Расчёт деформаций железобетонной балки с учетом влияний ползучести от постоянных нагрузок

Сначала объясняются модель и входные данные, включая материалы, нагрузки, а также настройки ползучести и усадки. Затем следует детализированный расчет деформации для квазипостоянной комбинации нагрузок. Наконец, показывается, как эффекты ползучести переносятся на деформации частых и характерных проектных ситуаций.

1. Входные данные

Геометрия

Система: Однопролетная балка Пролет: l = 3,600 м Ширина: b = 2,360 м Высота: h = 0,150 м Статическая полезная высота: d = 0,126 м

Материалы

• Бетон C16/20

Характеристическая прочность на сжатие: f_ck = 16,000 Н/мм² Средняя прочность на растяжение: f_ctm = 1,900 Н/мм² Модуль упругости: E_cm = 29000,0 Н/мм²

• Арматурная сталь

Характеристическая предел текучести: f_yk = 410,000 Н/мм² Модуль упругости: E_s = 200000,0 Н/мм² Количество арматуры: 11 стержней Площадь арматуры: A_s,prov = 2210 мм² Коэффициент армирования: ρ = 0,743 %

Воздействия

Однопролетная балка с пролетом 3,6 м подвергается следующим распределенным нагрузкам:

• Постоянная нагрузка: g_k = 12,000 кН/м
• Переменная нагрузка: q_k = 24,000 кН/м

Для расчета деформации по EC2 рассматриваются три характеристики комбинаций воздействий:

• Квазипостоянная комбинация:

g_k + ψ₂·q_k = 12,000 + 0,8 × 24,000 = 31,2 кН/м

• Частая комбинация:

g_k + ψ₁·q_k = 12,000 + 0,9 × 24,000 = 33,6 кН/м

• Характеристическая комбинация:

g_k + q_k = 12,000 + 24,0 = 36,000 кН/м

2. Внутренние силы

Моменты изгиба в средней части поля определяются как:

Характеристический: M_Ed,char. = 58,320 кНм Частый: M_Ed,Häufig = 54,430 кНм Квазипостоянный: M_Ed,Qs = 50,540 кНм

3. Зависящие от времени характеристики бетона

Для учета эффектов ползучести и усадки в расчете необходимо активировать их в свойствах материала бетона.

Чтобы задать значения ползучести и усадки вручную, необходимо активировать зависящие от времени характеристики бетона в поперечном сечении балки. На основе вручную введенных данных расчетного коэффициента ползучести φ₀ и основного значения усадочного изменения деформации ε_cd,0 получается эффективный коэффициент ползучести φ_(t|t₀) = 3,2, а также результирующее полное усадочное изменение деформации ε_cs(∞) = −0,6 ‰. Эти значения служат входными параметрами для последующего анализа долгосрочных деформаций бетона.

4. Требования к прогибам

Допустимые пределы прогибов принимаются следующим образом:

• Долговременный прогиб под квазипостоянным воздействием:

f_lim,qp = l/250 = 3600/250 = 14,4 мм

• Кратковременный прогиб под частой комбинацией:

f_lim,freq = l/200 = 3600/200 = 18,0 мм

• Кратковременный прогиб под характерной комбинацией:

f_lim,char = l/100 = 3600/100 = 36,0 мм

Проверка прогиба выполняется по умолчанию только для квазипостоянной ситуации. Чтобы проверка также выполнялась для частой и характерной ситуаций, включите опцию Пользовательская настройка типа проектной ситуации в конфигурации пригодности. После активации этой опции необходимо указать допустимые пределы прогиба для каждой активированной проектной ситуации.

5. Определение состояния трещин

Состояние трещин можно настроить в конфигурации пригодности. Состояние трещин влияет на расчет коэффициента распределения ζ_d:

• Если опция Состояние трещин рассчитывается по соответствующей нагрузке включена, ζ_d рассчитывается исключительно на основе текущей нагрузки (комбинации нагрузок).
• Если опция Состояние трещин на основе соответствующей КН из ситуации LS по соответствующей нагрузке активирована, ζ_d рассчитывается как максимум из всех связанных нагрузок. В этом примере выбрана эта опция.

6. Проверка прогиба для квазипостоянной комбинации нагрузок

6.1. Изгиб для ненарушенного состояния

a) Модули упругости и их соотношения

• Эффективный модуль упругости бетона:

\( \mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{\mathrm{E_{cm}}}{1 + \varphi} = \dfrac{29000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{1 + 3.200} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \) Эффекты ползучести учитываются уменьшением модуля упругости. Влияние ползучести принимается через конечное значение φ.

