Cálculo de deformações de viga de betão armado com efeito de fluência devido a cargas permanentes

Primeiro, são explicados o modelo e os dados de entrada, incluindo materiais, cargas e as configurações para fluência e retração. De seguida, é detalhado o cálculo de deformações para a combinação de carga quase permanente. Por fim, mostra-se como os efeitos da fluência são incorporados nas deformações das situações de dimensionamento frequentes e características.

1. Dados de Entrada

Geometria

Sistema: Viga com vão único
Vão: l = 3.600 m
Largura: b = 2.360 m
Altura: h = 0.150 m
Altura efetiva: d = 0.126 m

Materiais

• Betão C16/20

Resistência característica à compressão: f_ck = 16.000 N/mm²
Resistência à tração média: f_ctm = 1.900 N/mm²
Módulo de elasticidade: E_cm = 29000.0 N/mm²

• Aço de armadura

Tensão de cedência característica: f_yk = 410.000 N/mm²
Módulo de elasticidade: E_s = 200000.0 N/mm²
Quantidade de armadura: 11 barras
Área de armadura: A_s,prov = 2210 mm²
Taxa de armadura: ρ = 0,743 %

Cargas

A viga de um vão com comprimento de 3,6 m está carregada pelas seguintes cargas distribuídas:

• Carga permanente: g_k = 12.000 kN/m
• Carga variável: q_k = 24.000 kN/m

Para a análise de deformações de acordo com o EC2, são consideradas três combinações de ações características:

• Combinação quase permanente:

g_k + ψ₂·q_k = 12.000 + 0.8 × 24.000 = 31.2 kN/m

• Combinação frequente:

g_k + ψ₁·q_k = 12.000 + 0.9 × 24.000 = 33.6 kN/m

• Combinação característica:

g_k + q_k = 12.000 + 24.0 = 36.000 kN/m

2. Esforços internos

Os momentos de flexão no centro do vão são calculados como:

Característico: M_Ed,char. = 58.320 kNm
Frequente: M_Ed,Frequente = 54.430 kNm
Quase permanente: M_Ed,Qs = 50.540 kNm

3. Propriedades do betão dependentes do tempo

Para incluir os efeito da fluência e retração no dimensionamento, é necessário ativar estas propriedades nas propriedades do material de betão.

Para introduzir manualmente os valores de fluência e retração, as propriedades dependentes do tempo do betão na seção transversal da viga devem ser ativadas.

As propriedades introduzidas manualmente do coeficiente fluência calculado φ₀ e a deformação básica de retração por secagem ε_cd,0, resulta numa relação de fluência efetiva de φ_(t|t₀) = 3.2 numa retração total resultante ε_cs(∞) = −0.6 ‰. Estes valores são utilizados como parâmetros de entrada para a análise subsequente das deformações do betão a longo prazo.

4. Requisitos da deformação

Os limites admissíveis para a deformação são :

• Deformação de longo prazo sujeito a ação quase permanente:

f_lim,qp = l/250 = 3600/250 = 14.4 mm

• Deformação de curto prazo sujeito a combinação de carga frequente:

f_lim,freq = l/200 = 3600/200 = 18.0 mm

• Deformação de curto prazo sujeito a combinação de carga característica:

f_lim,char = l/100 = 3600/100 = 36.0 mm

Por defeito, a análise da deformação apenas é realizada para a situação de dimensionamento quase permanente. Para que o cálculo seja feito também para as situações de dimensionamento frequente e característica, a opção Atribuição definida pelo utilizador do tipo de situação de dimensionamento na configuração do estado limite de utilização deve ser ativada. Após ativar esta opção, os limites de deformação admissíveis para cada situação de dimensionamento ativada devem ser especificados.

