Wstęp
Metoda elementów skończonych jest każdorazowo stosowana w przypadkach, gdy problemów mechanicznych nie sposób rozwiązać analitycznie. Często w modelu uwzględniane są również efekty nieliniowe, takie jak uszkodzenie pod wpływem docisku (nieliniowość geometryczna), uplastycznienie (nieliniowość materiału) oraz zagadnienie kontaktu lub kinematyczne stopnie swobody. Wpływy te, zwłaszcza w przypadku nieliniowych modeli materiałowych, można uwzględnić przy użyciu iteracyjnej metody obliczeń.
Formulacja MES
Podstawowe kroki formulacji MES (dalsze informacje można znaleźć w [1]):
- Słaba postać równań równowagi
ΔU Wirtualne przemieszczenie (testowe) t0 Początkowy współczynnik obciążenia σdV siły wewnętrzne ρbdV Siły bryłowe B Obszar zintegrowany - Transformacja w notacji Voigt z tensorem 4. rzędu
C macierz sztywności δε Zmiana stanu odkształcenia B Obszar zintegrowany ε odkształcenie U odkształcenie
Notacja ta jest używana w dalszej części opracowania do przybliżonego rozwiązania równań MES dla materiałów nieliniowych. - W tym celu pole przemieszczeń pomnożone zostaje przez funkcje podejścia.
u (x, t) Przemieszczenie w czasie (przyrost obciążenia) h Funkcja formularza û przemieszczenie węzłowe - Podstawienie pochodnej przemieszczenia do postaci słabej. Zastosowane jest całkowanie numeryczne do obliczania przemieszczeń węzłowych, a następnie naprężeń i odkształceń w późniejszej fazie obróbki danych za pomocą przyjętego modelu materiałowego.
Sekwencja iteracji Newtona-Raphsona
Ze względu na nieliniowe zachowanie materiału, macierz materiału C w równaniu 2 zmienia się z każdym krokiem. Standardową metodą obliczeniową dla rozwiązania tego problemu jest tak zwana iteracja Newtona-Raphsona. Służy do linearyzacji funkcji w punkcie początkowym. W iteracji zawsze stosowana jest macierz sztywności C kroku wstępnego. W zlinearyzowanym kroku iteracji styczna jest umieszczana w punkcie zerowym funkcji.
Równania ujęte w schemacie blokowym na powyższym rysunku są następujące:
- Podział obciążenia na kroki obciążenia.
fzewn Obciążenie zewnętrzne t Krok czas/obciążenie Δf Nowy przyrost obciążenia - Krok prognostyczny
K Macierz sztywności z poprzedniego kroku czasowego t + Δ t fzewn Siły zewnętrzne zwiększone o kolejny krok obciążenia [LinkToImage09]tFint
Siły wewnętrzne poprzedniego kroku czasowego ϕ odkształcenie - W punkcie 3 schematu (iteracja), obliczane jest całkowite odkształcenie pomniejszone o odkształcenie plastyczne (etap korekty).
Celem obliczeń iteracyjnych jest zawsze to, aby suma obciążeń zewnętrznych i sił wewnętrznych wynosiła zero. Z numerycznego punktu widzenia nie jest to jednak możliwe. Dlatego definiuje się granicę przerwania iteracji ε, przy której obliczenia nie są kontynuowane jako wystarczająco dokładne.
| [SCHOOL.SCHOOLORINSTITUTION] | Granica zerwania |
| fzewn | Siły zewnętrzne |
| Fint | siły wewnętrzne |
| ε | Granica oderwania epsilonu |
| t | Krok czasowy |
W programie można ustawić granicę ε przerwania obliczeń w parametrach obliczeniowych.
Poniższy rysunek pokazuje przebieg iteracji Newtona-Raphsona. W pierwszej iteracji
granica przerwania obliczeń R lub ε nie zostaje osiągnięta. Granica tolerancji również nie została osiągnięta w drugiej iteracji (kolor czerwony). Dopiero w trzeciej iteracji odległość aproksymowanej sztywności stycznej od tej rzeczywistej jest na tyle mała, że osiąga się zbieżność.
Jak już wspomniano, odkształcenie jest podczas iteracji sumowane w sposób ciągły.
Wniosek
Metoda iteracyjna Newtona-Raphsona ma spójność lub rząd zbieżności 2. Liczba „prawidłowych” lokalizacji w iteracji podwaja się z każdym krokiem. I tak, iteracja Newtona-Raphsona jest zbieżna kwadratowo, a dokładność wzrasta z każdą iteracją, gdy metoda jest zbieżna. Jeżeli jednak metoda nie jest zbieżna, błąd dąży do nieskończoności, a obliczenia zostają zatrzymane.
Przyczyny braku zbieżności to na przykład zbyt strome nachylenie krzywej obciążenie-odkształcenie lub zbyt małe nachylenie tej krzywej w obszarze plastycznym. Jeżeli krzywa obciążenie- deformacja na powyższym rysunku wykazywałaby zbyt dużą zmianę w drugim kroku iteracji, styczna materiału, a tym samym macierz sztywności, nie odwzorowywałaby prawidłowo nachylenia krzywej w obszarze sprężystym. W takim przypadku nachylenie krzywej dla rozwiązania cząstkowego byłoby nieprawidłowe w obszarze plastycznym. Jest to jeden z powodów, dla których wzrostowi w kroku obciążenia towarzyszy lepsza zbieżność.
Dlubal_KohlA_]_LI.jpg?mw=350&hash=ee8d38f1c4853d80307fa156c159b5e78a3fdca9)
.jpg?mw=350&hash=8f312d6c75a747d88bf9d0f5b1038595900b96c1)
.jpg?mw=350&hash=196d91410dd36f58fcc8b0194f4577bb70cf53c3)
.png?mw=600&hash=49b6a289915d28aa461360f7308b092631b1446e)
