Lois de matériau orthotrope

Article technique

Les lois de matériau orthotrope sont utilisées dès lors que les matériaux sont disposés en fonction de leur chargement. Nous pouvons citer comme exemple les plastique renforcé de fibres, les tôles trapézoïdales, le béton armé ou encore le bois.

La loi de Hooke, avec $\mathrm u\;=\;\frac{\mathrm E}{2\;\mathrm G}\;\;-\;1\;\leq\;0.5$ and $-1\;<\;\mathrm u\;<\;0.5$ n’est en général pas valide pour les matériaux orthotropes.

Figure 04 - Surfaces et rigidités

Les paramètres de matériau suivants sont relatifs à des rigidités bidirectionnelles et, à moins que le contraire ne soit précisé, de matériau bois. Comme affiché dans la Figure 01, nous utilisons un système d’axe local.

  • Ex = rigidité dans la direction x locale de la surface
  • Ey = rigidité dans la direction y locale de la surface
  • Gxz = rigidité de cisaillement dans la direction x locale de la surface (direction d’épaisseur de la plaque)
  • Gyz = rigidité de cisaillement dans la direction y locale de la surface (direction d’épaisseur de la plaque)
  • Gxy = rigidité de cisaillement dans la zone dans le plan
  • νxy = déformation transversale dans la direction x
  • νyx = déformation transversale dans la direction y

Les contraintes dans la Figure 02 sont relatives aux rigidités mentionnées ici.

Figure 02 - Contraintes de cisaillement

La loi de matériau est sujette aux règles suivantes.

Équation 1:
$\frac{{\mathrm u}_\mathrm{yx}}{{\mathrm E}_\mathrm y}\;=\;\frac{{\mathrm u}_\mathrm{xy}}{{\mathrm E}_\mathrm x}$

Équation 2:
${\mathrm u}_\mathrm{xy}\;\geqslant\;{\mathrm u}_\mathrm{yx}$

Équation 3:
${\mathrm u}_\mathrm{xy}\;=\;-\frac{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y}{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x}\;=\;\frac{{\mathrm E}_\mathrm x}{{\mathrm E}_\mathrm y}\;\cdot\;{\mathrm u}_\mathrm{yx}$

Équation 4 (rigidités dans la zone du plan):
$\begin{bmatrix}{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x\\{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\\{\mathrm\gamma}_\mathrm{xy}\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}\frac1{{\mathrm E}_\mathrm x}&-\;\frac{{\mathrm u}_\mathrm{xy}}{{\mathrm E}_\mathrm x}&0\\-\;\frac{{\mathrm u}_\mathrm{xy}}{{\mathrm E}_\mathrm x}&\frac1{{\mathrm E}_\mathrm y}&0\\0&0&{\mathrm G}_\mathrm{xy}\end{bmatrix}\;\cdot\;\begin{bmatrix}{\mathrm\sigma}_\mathrm x\\{\mathrm\sigma}_\mathrm y\\{\mathrm\tau}_\mathrm{xy}\end{bmatrix}$

Le ratio de déformations dans les équations ci-dessus souligne les relations dans la Figure 01.

Les rigidités dans la zone dans le plan sont calculées comme suit.

Équation 5:
${\mathrm d}_\mathrm i=\begin{bmatrix}{\mathrm d}_{11,\mathrm i}&{\mathrm d}_{12,\mathrm i}&0\\&{\mathrm d}_{22,\mathrm i}&0\\\mathrm{sym}&&{\mathrm d}_{33,\mathrm i}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{{\mathrm E}_{\mathrm x,\mathrm i}}{1\;-\;\mathrm u_{\mathrm{xy},\mathrm i}^2\;\frac{{\mathrm E}_{\mathrm y,\mathrm i}}{{\mathrm E}_{\mathrm x,\mathrm i}}}&\frac{{\mathrm u}_{\mathrm{xy},\mathrm i}\;{\mathrm E}_{\mathrm y,\mathrm i}}{1\;-\;\mathrm u_{\mathrm{xy},\mathrm i}^2\;\frac{{\mathrm E}_{\mathrm y,\mathrm i}}{{\mathrm E}_{\mathrm x,\mathrm i}}}&0\\&\frac{{\mathrm E}_{\mathrm y,\mathrm i}}{1\;-\;\mathrm u_{\mathrm{xy},\mathrm i}^2\;\frac{{\mathrm E}_{\mathrm y,\mathrm i}}{{\mathrm E}_{\mathrm x,\mathrm i}}}&0\\\mathrm{sym}&&{\mathrm G}_{\mathrm{xy},\mathrm i}\end{bmatrix}$

Déformation transversale v

Comme expliqué dans la Figure 01, les déformations etcontraintes modifiées dans cette direction résultent d’un comportement dematériau lissé dans la direction respective.