• Соотношение модулей E для ненарушенного и нарушенного состояния:

\( \mathrm{\alpha_{e,I}} = \mathrm{\alpha_{e,II}} = \dfrac{\mathrm{E_{s}}}{\mathrm{E_{c,I}}} = \dfrac{200000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2}} = 28.97 \)

• Проектный изгибающий момент для расчета прогиба:

\( \mathrm{M_{y,Ed,def}} = \left| \mathrm{M_{y,Ed,def}} \right| = \left| 50.54\,\mathrm{kNm} \right| = 50.54\,\mathrm{kNm} \)

b) Значения сечения в состоянии I

• Расстояние до центра тяжести идеального сечения от бетонной поверхности при сжатии (определяется для ненарушенного состояния):

\( \mathrm{z_{I}} = \dfrac{\mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \dfrac{\mathrm{h}}{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (oben)}} \right)}{\mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \right)} \)

\( \mathrm{z_{I}} = \dfrac{2360.0\,\mathrm{мм} \cdot 150.0\,\mathrm{мм} \cdot \dfrac{150.0\,\mathrm{мм}}{2} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{см^2} \cdot 126.0\,\mathrm{мм} + 0.00\,\mathrm{см^2} \cdot 75.0\,\mathrm{мм} \right)}{2360.0\,\mathrm{мм} \cdot 150.0\,\mathrm{мм} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{см^2} + 0.00\,\mathrm{см^2} \right)} = 82.8\,\mathrm{мм} \)

• Эффективная площадь сечения в ненарушенном состоянии:

\( \mathrm{A_{I}} = \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \right) \)

\( \mathrm{A_{I}} = 2360.0\,\mathrm{мм} \cdot 150.0\,\mathrm{мм} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{см^2} + 0.00\,\mathrm{см^2} \right) = 0.41806\,\mathrm{м^2} \)

• Эффективный момент инерции относительно центра тяжести в ненарушенном состоянии:

\( \mathrm{I_{y,I}} = \mathrm{b} \cdot \dfrac{\left(\mathrm{h}\right)^{3}}{12} + \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \left( z_{I} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \left( \mathrm{d_{def,+z (unten)}} - z_{I} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \left( z_{I} - \mathrm{d_{def,-z (oben)}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{I_{y,I}} = 2360.0\,\mathrm{мм} \cdot \dfrac{\left(150.0\,\mathrm{мм}\right)^{3}}{12} + 2360.0\,\mathrm{мм} \cdot 150.0\,\mathrm{мм} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{мм} - \dfrac{150.0\,\mathrm{мм}}{2} \right)^{2} + 28.97 \cdot 22.12\,\mathrm{см^2} \cdot \left( 126.0\,\mathrm{мм} - 82.8\,\mathrm{мм} \right)^{2} + 28.97 \cdot 0.00\,\mathrm{см^2} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{мм} - 75.0\,\mathrm{мм} \right)^{2} = \mathrm{I_{y,I}} = 0.00080\,\mathrm{м^4} \)

• Эксцентриситет идеального центра тяжести в ненарушенном состоянии:

\( \mathrm{e_{z,I}} = z_{I} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \)

\( \mathrm{e_{z,I}} = 82.8\,\mathrm{мм} - \dfrac{150.0\,\mathrm{мм}}{2} = 7.8\,\mathrm{мм} \)

c) Усадка - состояние I

• Дополнительная сила из-за свободной усадки

\( \mathrm{N_{sh}} = - \mathrm{E_{s}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{sh}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (oben)}} \right) \)

\( \mathrm{N_{sh}} = -200000.000\,\mathrm{N/mm^2} \cdot -0.600\,\text{‰} \cdot \left( 22.12\,\mathrm{см^2} \cdot 126.0\,\mathrm{мм} + 0.00\,\mathrm{см^2} \cdot 75.0\,\mathrm{мм} \right) = 265.402\,\mathrm{kN} \)

• Эксцентриситет усадочной силы относительно центра тяжести идеального сечения в ненарушенном состоянии

\( \mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{\mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (oben)}}}{\mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}}} - \mathrm{z_{I}} \)

\( \mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{22.12\,\mathrm{см^2} \cdot 126.0\,\mathrm{мм} + 0.00\,\mathrm{см^2} \cdot 75.0\,\mathrm{мм}}{22.12\,\mathrm{см^2} + 0.00\,\mathrm{см^2}} - 82.8\,\mathrm{мм} = 43.2\,\mathrm{мм} \)

