Introdução
O método dos elementos finitos é sempre utilizado quando os problemas mecânicos não podem ser resolvidos analiticamente. Frequentemente, os efeitos não lineares, tais como rotura sob pressão (não linearidade geométrica), plastificações (não linearidade do material) e graus de liberdade de contacto ou cinemáticos, também são considerados. Esses efeitos, especialmente no caso de modelos de material não lineares, podem ser considerados através de um método de cálculo iterativo.
Configuração de MEF
Passos básicos para a configuração do MEF (mais informações podem ser encontradas em [1] ):
- Forma fraca de equilíbrio
Δu Deslocamento virtual (de teste) t0 Fator de carga inicial σdV Esforços internos ρbdV Forças sólidas B Área integrada - Transformação em notação Voigt com tensor de 4ª ordem
C matriz de rigidez δε Variação do estado de deformação B Área integrada ε deformação U Deformação
Esta notação é utilizada no seguinte texto para resolver a solução aproximada da abordagem de EF para materiais não lineares. - Para isso, o campo de deslocamento é multiplicado pelas funções de aproximação.
u (x, t) Deslocamentos ao longo do tempo (incremento de carga) h Função de formulário û Deslocamentos de nó - Inserindo a derivada do deslocamento na forma fraca. A integração numérica é utilizada para calcular o deslocamento nodal, as tensões e as deformações no pós-processamento através da regra do material.
Sequência de iteração Newton-Raphson
Devido ao comportamento não linear do material, a matriz de material C na Equação 2 acima muda com cada passo de expansão. O método de cálculo padrão para resolver este problema é a iteração de Newton-Raphson. É utilizado para linearizar a função num ponto de partida. A matriz de rigidez C do passo preliminar é sempre utilizada na iteração. No passo de iteração linearizado, uma tangente é colocada no zero da função.
As equações pertencentes ao fluxograma da figura acima são as seguintes:
- Dividindo a carga em etapas de carga.
fext Carga externa t Intervalo de tempo/carregamento Δf Novo incremento de carga - Etapa de previsão
K Matriz de rigidez do intervalo de tempo anterior t + Δ t fext Forças externas aumentadas mais um passo na carga 0tFint
Forças internas do intervalo de tempo anterior ϕ deformação - No ponto 3, iteração do fluxograma, é calculada a distorção total reduzida pela distorção plástica (passo de correção).
O objetivo do cálculo iterativo é sempre que a soma das cargas seja zero. No entanto, isso é impossível numericamente. Portanto, é definido um limite de interrupção ε no qual o cálculo é interrompido como suficientemente preciso.
| [SCHOOL.REQUESTORCALLBACK] | Limite de corte |
| fext | Forças externas |
| Fint | Esforços internos |
| ε | Limite de interrupção do Epsilon |
| t | Intervalo de tempo |
No programa, o limite de interrupção pode ser definido entre os parâmetros de cálculo.
A figura a seguir mostra o fluxo de uma iteração Newton-Raphson. Na primeira iteração
o rompimento R ou ε não é alcançado. O limite de tolerância também não é alcançado na segunda iteração (vermelho). Apenas na terceira iteração a distância da rigidez tangente é tão pequena que a convergência é alcançada.
Conforme já mencionado, a deformação é continuamente somada durante a iteração.
Resumo
A iteração de Newton-Raphson tem a ordem de consistência ou convergência 2. O número de posições "corretas" na iteração dobra a cada passo. Assim, uma iteração de Newton-Raphson converge quadraticamente e a precisão aumenta a cada iteração quando o método converge. No entanto, se o método não convergir, o erro vai para o infinito e o cálculo é interrompido.
As causas do erro são, por exemplo, uma inclinação da curva de carga-deformação que é muito acentuada e uma inclinação da curva na área plástica que é muito plana. Se a curva de carga-deformação na figura acima mostrasse uma quebra na segunda etapa de iteração que era muito forte, a tangente do material e, portanto, a matriz de rigidez não exibiriam corretamente a inclinação da área elástica. Neste caso, a inclinação da raiz seria incorreta para a área plástica. Esta é uma das razões pelas quais um aumento nos passos de carga é acompanhado por uma convergência melhorada.
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