Ratio des déformations :

Équation 6:
${\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;=\;-\frac{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y}{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x}\;\rightarrow\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;=\;-{\mathrm\nu}_\mathrm x\;\cdot\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x$

Équation 7:
${\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;=\;-\frac{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x}{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y}\;\rightarrow\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x\;=\;-{\mathrm\nu}_\mathrm y\;\cdot\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y$

Pour ${\mathrm\sigma}_\mathrm x\; eq\;0,\;{\mathrm\sigma}_\mathrm y\;=\;0,\;{\mathrm\sigma}_\mathrm{xy}\;=\;0$, les équations suivantes sont données avec la loi de Hooke.

Équation 8:
${\mathrm\varepsilon}_\mathrm x\;=\;\frac{{\mathrm\sigma}_\mathrm x}{{\mathrm E}_\mathrm x}$

Équation 9:
${\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;=\;\frac{{\mathrm\sigma}_\mathrm y}{{\mathrm E}_\mathrm y}$

Équation 10:
${\mathrm\sigma}_\mathrm y\;=\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;\cdot\;{\mathrm E}_\mathrm y\;\mathrm{with}\;{\mathrm E}_\mathrm y\;=\;\frac{{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;\cdot\;{\mathrm E}_\mathrm x}{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}}\;\hspace{5mm}\rightarrow\;\hspace{5mm}{\mathrm\sigma}_\mathrm y\;=\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;\cdot\;\frac{{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;\cdot\;{\mathrm E}_\mathrm x}{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}}$

Équation 11:
$\rightarrow\;{\mathrm\sigma}_\mathrm y\;=\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;\cdot\;\frac{{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm\sigma}_\mathrm x}{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x}}}{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}}$

Équation 12:
$\rightarrow\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;=\;\frac{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;\cdot\;{\displaystyle\frac{{\mathrm\sigma}_\mathrm x}{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x}}}{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}}}}{{\mathrm E}_\mathrm y}\;\mathrm{with}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;=\;-\frac{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y}{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x}$

Équation 13:
$\rightarrow\;{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;=\;\frac{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y\;\cdot\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;\cdot\;{\mathrm\sigma}_\mathrm x}{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x\;\cdot\;\left(-{\displaystyle\frac{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm y}{{\mathrm\varepsilon}_\mathrm x}}\right)\;\cdot\;{\mathrm E}_\mathrm y}\;=\;-\frac{{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;\cdot\;{\mathrm\sigma}_\mathrm x}{{\mathrm E}_\mathrm y}$

Matrice de rigidité

Calcul de la matrice de rigidité globale de la plaque.

Équation 14:
$\mathrm D\;=\;\begin{bmatrix}{\mathrm D}_{11}&{\mathrm D}_{12}&0&0&0&0&0&0\\&{\mathrm D}_{22}&0&0&0&0&0&0\\&&{\mathrm D}_{33}&0&0&0&0&0\\&&&{\mathrm D}_{44}&0&0&0&0\\&&&&{\mathrm D}_{55}&0&0&0\\&\mathrm{sym}&&&&{\mathrm D}_{66}&0&0\\&&&&&&{\mathrm D}_{77}&0\\&&&&&&&{\mathrm D}_{88}\end{bmatrix}$

Composants du fléchissement:

Équation 15:
${\mathrm D}_{11}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{11}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm x\;\mathrm d^3}{12\;\left(1\;-\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\right)}$

Équation 16:
${\mathrm D}_{12}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{12}\;\widehat{=\;}\mathrm{sgn}\left({\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\right)\;\sqrt{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;{\mathrm D}_{11}\;{\mathrm D}_{22}}$

Équation 17:
${\mathrm D}_{22}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{22}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm y\;\mathrm d^3}{12\;\left(1\;-\;{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\right)}$

Équation 18:
${\mathrm D}_{33}\;=\;\frac{\mathrm d^3}{12}\;\cdot\;{\mathrm d}_{33}\;\widehat{=\;}{\mathrm G}_\mathrm{xy}\;\frac{\mathrm d^3}{12}$

Composants de membrane:

Équation 19:
${\mathrm D}_{66}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{11}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm x\;\mathrm d}{1\;-\;{\mathrm u}_\mathrm{xy}\;{\mathrm u}_\mathrm{yx}}$