• Изгибающий момент из нормальной силы \(N_{sh}\) для ненарушенного состояния

\( \mathrm{M_{sh,y,I}} = \mathrm{N_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,I}} \)

\( \mathrm{M_{sh,y,I}} = 265.402\,\mathrm{kN} \cdot 43.2\,\mathrm{мм} = 11.46\,\mathrm{kNm} \)

• Кривизна для ненарушенного состояния

Кривизна показывает, как действует усадочный момент относительно нормальной силы и эксцентриситета. Она показывает, как распределение усадочной силы и расположение центра тяжести влияют на деформации элемента. Это значение имеет решающее значение для полного описания деформаций сечения из-за усадки:

\( \mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,I}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}} \)

\( \mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{11.46\,\mathrm{kNm} + 50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{мм}}{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{мм}} = 1.227 \)

Кривизна в ненарушенном состоянии с учетом ползучести и усадки составляет:

\( \mathrm{\kappa_{y,I}} = \mathrm{k_{sh,y,I}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}}} \)

\( \mathrm{\kappa_{y,II}} = 1.227 \cdot \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{мм}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{м^4}} = 11.2\,\mathrm{mrad/m} \)

6.2. Кривизна для нарушенного состояния

a). Значения сечения в состоянии II

• Расстояние до центра тяжести идеального сечения от бетонной поверхности при сжатии (определяется для нарушенного состояния):

\( \mathrm{z_{II}} = \dfrac{\mathrm{b} \cdot \mathrm{x_{II}} \cdot \dfrac{\mathrm{x_{II}}}{2} + \alpha_{e,II} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (oben)}} \right)}{\mathrm{b} \cdot \mathrm{x_{II}} + \alpha_{e,II} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \right)} \)

\( \mathrm{z_{II}} = \dfrac{2360.0\,\mathrm{мм} \cdot 59.9\,\mathrm{мм} \cdot \dfrac{59.9\,\mathrm{мм}}{2} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{см^2} \cdot 126.0\,\mathrm{мм} + 0.00\,\mathrm{см^2} \cdot 75.0\,\mathrm{мм} \right)}{2360.0\,\mathrm{мм} \cdot 59.9\,\mathrm{мм} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{см^2} + 0.00\,\mathrm{см^2} \right)} = 59.9\,\mathrm{мм} \)

• Эффективная площадь сечения в нарушенном состоянии:

\( \mathrm{A_{II}} = \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \right) \)

\( \mathrm{A_{II}} = 2360.0\,\mathrm{мм} \cdot 150.0\,\mathrm{мм} + 6.90 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{см^2} + 0.00\,\mathrm{см^2} \right) = 0.36925\,\mathrm{м^2} \)

• Эффективный момент инерции относительно центра тяжести в нарушенном состоянии:

\( \mathrm{I_{y,II}} = \mathrm{b} \cdot \dfrac{\left(\mathrm{h}\right)^{3}}{12} + \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \left( \mathrm{z_{II}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \left( \mathrm{d_{def,+z (unten)}} - \mathrm{z_{II}} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \left( \mathrm{z_{II}} - \mathrm{d_{def,-z (oben)}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{I_{y,II}} = 2360.0\,\mathrm{мм} \cdot \dfrac{\left(150.0\,\mathrm{мм}\right)^{3}}{12} + 2360.0\,\mathrm{мм} \cdot 150.0\,\mathrm{мм} \cdot \left( 77.1\,\mathrm{мм} - \dfrac{150.0\,\mathrm{мм}}{2} \right)^{2} + 6.90 \cdot 22.12\,\mathrm{см^2} \cdot \left( 126.0\,\mathrm{мм} - 77.1\,\mathrm{мм} \right)^{2} + 6.90 \cdot 0.00\,\mathrm{см^2} \cdот \left( 77.1\,\mathrm{мм} - 75.0\,\mathrm{мм} \right)^{2} = 0.00070\,\mathrm{м^4} \)

• Эксцентриситет идеального центра тяжести в нарушенном состоянии:

\( \mathrm{e_{z,II}} = \mathrm{z_{II}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \)

\( \mathrm{e_{z,II}} = 77.1\,\mathrm{мм} - \dfrac{150.0\,\mathrm{мм}}{2} = -15.1\,\mathrm{мм} \)

b) Усадка - состояние II

• Расчёт эксцентриситета в состоянии II:

\( \mathrm{e_{sh,z,II}} = \dfrac{\mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (oben)}}}{\mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}}} - \mathrm{z_{II}} \) \( \mathrm{e_{sh,z,II}} = \dfrac{22.12\,\mathrm{см^2} \cdot 126.0\,\mathrm{мм} + 0.00\,\mathrm{см^2} \cdот 75.0\,\mathrm{мм}}{22.12\,\mathrm{см^2} + 0.00\,\mathrm{см^2}} - 59.9\,\mathrm{мм} = 66.1\,\mathrm{мм} \)

• Расчёт изгибающего момента M_sh,y,II :

\( \mathrm{M_{sh,y,II}} = \mathrm{N_{sh}} \cdот \mathrm{e_{sh,z,II}} \)

\( \mathrm{M_{sh,y,II}} = 265.402\,\mathrm{kN} \cdот 66.1\,\mathrm{мм} = 17.54\,\mathrm{kNm} \)

• Расчёт коэффициента кривизны k_sh,y,II :

\( \mathrm{k_{sh,y,II}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,II}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdот \mathrm{e_{z,II}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdот \mathrm{e_{z,II}}} \)

\( \mathrm{k_{sh,y,II}} = \dfrac{17.54\,\mathrm{kNm} + 50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdот 15.1\,\mathrm{мм}}{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdот 15.1\,\mathrm{мм}} = 1.347 \)

Кривизна в нарушенном состоянии с учетом ползучести и усадки составляет:

\( \mathrm{\kappa_{y,II}} =\mathrm{k_{sh,y,II}} \cdот \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdот \mathrm{e_{z,II}}}{\mathrm{E_{c,eff}} \cdот \mathrm{I_{y,II}}} \)

\( \mathrm{\kappa_{y,II}} = 1.347 \cdот \дfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdот 15.1\,\mathrm{мм}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdот 0.00045\,\mathrm{м^4}} = 22.0\,\mathrm{mrad/m} \)

6.3. Эффективная кривизна с учетом состояния трещин

• Расчёт максимального напряжения σ_max,lt :

\( \mathrm{\sigma_{max,lt}} = \dfrac{\mathrm{N_{Ed}} + \mathrm{N_{sh}}}{\mathrm{A_{I}}} + \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdот \left( \mathrm{z_{I}} - \дfrac{\mathrm{h}}{2} \right) + \mathrm{M_{sh,y,I}}}{\mathrm{I_{y,I}}} \cdот \left( \mathrm{h} - \mathrm{z_{I}} \right) \)

\( \mathrm{\sigma_{max,lt}} = \дfrac{0.000\,\mathrm{kN} + 265.402\,\mathrm{kN}}{0.41806\,\mathrm{м^2}} + \дfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdот \left( 82.8\,\mathrm{мм} - \дfrac{150.0\,\mathrm{мм}}{2} \right) + 11.46\,\mathrm{kNm}}{0.00080\,\mathrm{м^4}} \cdот \left( 150.0\,\mathrm{мм} - 82.8\,\mathrm{мм} \right) = 5.811\,\mathrm{N/mm^2} \)

• Расчёт коэффициента распределения ζ_d :

\( \mathrm{\zeta_{d}} = 1 - \mathrm{\beta} \cdот \left( \frac{\mathrm{f_{ctm}}}{\mathrm{\sigma_{max}}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{\zeta_{d}} = 1 - 0.500 \cdот \left( \frac{1.900\,\mathrm{N/mm^2}}{5.811\,\mathrm{N/mm^2}} \right)^{2} = 0.947 \)

Коэффициент распределения также рассчитывается для соответствующих комбинаций нагрузок (КН1 и КН2). Максимальный результат является определяющим. В этом случае коэффициент распределения квазипостоянной комбинации нагрузок КН3 является наибольшим и, следовательно, определяющим: \( \mathrm{\zeta_{d}} = \mathrm{\zeta_{d,max}} = 0.947 \)

• Расчёт кривизны κ_y,f :

\( \mathrm{\kappa_{y,f}} = \mathrm{\zeta_{d}} \cdот \mathrm{\kappa_{y,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdот \mathrm{\кappa_{y,I}} \)

\( \mathrm{\kappa_{y,f}} = 0.947 \cdот 22.0\,\mathrm{mrad/m} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdот 11.2\,\mathrm{mrad/m} = 21.4\,\mathrm{mrad/m} \)

6.4. Эффективные значения сечения

С использованием средней кривизны и коэффициента распределения рассчитываются конечные значения сечения с учетом ползучести и усадки:

• Расчёт эффективной площади сечения A_f :

\( \mathrm{A_{f}} = \dfrac{\mathrm{A_{I}} \cdот \mathrm{A_{II}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdот \mathrm{A_{I}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdот \mathrm{A_{II}}} \)

