Metodi di risoluzione di equazioni per calcoli non lineari

Introduzione

Il metodo degli elementi finiti viene utilizzato nei casi in cui i problemi meccanici non possono essere risolti analiticamente. Spesso vengono presi in considerazione anche gli effetti non lineari come rottura sotto pressione (non linearità geometrica), snervamento plastico (non linearità del materiale) e gradi di libertà di contatto o cinematici. Questi effetti, specialmente per i modelli di materiali non lineari, possono essere considerati utilizzando un metodo di calcolo iterativo.

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Cantilever con comportamento materiale plastico

Impostazione FEM

Passaggi di base per l'impostazione FEM (ulteriori informazioni possono essere trovate in [1] ):

1. Forma debole di equilibrio
   
   ${\int }_B\underset{nichtlinearer Anteil}{\underbrace{grad{\delta }_u\cdots \sigma dV}}={\int }_B{\delta }_u·\rho bdV+{\int }_{\partial B}{\delta }_u·t_{o}dA$

   δu	Spostamento virtuale (di prova)
   t0	Coefficiente iniziale del carico
   σdV	Forze interne
   ρbdV	Forze solide
   B	Area integrata

   Forma debole
2. Trasformazione in notazione di Voigt con tensore del ^{4 ° ordine}
   
   ${\int }_{\mathrm{B}}\mathrm{\delta \epsilon }\cdots \mathrm{ℂ}\cdots \mathrm{\epsilon dV} = {\int }_{\mathrm{B}}\underset{\mathrm{Volumenkräfte}}{\underbrace{{\mathrm{\delta u}}^{\mathrm{T}}\mathrm{bdV}}} + {\int }_{\partial \mathrm{B}}\underset{\mathrm{Oberflächenkräfte}}{\underbrace{{\mathrm{\delta u}}^{\mathrm{T}} · {\mathrm{t}}_0\mathrm{dA}}}$

   C	Matrice di rigidezza
   δε	Variazione dello stato di deformazione
   B	Area integrata
   ε	Deformazione
   U	Spostamento generalizzato

   Formulazione debole nella nota di Voigt
   
   Questa notazione viene utilizzata nel testo seguente per risolvere la soluzione approssimativa dell'approccio agli elementi finiti per materiali non lineari.
3. Per questo, il campo di spostamento viene moltiplicato per le funzioni di avvicinamento.
   
   $\mathrm{u}(\mathrm{x},\mathrm{t}) = \mathrm{H}\left(\mathrm{x}\right)\hat{\mathrm{u}}\left(\mathrm{t}\right)$

   u(x,t)	Spostamento nel tempo (incremento di carico)
   H	Funzione di forma
   û	Spostamento del nodo

   Campo di spostamento tramite la funzione di prova
4. Inserimento della derivata dello spostamento nella forma debole. L'integrazione numerica viene utilizzata per calcolare lo spostamento nodale, le tensioni e le deformazioni in post-elaborazione mediante la regola del materiale.

Sequenza di iterazione di Newton-Raphson

A causa del comportamento non lineare del materiale, la matrice del materiale C nell'equazione 2 sopra cambia con ogni passaggio di espansione. Il metodo di calcolo standard per risolvere questo problema è l'iterazione di Newton-Raphson. È usato per linearizzare la funzione in un punto di partenza. La matrice di rigidezza C del passaggio preliminare viene sempre utilizzata nell'iterazione. Nel passaggio di iterazione linearizzata, una tangente viene posizionata allo zero della funzione.

Iterazione di Newton-Raphson

Le equazioni che appartengono al diagramma di flusso nella figura sopra sono le seguenti:

1. Dividere il carico in fasi di carico.
   
   ${}^{\mathrm{t} + ∆\mathrm{t}}\mathrm{f}_{\mathrm{ext}} = {}^{\mathrm{t}}\mathrm{f}_{\mathrm{ext}} + ∆\mathrm{f}$

   fext	Carico esterno
   t	Passo tempo/carico
   Δf	Nuovo incremento di carico

   Carico nelle fasi di carico
2. Passo di predizione
   
   ${}_0{}^{\mathrm{t}}\mathrm{K}{∆}_0\mathrm{\phi } = {}^{\mathrm{t}+∆\mathrm{t}}\mathrm{f}_{\mathrm{ext}} - {}_0{}^{\mathrm{t}}\mathrm{f}_{\mathrm{int}}$

   K	Matrice di rigidezza del time step precedente
   t+Δtfext	Le forze esterne sono aumentate di un ulteriore step di carico
   0tfint	Forze interne del time step precedente
   ϕ	Deformazione

   Passo di predizione
3. Al punto 3, iterazione del diagramma di flusso, viene calcolata la distorsione totale ridotta dalla distorsione plastica (passo del correttore).

L'obiettivo del calcolo iterativo è sempre che la somma dei carichi sia zero. Tuttavia, questo è numericamente impossibile. Pertanto, viene definito un limite di interruzione ε in corrispondenza del quale il calcolo viene interrotto come sufficientemente accurato.

Nel programma, il limite di interruzione può essere impostato tra i parametri di calcolo.

3 - Calculation Parameters

La figura seguente mostra il flusso di un'iterazione di Newton-Raphson. Nella prima iterazione

la rottura R o ε non è raggiunta. Il limite di tolleranza non viene raggiunto neanche nella seconda iterazione (in rosso). Solo nella terza iterazione la distanza della rigidezza tangente è così piccola da ottenere la convergenza.

Diagramma di iterazione di Newton-Raphson

Come già accennato, la deformazione viene continuamente riassunta durante l'iterazione.

Sommario

L'iterazione di Newton-Raphson ha l'ordine di coerenza o di convergenza 2. Il numero di posizioni "corrette" nell'iterazione raddoppia ad ogni passaggio. Pertanto, un'iterazione di Newton-Raphson converge al quadrato e la precisione aumenta con ogni iterazione quando il metodo converge. Tuttavia, se il metodo non converge, l'errore diventa infinito e il calcolo viene interrotto.

Le cause di errore sono, ad esempio, una pendenza della curva carico-deformazione che è troppo ripida e un gradiente della curva nell'area plastica che è troppo piatta. Se la curva carico-deformazione nella figura sopra mostrasse un'interruzione troppo forte nel secondo passaggio di iterazione, la tangente del materiale e quindi la matrice di rigidezza non visualizzerebbero correttamente la pendenza dell'area elastica. In questo caso, la pendenza della radice sarebbe errata per l'area plastica. Questo è uno dei motivi per cui un aumento dei gradini di carico è accompagnato da una migliore convergenza.