Équation 20:
${\mathrm D}_{67}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{12}\;\widehat{=\;}\mathrm{sgn}\left({\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\right)\;\sqrt{{\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;{\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;{\mathrm D}_{66}\;{\mathrm D}_{77}}$

Équation 21:
${\mathrm D}_{77}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{22}\;\widehat{=\;}\frac{{\mathrm E}_\mathrm y\;\mathrm d}{1\;-\;{\mathrm u}_\mathrm{xy}\;{\mathrm u}_\mathrm{yx}}$

Équation 22:
${\mathrm D}_{88}\;=\;\mathrm d\;\cdot\;{\mathrm d}_{33}\;\widehat{=\;}{\mathrm G}_\mathrm{xy}\;\mathrm d$

Composants du cisaillement:

Équation 23:
${\mathrm D}_{44}\;=\;\frac56\;{\mathrm G}_\mathrm{xz}\;\cdot\;\mathrm d$

Équation 24:
${\mathrm D}_{55}\;=\;\frac56\;{\mathrm G}_\mathrm{yz}\;\cdot\;\mathrm d$

La matrice de rigidité doit être définie positive pour ces équations, de sorte que toutes les valeurs propres de la matrice soient positives.

C’est pour cette raison que RFEM contrôle, entre autres, la définition de la déformation transversale relative à l’équation suivante.

Équation 25 :
${\mathrm u}_\mathrm{xy}\;\leq\;0.999\;\cdot\;\sqrt{\frac{{\mathrm E}_\mathrm x}{{\mathrm E}_\mathrm y}}$

Exemple

L’exemple suivant (Figure 03) explique le comportement de matériau orthotrope. Un matériau orthotrope sera comparé à un matériau isotrope. De plus, la rigidité d’une plaque orthotrope sera définie avec une rigidité élevée en direction x et y.

Figure 03 - Structure

Structure:

  • Épaisseur de plaque 200 mm
  • Matériau C 24
  • Rigidités orthotropes
    $\begin{array}{l}{\mathrm E}_\mathrm x\;=\;1,100.0\;\mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2\\{\mathrm E}_\mathrm y\;=\;37.0\;\mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2\\{\mathrm G}_\mathrm y\;=\;6.9\;\mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2\\{\mathrm G}_\mathrm x\;=\;69.0\;\mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2\\{\mathrm G}_\mathrm{xy}\;=\;69.0\;\mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2\\{\mathrm u}_\mathrm{xy}\;=\;2.52\\{\mathrm u}_\mathrm{yx}\;=\;0.085\end{array}$
  • Rigidités isotropes
    $\begin{array}{l}\mathrm E\;=\;1,100\;\mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2\\\mathrm G\;=\;500\;\mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2\\\mathrm u\;=\;0.1\end{array}$
  • Dimension l = 2.0 m, L = 4.0 m
  • Charge: 20 kN/m²
  • Taille du maillage EF: 50 cm

La structure est définie comme encastrée dans la direction z verticale. Les conditions d’appui dans les directions x et y ont été sélectionnées de sorte qu’aucun effet dû aux maintiens n’ait lieu.

Le calcul est réalisé selon l’analyse statique linéaire avec des conditions d’appui et un comportement de matériau linéaire élastique.

La déformation transversale suivante est un résultat de la loi de Hooke appliqué aux valeurs données.

Équation 26 :
$\mathrm\nu\;=\;\left(\sqrt{{\mathrm E}_\mathrm x\;\cdot\;{\mathrm E}_\mathrm y}\right)\;/\;\left(2\;\mathrm G\right)\;-\;1\;=\;6.97$

Cette déformation transversale élevée ne peut pas être atteinte avec le modèle sélectionné. Avec les équations de [1], les valeurs peuvent toutefois être ajustées.

Équation 27 :
${\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;\approx\;\left(\frac{\sqrt{{\mathrm E}_\mathrm x\;{\mathrm E}_\mathrm y}}{2\;{\mathrm G}_\mathrm{xy}}\;-\;1\right)\;\cdot\;\sqrt{\frac{{\mathrm E}_\mathrm x}{{\mathrm E}_\mathrm y}}$

Équation 28 :
${\mathrm\nu}_\mathrm{yx}\;\approx\;\left(\frac{\sqrt{{\mathrm E}_\mathrm x\;{\mathrm E}_\mathrm y}}{2\;{\mathrm G}_\mathrm{xy}}\;-\;1\right)\;\cdot\;\sqrt{\frac{{\mathrm E}_\mathrm y}{{\mathrm E}_\mathrm x}}$