\( \mathrm{A_{f}} = \дfrac{0.41806\,\mathrm{м^2} \cdот 0.20544\,\mathrm{м^2}}{0.947 \cdот 0.41806\,\mathrm{м^2} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdот 0.20544\,\mathrm{м^2}} = 0.21118\,\mathrm{м^2} \)

• Эффективный момент инерции относительно центра сечения:

\( \mathrm{I_{y,f}} = \дfrac{\mathrm{I_{y,I}} \cdот \mathrm{I_{y,II}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdот \mathrm{I_{y,I}} \cdот \mathrm{k_{sh,y,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zета_{d}} \right) \cdот \mathrm{I_{y,II}} \cdот \mathrm{k_{sh,y,I}}} \)

\( \mathrm{I_{y,f}} = \dfrac{0.00080\,\mathrm{м^4} \cdот 0.00045\,\mathrm{м^4}}{0.947 \cdот 0.00080\,\mathrm{м^4} \cdот 1.347 + \left( 1 - 0.947 \right) \cdот 0.00045\,\mathrm{м^4} \cdот 1.227} = 0.00034\,\mathrm{м^4} \)

• Эксцентриситет центра тяжести e_z,f :

\( \mathrm{e_{z,f}} = \дfrac{\mathrm{\zeta_{d}} \cdот \mathrm{E_{c,eff}} \cdот \mathrm{I_{y,I}} \cdот \mathrm{e_{z,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdот \mathrm{E_{c,eff}} \cdот \mathrm{I_{y,II}} \cdот \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{\zёeta_{d}} \cdот \mathrm{E_{c,eff}} \cdот \mathrm{I_{y,I}} + \left( 1 - \mathrm{\zёeta_{d}} \right) \cdот \mathrm{E_{c,eff}} \cdот \mathrm{I_{y,II}}} \)

\( \mathrm{e_{z,f}} = \дfrac{0.947 \cdот 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdот 0.00080\,\mathrm{м^4} \cdот (-15.1)\,\mathrm{мм} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdот 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdот 0.00045\,\mathrm{м^4} \cdот 7.8\,\mathrm{мм}}{0.947 \cdот 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdот 0.00080\,\mathrm{м^4} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdот 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdот 0.00045\,\mathrm{м^4}} = -14.4\,\mathrm{мм} \)

• Эффективный момент инерции относительно геометрического центра сечения I_y,0,f :

\( \mathrm{I_{y,0,f}} = \mathrm{I_{y,f}} + \mathrm{A_{f}} \cdот \left( \mathrm{e_{z,f}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{I_{y,0,f}} = 0.00034\,\mathrm{м^4} + 0.21118\,\mathrm{м^2} \cdот \left( -14.4\,\mathrm{мм} \right)^{2} = 0.00039\,\mathrm{м^4} \)

6.5. Эффективные жесткости

• Мембранная жесткость EA_f :

\( \mathrm{EA_{f}} = \mathrm{E_{c,eff}} \cdот \mathrm{A_{f}} \)

\( \mathrm{EA_{f}} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdот 0.21118\,\mathrm{м^2} = 1458100.00\,\mathrm{kN} \)

• Тангенциальная жесткость при изгибе EI_y,0,f :

\( \mathrm{EI_{y,0,f}} = \mathrm{E_{c,eff}} \cdот \mathrm{I_{y,0,f}} \)

\( \mathrm{EI_{y,0,f}} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdот 0.00039\,\mathrm{м^4} \)

\( \mathrm{EI_{y,0,f}} = 2665.68\,\mathrm{kNm^2} \)

• Коэффициент для уменьшения сдвиговых жесткостей r_z :

\( \mathrm{r_{z}} = \dfrac{\mathrm{I_{y,f}}}{\mathrm{I_{y,I}}} \)

\( \mathrm{r_{z}} = \дfrac{0.00034\,\mathrm{м^4}}{0.00080\,\mathrm{м^4}} = 0.425 \)

• Сдвиговая жесткость GA_f

\( \mathrm{GA_{y,f}} = \mathrm{G_{c,eff}} \cdот \mathrm{A_{c,y}} \cdот \mathrm{r_{z}} \)

\( \mathrm{GA_{y,f}} = 2876.9\,\mathrm{N/mm^2} \cdот 0.29500\,\mathrm{м^2} \cdот 0.425 = 360953.00\,\mathrm{kN} \)

• Крутильная жесткость GI_T,F

\( \mathrm{GI_{T,f}} = \mathrm{GI_{T,I}} = 5865.88\,\mathrm{kNm^2} \)