5. Detecção das condições de fendilhação

A detecção das condições de fendilhação pode ser definida nas configurações do estado limite de utilização.
O estado de fendilhação influencia o cálculo do coeficiente de distribuição ζ_d:

• Quando a opção Estado de fendilhação calculado a partir de carga correspondente é ativada, ζ_d é calculado exclusivamente com base na carga atual (combinação de carga).
• Se a opção Estado de fendilhação da combinação de carga correspondente à situação de dimensionamento de serviço a partir da carga correspondente estiver ativada, o cálculo de ζ_d é feito como o máximo de todas as cargas correspondentes. Neste exemplo, é selecionada esta opção.

6. Cálculo de deformação para a combinação de carga quase permanente

6.1. Curvatura para estado não fendilhado

a) Módulo de elasticidade e relações de módulo de elasticidade

• Módulo de elasticidade efetivo do betão:

\(
\mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{\mathrm{E_{cm}}}{1 + \varphi} = \dfrac{29000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{1 + 3.200} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2}
\)
Os efeitos da fluência são considerados por meio de uma redução do módulo de elasticidade. O efeito da fluência é incluída através do coeficiente de fluência final φ.

• Relação dos módulos de elasticidade para estados não fendilhado e fendilhado:

\(
\mathrm{\alpha_{e,I}} = \mathrm{\alpha_{e,II}} = \dfrac{\mathrm{E_{s}}}{\mathrm{E_{c,I}}} = \dfrac{200000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2}} = 28.97
\)

• Momento fletor de cálculo para a análise de deformação:

\(
\mathrm{M_{y,Ed,def}} = \left| \mathrm{M_{y,Ed,def}} \right| = \left| 50.54\,\mathrm{kNm} \right| = 50.54\,\mathrm{kNm}
\)

b) Propriedades da seção no estado I

• Distância do centro de gravidade da seção ideal da superfície de betão sob compressão (determinado para o estado não fendilhado):

\(
\mathrm{z_{I}} = \dfrac{\mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \dfrac{\mathrm{h}}{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (superior)}} \right)}{\mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \right)}
\)

\(
\mathrm{z_{I}} = \dfrac{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right)}{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right)} = 82.8\,\mathrm{mm}
\)

• Área da seção efetiva no estado não fendilhado:

\(
\mathrm{A_{I}} = \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \right)
\)

\(
\mathrm{A_{I}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right) = 0.41806\,\mathrm{m^2}
\)

• Momento de inércia efetivo em torno do centro de gravidade da seção no estado não fendilhado:

\(
\mathrm{I_{y,I}} = \mathrm{b} \cdot \dfrac{\left(\mathrm{h}\right)^{3}}{12} + \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \left( z_{I} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} \cdot \left( \mathrm{d_{def,+z (inferior)}} - z_{I} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \cdot \left( z_{I} - \mathrm{d_{def,-z (superior)}} \right)^{2}
\)

\(
\mathrm{I_{y,I}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{\left(150.0\,\mathrm{mm}\right)^{3}}{12} + 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right)^{2} + 28.97 \cdot 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 126.0\,\mathrm{mm} - 82.8\,\mathrm{mm} \right)^{2} + 28.97 \cdot 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - 75.0\,\mathrm{mm} \right)^{2} = \mathrm{I_{y,I}} = 0.00080\,\mathrm{m^4}
\)

• Excentricidade do centro de gravidade ideal no estado não fendilhado:

\(
\mathrm{e_{z,I}} = z_{I} - \dfrac{\mathrm{h}}{2}
\)

\(
\mathrm{e_{z,I}} = 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} = 7.8\,\mathrm{mm}
\)

c) Retração - Estado I

• Força adicional devido à retração livre

\(
\mathrm{N_{sh}} = - \mathrm{E_{s}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{sh}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (superior)}} \right)
\)

\(
\mathrm{N_{sh}} = -200000.000\,\mathrm{N/mm^2} \cdot -0.600\,\text{‰} \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right) = 265.402\,\mathrm{kN}
\)

• Excentricidade da força de retração em relação ao centro de gravidade da seção ideal no estado não fendilhado

\(
\mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{\mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (superior)}}}{\mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}}} - \mathrm{z_{I}}
\)

\(
\mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm}}{22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2}} - 82.8\,\mathrm{mm} = 43.2\,\mathrm{mm}
\)

