非线性方程求解方法

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本文介绍了非线性计算中使用牛顿-拉弗森迭代法的方程求解器。

简介

当无法通过解析方法解决力学问题时,则使用有限元方法。 通常在考虑例如受压失效(几何非线性),塑性(材料非线性)以及接触或运动自由度这些非线性影响时, 特别是对于非线性材料模型,可以使用迭代计算。

有限元设置

有限元法设置的基本步骤(更多信息可以在[1]中找到):

  1. 弱形式

    弱形式

    BgradδuσdVnichtlinearer Anteil = Bδu · ρbdV + Bδu · todA

    δu 虚拟(测试)位移
    t0 初始荷载系数
    σdV 内力
    ρbdV 实体力
    B 综合面积
  2. 转换为四阶张量的 Voigt 标记

    Voigt表示法中的弱形式

    BδεεdV = BδuTbdVVolumenkräfte + BδuT · t0dAOberflächenkräfte

    C 刚度矩阵
    δε 应变状态的变化
    B 综合面积
    ε Strain
    U 变形

    以下使用该标记来求解非线性材料近似解。
  3. 为此位移场乘以形函数。

    试件的位移场

    u(x,t) = H(x)u^(t)

    u(x,t) 随时间推移的位移(荷载增量)
    H 表格功能
    û 节点位移
  4. 弱化形式插入位移的导数。 该方法通过了数值集成,通过了材料的规则可以计算后处理中的节点位移和应力应变。

Newton-Raphson迭代的序列

由于材料行为是非线性的,所以公式2中的材料矩阵C随着膨胀步的增加而变化。 解决该问题的标准方法是所谓的Newton-Raphson迭代法。 用于在起点使函数线性化。 在迭代过程中始终使用准备步骤的刚度矩阵C。 在线性化迭代步骤中,切线位于函数的零处。

上图中流程图的公式如下:

  1. 将荷载划分为荷载步。

    fextt + t = fextt + f

  2. 预测步骤

    预测步骤

    K0t0φ = fextt+t - fint0t

    K 上一个时间步的刚度矩阵
    t + Δt fext


    外力随荷载的增加而增加

    0t[F12]int

    上一个时间步的内力
    ϕ Strain
  3. 在步骤3的流程图迭代中计算计算得到的由塑性变形减少的总变形(修正步)。

迭代计算的目标始终是荷载总和为零。 但是,这在数值上是不可能的。 因此定义一个折断极限ε,足够准确地在该点处终止计算。

到达极限

R = fextt + t - fintnt + t < ε

R 破坏极限
fext 外力
[F12]int 内力
ε 厄普西隆极限进入极限
t 时间步

在程序中的极限可以在计算参数中设置。

下图显示了Newton-Raphson迭代的流程。 在第一次迭代中

1. 迭代

Rt + t - F0t + t

R 破坏极限
t 时间步
[F7]

未达到折线R或ε。 在第二个迭代中(红色)也没有达到公差极限。 只有在第三次迭代中,切线刚度的距离才小,才达到收敛。

如所提到的,在迭代中对变形进行连续求和。

小结

Newton-Raphson迭代的收敛阶为2。 迭代中“正确”的位置的数目会使每一步加倍。 Newton-Raphson迭代是二次收敛的,当收敛时,精度随着每次迭代的提高而提高。 但是,如果该方法没有收敛,则误差达到无穷大,并停止计算。

错误的原因是例如荷载-变形曲线的斜率太高,塑性区域曲线的坡度太平。 如果上图中的荷载-变形-曲线在第二个迭代步骤中拐点过大,那么材料切线和刚度矩阵就不能正确显示弹性区域的斜率。 在这种情况下,根部的斜率对于塑性区域是错误的。 这就是荷载步数增加伴随收敛性改善的原因之一。

关键词

收敛 荷载步 时间步

参考

[1]   Nackenhorst, U.: Vorlesungsskript Numerische Mechanik. Hannover: Institut für Baumechanik und Numerische Mechanik, Gottfried Wilhelm Leibniz Universität, 2013

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  • 更新 2021年01月7日

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