Методы решения уравнений в нелинейных расчетах

Техническая статья

Эта статья была переведена Google Translator

Посмотреть исходный текст

В нашей статье объясняется решение уравнения нелинейного расчета с помощью итерационного метода Ньютона-Рафсона.

Введение

Метод конечных элементов всегда используется в случаях, когда задачи механики не могут быть решены аналитически. При этом часто учитываются нелинейные эффекты, такие как выход из работы при сжатии (геометрическая нелинейность), пластификация (нелинейность материала) и контактные или кинематические степени свободы. Такие эффекты, особенно в случае применения нелинейной модели материала, можно учесть с помощью итерационного метода расчета.

Формулировка МКЭ

Основные этапы записи МКЭ (дальнейшую информацию можно найти в [1] ):

  1. Слабая форма равновесия

    Слабая форма

    BgradδuσdVnichtlinearer Anteil = Bδu · ρbdV + Bδu · todA

    δu Виртуальное (тестовое) перемещение
    t0 Коэффициент начальной нагрузки
    σdV Внутренние силы
    ρbdV Силы в теле
    B Интегрированная площадь
  2. Преобразование в нотации Фойгта с тензором 4 -го порядка

    Слабая форма в обозначениях Фойхта

    BδεεdV = BδuTbdVVolumenkräfte + BδuT · t0dAOberflächenkräfte

    C Матрица жесткости
    δε Разные варианты деформированного состояния
    B Интегрированная площадь
    ε Деформация
    U Удлинение

    На данной записи далее основывается приближенное решение МКЭ для нелинейных материалов.
  3. При этом поле смещения умножается на функции формы.

    Поле перемещения через пробную функцию

    u(x,t) = H(x)u^(t)

    u(x,t) Перемещение во времени (приращение нагрузки)
    H Функция формы
    û Перемещение узла
  4. Использование производной смещения в слабой форме. С помощью численного интегрирования выполняется расчет смещения узлов, а в постпроцессинге - напряжений и деформаций, по закону материала.

Порядок итерации Ньютона-Рафсона

Из-за нелинейных свойств материала матрица материала C в приведенном выше уравнении 2 меняется с каждым шагом деформации. Стандартным методом расчета для решения данной задачи является так называемая итерация Ньютона-Рафсона. С ее применением функция линеаризируется в исходной точке. При итерации всегда используется матрица жесткости C предыдущего шага. В линеаризованном шаге итерации касательная проходит через нулевую точку функции.

К схеме порядка итерации, показанной на приведенном выше рисунке, относятся следующие уравнения:

  1. Разделение нагружения на шаги нагрузки.

    fextt + t = fextt + f

  2. Шаг предсказывания

    Шаг предсказателя

    K0t0φ = fextt+t - fint0t

    K Матрица жесткости предыдущего шага времени
    t+Δtfext


    Внешние силы, увеличенные последующим шагом нагрузки

    0tfint

    Внутренние силы предыдущего шага времени
    ϕ Деформация
  3. В точке 3 Итерации логической схемы рассчитывается общая деформация с вычетом пластической деформации (шаг коррекции).

Целью итерационного расчета всегда является достижение условия, при котором сумма нагрузок равна нулю. Однако в числовом виде это не представляется возможным. Поэтому задается предел прерывания ε, при котором расчет будет прерван как достаточно точный.

Предел отказа

R = fextt + t - fintnt + t < ε

R Предел отказа
fext Внешние силы
fint Внутренние силы
ε Предел отказа эпсилон
t Шаг времени

В программе вы можете настроить предел прерывания в параметрах расчета.

На следующем рисунке показан процесс итерации Ньютона-Рафсона. В первой итерации

1-я итерация

Rt + t - F0t + t

R Предел отказа
t Шаг времени
F Сила

предел прерывания R или ε не достигнут. Также и во второй итерации (обозначено красным) предел допуска не достигается. Только в третьей итерации расстояние касательной жесткости будет настолько малым, что достигается сходимость.

Как уже упоминалось, деформации постоянно суммируются в ходе итерации.

Заключение

Итерация Ньютона-Рафсона обладает консистентностью, и соответственно, сходимостью второго порядка. Количество «правильных» точек итерации удваивается с каждым шагом. В результате итерация Ньютона-Рафсона сходится квадратично, а точность увеличивается с каждой итерацией в случае достижения сходимости. Однако, если сходимость не достигается данным методом, то ошибка повторяется бесконечно, а вычисление прерывается.

Причинами ошибки могут быть, например, слишком сильный наклон кривой зависимости деформаций от нагрузки или слишком малый наклон кривой в области пластических деформаций. Если кривая нагрузка-деформация на приведенном выше рисунке показывает слишком сильный излом на втором шаге итерации, то касательная материала и, следовательно, матрица жесткости не будут правильно отображать наклон упругой области. В таком случае подъем у нулевой точки был бы неправильным для пластической области. Это одна из причин, по которой увеличение количества шагов нагрузки сопровождается улучшением сходимости.

Ключевые слова

Сходимость Шаг нагрузки Шаг по времени

Литература

[1]   Nackenhorst, U.: Vorlesungsskript Numerische Mechanik. Hannover: Institut für Baumechanik und Numerische Mechanik, Gottfried Wilhelm Leibniz Universität, 2013

Ссылки

Добавить комментарий...

Добавить комментарий...

  • Просмотры 694x
  • Обновления 7. января 2021

Контакты

У вас есть какие-либо вопросы по нашим программам или вам просто нужен совет?
Тогда свяжитесь с нами через бесплатную поддержку по электронной почте, в чате или на форуме или ознакомьтесь с различными решениями и полезными предложениями на страницах часто задаваемых вопросов.

+49 9673 9203 0

info@dlubal.com

Онлайн обучение | На английском

RFEM | Основные функции | США

Онлайн-обучение 20. января 2021 12:00 - 16:00 EST

RFEM | Основной тренинг

Онлайн-обучение 29. января 2021 8:30 - 12:30 CET

Онлайн обучение | На английском

Программа RFEM для студентов | США

Онлайн-обучение 3. февраля 2021 13:00 - 16:00 EST

Онлайн обучение | На английском

RFEM | Сталь | США

Онлайн-обучение 16. февраля 2021 9:00 - 12:00 EST

Онлайн обучение | На английском

Еврокод 2 | Железобетонные конструкции по норме DIN EN 1992-1-1

Онлайн-обучение 19. февраля 2021 8:30 - 12:30 CET

Онлайн обучение | На английском

Еврокод 5 | Деревянные конструкции по норме EN 1995-1-1

Онлайн-обучение 17. марта 2021 8:30 - 12:30 CET

Онлайн обучение | На английском

Еврокод 3 | Стальные конструкции по норме DIN EN 1993-1-1

Онлайн-обучение 18. марта 2021 8:30 - 12:30 CET

Онлайн обучение | На английском

RFEM | Динамические расчеты | США

Онлайн-обучение 23. марта 2021 13:00 - 16:00 EST

Онлайн обучение | На английском

RFEM | Основной тренинг

Онлайн-обучение 23. апреля 2021 8:30 - 12:30

[EN] Силы и нагрузки

[EN] Силы и нагрузки

Длительность 4:11 мин

RFEM Основная программа
RFEM 5.xx

Основная программа

Программное обеспечение для расчета конструкций методом конечных элементов (МКЭ) плоских и пространственных конструктивных систем, состоящих из плит, стен, оболочек, стержней (балок), тел и контактных элементов

Цена первой лицензии
3 540,00 USD