非线性方程求解方法

介绍

当无法通过解析方法解决力学问题时，则使用有限元方法。 通常在考虑例如受压失效（几何非线性），塑性（材料非线性）以及接触或运动自由度这些非线性影响时， 特别是对于非线性材料模型，可以使用迭代计算。

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悬臂塑性行为

有限元设置

有限元法设置的基本步骤（更多信息可以在[1]中找到）：

1. 弱形式
   
   ${\int }_B\underset{nichtlinearer Anteil}{\underbrace{grad{\delta }_u\cdots \sigma dV}}={\int }_B{\delta }_u·\rho bdV+{\int }_{\partial B}{\delta }_u·t_{o}dA$

   δu	虚拟（测试）位移
   t0	初始荷载系数
   σdV	内力
   ρbdV	实体力
   B	综合面积

   弱形式
2. 转换为四阶张量的 Voigt 标记
   
   ${\int }_{\mathrm{B}}\mathrm{\delta \epsilon }\cdots \mathrm{ℂ}\cdots \mathrm{\epsilon dV} = {\int }_{\mathrm{B}}\underset{\mathrm{Volumenkräfte}}{\underbrace{{\mathrm{\delta u}}^{\mathrm{T}}\mathrm{bdV}}} + {\int }_{\partial \mathrm{B}}\underset{\mathrm{Oberflächenkräfte}}{\underbrace{{\mathrm{\delta u}}^{\mathrm{T}} · {\mathrm{t}}_0\mathrm{dA}}}$

   C	刚度矩阵
   δε	应变状态的变化
   B	综合面积
   ε	Strain
   U	变形

   Voigt表示法中的弱形式
   
   在下文中使用该符号来求解有限元方法对非线性材料的近似解决方案。
3. 为此位移场乘以形函数。
   
   $\mathrm{u}(\mathrm{x},\mathrm{t}) = \mathrm{H}\left(\mathrm{x}\right)\hat{\mathrm{u}}\left(\mathrm{t}\right)$

   u（x，t）	随时间推移的位移（荷载增量）
   H	表格功能
   û	节点位移

   试件的位移场
4. 将位移的导数插入到弱形式中。 数值积分用于在处理过程中根据材料规则计算节点位移，应力和应变。

Newton-Raphson迭代序列

由于材料行为是非线性的，所以公式2中的材料矩阵C随着膨胀步的增加而变化。 解决该问题的标准方法是采用Newton-Raphson迭代法。 用于在起点使函数线性化。 迭代中使用预备步骤刚度矩阵C。 在线性化迭代步骤中，切线位于函数的零处。

Newton-Raphson迭代

上图中流程图的公式如下：

1. 将荷载划分为荷载步。
   
   ${}^{\mathrm{t} + ∆\mathrm{t}}\mathrm{f}_{\mathrm{ext}} = {}^{\mathrm{t}}\mathrm{f}_{\mathrm{ext}} + ∆\mathrm{f}$

   fext	外部荷载
   t	时间/荷载步长
   Δf	新的荷载增量

   荷载步阶荷载
2. 预测步骤
   
   ${}_0{}^{\mathrm{t}}\mathrm{K}{∆}_0\mathrm{\phi } = {}^{\mathrm{t}+∆\mathrm{t}}\mathrm{f}_{\mathrm{ext}} - {}_0{}^{\mathrm{t}}\mathrm{f}_{\mathrm{int}}$

   K	上一个时间步的刚度矩阵
   t + Δt fext	外力随荷载的增加而增加
   0t[F12]int	上一个时间步的内力
   ϕ	Strain

   预测步骤
3. 在步骤3的流程图迭代中计算计算得到的由塑性变形减少的总变形（修正步）。

迭代计算的目标始终是荷载总和为零。 但是，在数值上这是不可能的。 因此定义一个折断极限ε，足够准确地在该点处终止计算。

在程序中的极限可以在计算参数中设置。

计算参数

下图显示了Newton-Raphson迭代的流程。 在第一次迭代中

未达到折线R或ε。 在第二个迭代中（红色）也没有达到公差极限。 仅在第三次迭代中切线刚度的距离如此之小才能达到收敛。

Newton-Raphson迭代图

如所提到的，在迭代中对变形进行连续求和。

小结

Newton-Raphson迭代的收敛阶为2。 迭代中“正确”的位置的数目会使每一步加倍。 Newton-Raphson迭代是二次收敛的，当收敛时，精度随着每次迭代的提高而提高。 但是，如果该方法没有收敛，则误差达到无穷大，并停止计算。

错误的原因是荷载-变形曲线的斜率太小，塑性区的曲线斜率太平。 如果上图中的荷载-变形曲线在第二个迭代步骤中出现一个太大的断裂，那么材料切线和刚度矩阵就不能正确显示弹性区域的斜率。 在这种情况下，根部的斜率对于塑性区域是错误的。 这是增加荷载步长并改善收敛的原因之一。