Úvod
Pokud nelze mechanické úlohy řešit analyticky, uplatňuje se metoda konečných prvků. Přitom se často berou v úvahu také nelineární účinky jako neúčinnost v tlaku (geometrická nelinearita), plastifikace (materiálová nelinearita) a kontaktní, respektive kinematické stupně volnosti. Tyto účinky, zejména v případě nelineárních materiálových modelů, lze zohlednit iterační metodou výpočtu.
Formulace MKP
Základní kroky formulace MKP (další informace lze najít v [1]):
- Slabá formulace rovnováhy
δu Virtuální (testovací) posunutí t0 Počáteční součinitel zatížení σdV Vnitřní síly ρbdV Objemové síly B Oblast integrace - Převod na Voigtův zápis tenzoru čtvrtého řádu
C Matice tuhosti δε Variace stavu přetvoření B Oblast integrace ε Přetvoření u Deformace
Z tohoto zápisu dále vychází aproximační řešení MKP u nelineárních materiálů. - Pole posuvů se přitom násobí tvarovými funkcemi.
u(x,t) Posuv v čase (přírůstek zatížení) H Tvarová funkce û Uzlový posun - Použití derivace posunutí ve slabé formulaci. Numerickou integrací se stanoví posunutí uzlů a v post processingu napětí a přetvoření na základě materiálového modelu.
Průběh Newton-Raphsonovy iterace
Vlivem nelineárního chování materiálu se materiálová matice C ve výše uvedené rovnici 2 mění s každým krokem přetvoření. Standardní metodou řešení tohoto problému je takzvaná Newton-Raphsonova iterace. Při ní se funkce ve výchozím bodě linearizuje. Při iteraci se vždy používá matice tuhosti C předchozího kroku. V linearizovaném iteračním kroku je tečna vedena k nulovému bodu funkce.
Ke schématu průběhu iterace na obrázku výše patří následující rovnice:
- Rozložení zatížení do zatěžovacích kroků
fext Vnější zatížení t Čas/zatěžovací krok Δf Nový přírůstek zatížení - Krok predikce
K Matice tuhosti předchozího časového kroku t+Δtfext Vnější síly zvýšeny o další stupeň zatížení 0tfint
Vnitřní síly předchozího časového kroku ϕ Přetvoření - V bodě 3 Iterace vývojového diagramu se vypočítá celkové přetvoření po odečtení plastického přetvoření (krok korekce).
Cílem iteračního výpočtu vždy je, aby součet zatížení byl nulový. To ovšem numericky není možné. Proto se definuje mez pro přerušení ε, při které se výpočet přeruší jako dostatečně přesný.
| R | Mez pro přerušení |
| fext | Vnější síly |
| fint | Vnitřní síly |
| ε | Epsilon mez pro přerušení |
| t | Časový krok |
V programu lze mez pro přerušení nastavit v parametrech výpočtu.
Na následujícím obrázku je znázorněn průběh Newton-Raphsonovy iterace. V první iteraci
není dosažena mez pro přerušení R, respektive ε. Ani v druhé iteraci (červeně) není dosažena mez tolerance. Až ve třetí iteraci je vzdálenost tečné tuhosti tak malá, že je dosažena konvergence.
Jak jsme již zmínili, deformace se během iterace průběžně sčítají.
Závěr
Newton-Raphsonova iterace je metoda druhého řádu konzistence, respektive konvergence. Počet „správných“ míst iterace se s každým krokem zdvojnásobuje. Newton-Raphsonova iterační metoda tak konverguje kvadraticky a přesnost je s každou iterací vyšší, pokud dochází ke konvergenci. Pokud však metoda nekonverguje, chyba jde do nekonečna a výpočet se přeruší.
Příčinou chyby bývá například příliš strmý sklon křivky závislosti deformace na zatížení a příliš mírný sklon křivky v plastické oblasti. Pokud by křivka závislosti deformace na zatížení na výše uvedeném obrázku vykazovala v druhém iteračním kroku příliš velký vzpěr, tečna materiálu, a tudíž matice tuhosti by neznázorňovala správně stoupání pružné oblasti. Stoupání u nulového místa by bylo v tomto případě pro plastickou oblast nesprávné. To je jeden z důvodů, proč vyšší počet zatěžovacích kroků doprovází lepší konvergence.
Dlubal_KohlA_]_LI.jpg?mw=350&hash=ee8d38f1c4853d80307fa156c159b5e78a3fdca9)
.jpg?mw=350&hash=8f312d6c75a747d88bf9d0f5b1038595900b96c1)
.jpg?mw=350&hash=196d91410dd36f58fcc8b0194f4577bb70cf53c3)
.png?mw=600&hash=49b6a289915d28aa461360f7308b092631b1446e)