Équation 29 :
${\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;=\;\left(\frac{\sqrt{1,100\;\cdot\;37}}{2\;\cdot\;69}\;-\;1\right)\;\sqrt{\frac{1,100}{37}}\;=\;2.52$

Équation 30 :
${\mathrm\nu}_\mathrm{xy}\;=\;\left(\frac{\sqrt{1,100\;\cdot\;37}}{2\;\cdot\;69}\;-\;1\right)\;\sqrt{\frac{37}{1,100}}\;=\;0.085$

Figure 04 - Surfaces et rigidités

Résultat
Comme prévu, les plus grandes déformations ont lieu avec l’orientation des rigidités dans la direction y (Figure 06). Les réactions d’appui et le moment de la plaque isotrope sont affichés dans la Figure 05.

Figure 05 - Résultats du matériau isotrope

La plaque avec une rigidité importante dans la direction y (Ey = 1 100 kN/cm2) ayant une résistance importante dans cette direction, les réactions d’appui sont également plus élevées (125,4 kNm contre 58,3 kNm).

Figure 06 - Déformations et réactions d'appui des plaques orthotropes

Les moments de flexion maximum résultants pour les plaques orthotropes sont égaux à mx avec la rigidité en direction x et pour my avec une rigidité importante en direction y.

La plaque à la rigidité élevée dans la direction-y a son moment fléchissant my quasiment en son centre (Figure 07).

Figure 07 - Moments fléchissants de la plaque orthotrope mx (gauche) et my (droite)

Variation de la déformation transversale

La déformation transversale relative aux diagrammes de déformation peut atteindre les valeurs maximale et minimale listées dans ce tableau.

 

 Max.Min.
νxy5,447-5,447
νyx0,183-0,183

La plaque à rigidité importante vue précédemment (Ex = 11,000) sera définie avec ces déformations transversales élevées. Les autres rigidités de plaque restent toutefois identiques.

La Figure 08 affiche les résultats de la variation de νxy = 5,44 à -5,44.

Pour νxy = 5,44 les réactions d’appui sont qualitativement identiques à celles du comportement de matériau isotrope. Le moment fléchissant passe de mx = 18.1 kNm/m (plaque isotrope) à mx = 34.9 kNm/m (plaque orthotrope).

Le moment fléchissant est légèrement réduit en comparaison aux déformations transversales habituelles (νxy = 2.5).

Figure 08 - Résultats de la variation selon le tableau (gauche: vxy = 5,44, centre: vxy = 0, droite: vxy = -5,44)

Avec νxy = 0, la grande amplitude de valeurs des réactions d’appui de la fin libre de plaque est remplacée par une valeur constante de 43 kN/m.

Le moment mx augmente à 38.1 kNm/m. Relativement au résultat précédent (νxy =5.44), l’influence de la déformation transversale est perceptible visuellement. Pour v = 0, aucune déformation ou distorsion n’est provoquée par la déformation transversale.

Pour νxy = -5,44 un échec post-critique est affiché en fin de plaque et les réactions d’appui deviennent alors négatives. Le moment maximum a lieu dans le centre de la plaque avec 59,5 kNm/m.

La plaque a maintenant un comportement plus proche de celui d’une plaque sous contraintes uniaxales sans troisième appui dans sa direction longitudinale.

Ce comportement peut être expliqué avec la Figure 01 et la relation qui y est listée.

La déformation transversale négative élevée (νxy = -5,44), provoque un échec sous charge de la bordure libre et ne peut ainsi pas être déformée.

L’influence de l’orthotropie dans la direction y est ici quasi-nulle (Ey ≈ 0).

Résumé

Le type de matériau orthotrope permet la définition de presque tous les paramètres de matériau dans RFEM. La variation des déformations transversales permet d’obtenir des résultats très différents. Une déformation transversale suite à la modification des valeurs selon [1] résulte de valeurs proches de la solution pour une poutre à travée simple.

Équation 31:
${\mathrm M}_\mathrm y\;=\;\frac{\mathrm q\;\mathrm l^2}8\;=\;40\;\mathrm{kNm}$

Des déformations transversales négatives trop élevées affichent un système structural modifié qui ne correspond pas à la modélisation.

Littérature

[1]   Huber, M. T.: The Theory of Crosswise Reinforced Ferroconcrete Slabs and Its Application to Various Important Constructional Problems Involving Rectangular Slabs, Der Bauingenieur 12, pages 354 - 360, and 13, pages 392 - 395. 1923

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