• Эксцентричный элемент жесткости ES_y

\( \mathrm{ES_{y}} = \mathrm{EA_{f}} \cdот \mathrm{e_{z,f}} \)

\( \mathrm{ES_{y}} = 1458100.000\,\mathrm{kN} \cdот (-14.4)\,\mathrm{мм} = -20991.40\,\mathrm{kNm} \)

6.6. Расчет прогиба

Используя рассчитанные эффективные жесткости, RFEM 6 выполняет расчет деформации для квазипостоянной комбинации нагрузок:

• Прогиб u_z

\( \mathrm{u_{z}} = 30.1\,\mathrm{мм} \)

• Предельный прогиб u_z,lim

\( \mathrm{u_{z,lim}} = \дfrac{\mathrm{L_{z,ref}}}{\дfract{\mathrm{L_{z,ref}}}{\mathrm{u_{z,lim}}}} \)

\( \mathrm{u_{z,lim}} = \дfrac{3.600\,\mathrm{м}}{250.000} = 14.4\,\mathrm{мм} \)

• Критерий проверки η

\( \mathrm{\eta_z} = \left|\дfrac{\mathrm{u_{z}}}{\mathrm{u_{z,lim}}}\right| \)

\( \mathrm{\eta_z} = \left|\дfrac{30.1\,\mathrm{мм}}{14.4\,\mathrm{мм}}\right| = 2.090 > 1 \)

Вычисленный прогиб вдвое превышает допустимый предельный прогиб. Проверка не выполнена для квазипостоянной проектной ситуации.

7. Проверка прогиба для частой комбинации нагрузок

Так как только долговременные нагрузки (квазипостоянные проектные ситуации) вызывают ползучесть, эффекты ползучести не учитываются при расчете значений сечения для кратковременных нагрузок (частые и характерные проектные ситуации). Поэтому для этих расчетов используется средний модуль упругости бетона (E_cm = 29000 Н/мм²):

• Соотношение модулей E для ненарушенного состояния (Кратковременная нагрузка):

\( \mathrm{\alpha_{e,I,st}} = \дfrac{\mathrm{E_{s}}}{\mathrm{E_{cm}}} = \дfrac{200000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{29000.000\,\mathrm{N/mm^2}} = 6.90 \) Отношение α_e,I,st описывает соотношение жесткости стали к бетону под кратковременной нагрузкой и используется для расчета значений сечения.

Ненарушенное состояние
Параметр	Описание	Значение	Единица
αe,I	Отношение модулей E для ненарушенного состояния	6.90	[-]
My,Ed,def	Проектный изгибающий момент для расчета прогиба	54.43	кНм
zI	Расстояние до центра тяжести идеального сечения от бетонной поверхности при сжатии (ненарушенное)	77.1	мм
AI	Эффективная площадь сечения в ненарушенном состоянии	3692.53	см2
Iy,I	Эффективный момент инерции относительно центра тяжести в ненарушенном состоянии	70178.40	см4
ez,I	Эксцентриситет идеального центра тяжести в ненарушенном состоянии	2.1	мм
κy,I	Кривизна для ненарушенного состояния	2.7	мрад/м

Нарушенное состояние
Параметр	Описание	Значение	Единица
αe,II	Отношение модулей E для нарушенного состояния	6.90	[-]
zII	Расстояние до центра тяжести идеального сечения от бетонной поверхности при сжатии (нарушенное)	34.4	мм
AII	Эффективная площадь сечения в нарушенном состоянии	964.57	см2
Iy, II	Эффективный момент инерции относительно центра тяжести в нарушенном состоянии	16000.40	см4
ez,II	Эксцентриситет идеального центра тяжести в нарушенном состоянии	-40.6	мм
κy,II	Кривизна для нарушенного состояния	11.7	мрад/м

• Коэффициент распределения ζ_d :

\( \sigma_{\text{max}} = \дfrac{N_{\text{Ed}}}{A_{\text{I}}} + \дfrac{M_{y,\text{Ed,def}} - N_{\text{Ed}} \cdот \left( z_{\text{I}} - \дfrac{h}{2} \right)}{I_{y,\text{I}}} \cdот \left( h - z_{\text{I}} \right) \)

\( \sigma_{\text{max}} = \дfrac{0.000 \, \text{kN}}{3692.53 \, \text{см}^2} + \дfrac{54.43 \, \text{кНм} - 0.000 \, \text{kN} \cdот \left( 77.1 \, \text{мм} - \дfrac{150.0 \, \text{мм}}{2} \right)}{70178.40 \, \text{см}^4} \cdот \left( 150.0 \, \text{мм} - 77.1 \, \text{мм} \right) = 5.654 \, \text{Н/мм}^2 \)

