdot\;{\mathrm E}_\mathrm y}\right)\;/\;\left(2\;\mathrm G\right)\;-\;1\;=\;6,97$

Con el modelo de material seleccionado, no se puede lograr esta deformación transversal elevada. Con las ecuaciones de [1], sin embargo, se pueden ajustar los valores.

Ecuación 27:

Ecuación 28:

Ecuación 29:

Ecuación 30:

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Superficies con rigideces

Resultados
Como se esperaba, las mayores deformaciones se dan en la orientación de la rigidez en la dirección y (figura 06). La reacción en el apoyo y el momento de la chapa isótropa se muestran en la figura 05.

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Resultados del material isótropo

Desde que la chapa con la rigidez elevada en la dirección y (E_y = 1 100 kN/cm²) tiene la mayor resistencia en esta dirección, las reacciones en los apoyos también son mayores ahí (125,4 kNm comparado con 58,3 kNm).

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Deformaciones y reacciones en los apoyos de las chapas ortótropas

Los máximos momentos flectores resultantes de las chapas ortótropas son iguales a m_x con la rigidez en la dirección x y para m_y con la mayor rigidez en la dirección y.

Para la chapa con la mayor rigidez en la dirección y, el mayor momento flector m_y está casi en el centro de la chapa (figura 07).

Biegemomente der orthotropen Platte mx (links) und my (rechts)

Variación de la deformación transversal

La deformación transversal según los diagramas de deformación puede alcanzar los valores máximos y mínimos enumerados en la tabla.

Para este propósito, la chapa introducida al principio con la alta rigidez (E_x = 11 000) se va a definir con estas deformaciones transversales altas. Las otras rigideces de la chapa, sin embargo, permanecen sin cambios.

La figura 08 muestra los resultados de la variación de ν_xy = 5,44 a -5.44.

Para ν _xy = 5,44, las reacciones de los apoyos son cualitativamente idénticas al comportamiento del material isótropo. El momento flector aumenta desde m_x 0 18,1 kNm/m (chapa isótropa) a m_x = 34,9 kNm/m (chapa ortótropa).

Comparado con la chapa ortótropa con deformaciones transversales comunes (ν_xy = 2,5), el momento flector está ligeramente reducido.

Ergebnisse der Variation gemäß Tabelle (links: νxy = 5,44, medio: νxy = 0, Derecha: νxy = -5,44)

Con ν_xy = 0, la amplitud elevada de la reacción en el apoyo en el final libre de la chapa ha cambiado a un valor constante de 43 kN/m.

El momento m_x aumenta hasta 38,1 kNm/m. Comparado con el resultado previo (v_xy = 5,44), aquí se muestra la influencia de la deformación transversal. Para ν = 0, no se produce deformación o distorsión debida a la deformación transversal.

Para ν _xy = -5,44, se muestra una rotura postcrítica en el extremo libre de la chapa y las reacciones de soporte se vuelven negativas. El momento máximo se produce en el centro de la chapa con 59,5 kNm/m.

Ahora, la chapa se comporta más como una chapa tensada de forma uniaxial sin el tercer apoyo en su dirección longitudinal.

Este comportamiento se puede explicar con la figura 01 y la relación ahí numerada.

Debido a la deformación transversal negativa elevada (ν_xy = -5,44), la chapa está sometida completamente a una sobrepresión en el extremo libre y, por lo tanto, no se puede deformar.

Aquí, la influencia de la ortotropía en la dirección y es casi nula (E_y ≈ 0).

Resumen

Con el modelo del material ortótropo en RFEM, se puede definir casi cualquier parámetro del material. Con la variación de las deformaciones transversales, es posible obtener resultados muy diferentes. Una deformación transversal, después de la modificación de los valores según [1], da como resultado valores próximos a la solución para una viga de vano simple.

Ecuación 31:

Una deformación transversal negativa elevada muestra un sistema estructural modificado que no se corresponde más al modelo.