Под кратковременной нагрузкой продолжительность воздействия нагрузки или коэффициент повторения β по DIN EN 1992‑1‑1, 7.4.3 (3), 1.0:

\( \zeta_d = 1 - \beta \cdот \left( \дfrac{f_{\text{ctм}}}{\sigma_{\text{max}}} \right)^2 \)

\( \zeta_d = 1 - 1.000 \cdот \left( \дfrac{1.900 \, \text{Н/мм}^2}{5.654 \, \text{Н/мм}^2} \right)^2 = 0.887 \)

Так как коэффициент распределения частой комбинации нагрузок меньше, коэффициент распределения квазипостоянной комбинации является определяющим:

\( \zeta_d = \zeta_{\text{max}} = 0.947 \)

Расчёт кривизны из ненарушенного и нарушенного состояния, конечных значений сечения и результирующих конечных жесткостей производят с использованием коэффициента распределения:

Эффективные сечения и жесткости для частой проектной ситуации
Параметр	Описание	Значение	Единица
κy,f	Кривизна из ненарушенного и нарушенного состояния	11.2	мрад/м
Af	Эффективная площадь сечения	1004.23	см2
Iy,f	Эффективный момент инерции относительно идеального центра сечения	16689.20	см⁴
ez,f	Эксцентриситет центра тяжести	-40.0	мм
Iy,0,f	Эффективный момент инерции относительно геометрического центра сечения	32796.10	см4
EAf	Мембранная жесткость	2912260.000	кН
EIy,0,f	Тангенциальная жесткость при изгибе	9510.86	кНм²
rz	Коэффициент для уменьшения сдвиговых жесткостей	0.238
GAf	Сдвиговая жесткость	847697.000	кН
GIt,f	Крутильная жесткость	24637.30	кНм²
ESy	Эксцентричный элемент жесткости	-116633.00	кНм

С этими конечными жесткостями RFEM рассчитывает деформацию частой кτρομένания гибкости: \( \mathrm{u_{z,ges,st}} = 14.4\,\mathrm{мм} \)

Расчет общей продольной деформации элемента под частыми нагрузками требует учета различных внеслнаских deформций, вызванных различными видами нагрузок и их воздействием на элемент. Для корректного определения фактической уретриной деформации необходимо различать дфектные и сувенирные деформации:

\( u_{z,ges} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,ges,st} - u_{z,QP,st} \right) \)

• Долговременная деформация u_z,QP,lt : Эта деформация вызывается ползучими нагрузками и учитывает эффекты ползучести, которые элемент будет испытывать в течение длительного времени. u_z,QP,lt = 15,6мм (Расчет в разделе 6).

• Кратковременная деформация u_z,ges,st : Эта деформация возникает сразу после воздействия частой нагрузки. u_z,ges,st = 14,4мм.

• Немедленная деформация от ползущей нагрузки u_z,QP,st : Эта деформация возникает немедленно после воздействия ползущих нагрузок и является немедленной реакцией элемента, до того как начнется ползучесть.

Общая уретрина деформация u_z,ges складывается из долговременной деформации u_z,QP,lt и разницы между кратковременной деформацией u_z,ges,st и немедленной деформацией ползущих нагрузок u_z,QP,st. Последняя вычитается, так как она уже содержится в кратковременной деформации u_z,ges,st. Следующая диаграмма наглядно иллюстрирует это, где различные области показывают отдельные виды деформации и их временное развитие:

\( u_{z,ges} = 30.1 \, \text{мм} + \left( 14.4 \, \text{мм} - 13.3 \, \text{мм} \right) = 31.2 \, \text{мм} \)

• Предельный прогиб u_z,lim

\( u_{z,lim} = \дfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}} \)

\( u_{z,lim} = \дfrac{3.600 \, \text{м}}{200.000} = 18.0 \, \text{мм} \)

• Критерий проверки η

\( \eta = \left| \дfrac{u_{z}}{u_{z,lim}} \right| \)

\( \eta = \left| \дfrac{31.2 \, \text{мм}}{18.0 \, \text{мм}} \right| = 1.733 \)

Проверка не выполнена для частной проектной ситуации.

8. Проверка прогиба для характерной комбинации нагрузок

Расчет выполняется так же, как и для частой комбинации нагрузок:

Ненарушенное состояние
Параметр	Описание	Значение	Единица
αe,I	Отношение модулей E для ненарушенного состояния	6.90	[-]
My,Ed,def	Проектный изгибающий момент для расчета прогиба	58.32	кНм
zI	Расстояние до центра тяжести идеального сечения от бетонной поверхности при сжатии (ненарушенное)	77.1	мм
AI	Эффективная площадь сечения в ненарушенном состоянии	3692.53	см2
Iy,I	Эффективный момент инерции относительно центра тяжести в ненарушенном состоянии	70178.40	см4
ez,I	Эксцентриситет идеального центра тяжести в ненарушенном состоянии	2.1	мм
κy,I	Кривизна для ненарушенного состояния	2.9	мрад/м

Нарушенное состояние
Параметр	Описание	Значение	Единица
αe,II	Отношение модулей E для нарушенного состояния	6.90	[-]
zII	Расстояние до центра тяжести идеального сечения от бетонной поверхности при сжатии (нарушенное)	34.4	мм
AII	Эффективная площадь сечения в нарушенном состоянии	964.57	см2
Iy, II	Эффективный момент инерции относительно центра тяжести в нарушенном состоянии	16000.40	см4
ez,II	Эксцентриситет идеального центра тяжести в нарушенном состоянии	-40.6	мм
κy,II	Кривизна для нарушенного состояния	12.6	мрад/м

Расчет коэффициента распределения также выполняется аналогично:

\( \sigma_{\text{max}} = \дfrac{N_{\text{Ed}}}{A_{\text{I}}} + \дfrac{M_{y,\text{Ed,def}} - N_{\text{Ed}} \cdот \left( z_{\text{I}} - \дfrac{h}{2} \right)}{I_{y,\text{I}}} \cdот \left( h - z_{\text{I}} \right) \)

\( \sigma_{\text{max}} = \дfrac{0.000 \, \text{kN}}{3692.53 \, \text{см}^2} + \дfrac{58.32 \, \text{кНм} - 0.000 \, \text{kN} \cdот \left( 77.1 \, \text{мм} - \дfrac{150.0 \, \text{мм}}{2} \right)}{70178.40 \, \text{см}^4} \cdот \left( 150.0 \, \text{мм} - 77.1 \, \text{мм} \right) = 6.058 \, \text{Н/мм}^2 \)

\( \zeta_d = 1 - \beta \cdот \left( \дfrac{f_{\text{ctм}}}{\sigma_{\text{max}}} \right)^2 \)

\( \zeta_d = 1 - 1.000 \cdот \left( \дfrac{1.900 \, \text{Н/мм}^2}{6.058 \, \text{Н/мм}^2} \right)^2 = 0.902\) > 0.947

\( \zeta_d = \zeta_{\text{max}} = 0.947 \)

Эффективные сечения и жесткости для частой проектной ситуации
Параметр	Описание	Значение	Единица
κy,f	Кривизна из ненарушенного и нарушенного состояния	12.0	мрад/м
Af	Эффективная площадь сечения	1004.23	см2
Iy,f	Эффективный момент инерции относительно идеального центра сечения	16689.20	см⁴
ez,f	Эксцентриситет центра тяжести	-40.0	мм
Iy,0,f	Эффективный момент инерции относительно геометрического центра сечения	32796.10	см4
EAf	Мембранная жесткость	2912260.000	кН
EIy,0,f	Жесткость на изгиб	9510.86	кНм²
rz	Коэффициент для уменьшения сдвиговых жесткостей	0.238
GAf	Сдвиговая жесткость	847697.000	кН
GIt,f	Крутильная жесткость	24637.30	кНм²
ESy	Эксцентричный элемент жесткости	-116633.00	кНм

С этими конечными жесткостями RFEM рассчитывает деформацию частой комбинации нагрузок: \( \mathrm{u_{z,ges,st}} = 15.5\,\mathrm{мм} \)

Общая деформация составляет: \( u_{z,ges} = 30.1 \, \text{мм} + \left( 15.5 \, \text{мм} - 13.3 \, \text{мм} \right) = 32.3 \, \text{мм} \)

• Предельный прогиб u_z,lim

\( u_{z,lim} = \дfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}} \)

\( u_{z,lim} = \дfrac{3.600 \, \text{м}}{100.000} = 36 \, \text{мм} \)

• Критерий проверки η

\( \eta = \left| \дfrac{u_{z}}{u_{z,lim}} \right| \)

\( \eta = \left| \дfrac{32.3 \, \text{мм}}{36.0 \, \text{мм}} \right| = 0.897 \)

Проверка выполнена для характерной проектной ситуации.