• Momento de flexão devido à força normal \(N_{sh}\) para estado não fendilhado

\(
\mathrm{M_{sh,y,I}} = \mathrm{N_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,I}}
\)

\(
\mathrm{M_{sh,y,I}} = 265.402\,\mathrm{kN} \cdot 43.2\,\mathrm{mm} = 11.46\,\mathrm{kNm}
\)

• Coeficiente de curvatura para estado não fendilhado

O coeficiente de curvatura indica como o momento de retração atua em relação à força axial e à excentricidade. Este mostra como a distribuição da força de retração e a localização do centro de gravidade afetam as deformações do componente estrutural. Este valor é crucial para descrever completamente as deformações da seção transversal devido à retração:

\(
\mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,I}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}
\)

\(
\mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{11.46\,\mathrm{kNm} + 50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}} = 1.227
\)

A curvatura no estado não fendilhado, considerando fluência e retração, é:

\(
\mathrm{\kappa_{y,I}} = \mathrm{k_{sh,y,I}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}}}
\)

\(
\mathrm{\kappa_{y,II}} = 1.227 \cdot \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4}} = 11.2\,\mathrm{mrad/m}
\)

6.2. Curvatura para o estado fendilhado

a) Propriedades da seção no estado II

• Distância do centro de gravidade da seção ideal à superfície de betão sob compressão (determinada para o estado fendilhado):

\(
\mathrm{z_{II}} = \dfrac{\mathrm{b} \cdot \mathrm{x_{II}} \cdot \dfrac{\mathrm{x_{II}}}{2} + \alpha_{e,II} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (superior)}} \right)}{\mathrm{b} \cdot \mathrm{x_{II}} + \alpha_{e,II} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \right)}
\)

\(
\mathrm{z_{II}} = \dfrac{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 59.9\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{59.9\,\mathrm{mm}}{2} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right)}{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 59.9\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right)} = 59.9\,\mathrm{mm}
\)

• Área da seção efetiva no estado fendilhado:

\(
\mathrm{A_{II}} = \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \right)
\)

\(
\mathrm{A_{II}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 6.90 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right) = 0.36925\,\mathrm{m^2}
\)

• Momento de inércia efetivo em torno do centro de gravidade da secção no estado fendilhado:

\(
\mathrm{I_{y,II}} = \mathrm{b} \cdot \dfrac{\left(\mathrm{h}\right)^{3}}{12} + \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \left( \mathrm{z_{II}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} \cdot \left( \mathrm{d_{def,+z (inferior)}} - \mathrm{z_{II}} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \cdot \left( \mathrm{z_{II}} - \mathrm{d_{def,-z (superior)}} \right)^{2}
\)

\(
\mathrm{I_{y,II}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{\left(150.0\,\mathrm{mm}\right)^{3}}{12} + 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \left( 77.1\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right)^{2} + 6.90 \cdot 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 126.0\,\mathrm{mm} - 77.1\,\mathrm{mm} \right)^{2} + 6.90 \cdot 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 77.1\,\mathrm{mm} - 75.0\,\mathrm{mm} \right)^{2} = 0.00070\,\mathrm{m^4}
\)

• Excentricidade do centro de gravidade da seção ideal no estado fendilhado:

\(
\mathrm{e_{z,II}} = \mathrm{z_{II}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2}
\)

\(
\mathrm{e_{z,II}} = 77.1\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} = -15.1\,\mathrm{mm}
\)

b) Retração - Estado II

• Cálculo da distância excêntrica no estado II:

\(
\mathrm{e_{sh,z,II}} = \dfrac{\mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (superior)}}}{\mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}}} - \mathrm{z_{II}}
\)
\(
\mathrm{e_{sh,z,II}} = \dfrac{22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm}}{22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2}} - 59.9\,\mathrm{mm} = 66.1\,\mathrm{mm}
\)

• Cálculo do momento de flexão M_sh,y,II :

\(
\mathrm{M_{sh,y,II}} = \mathrm{N_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,II}}
\)

\(
\mathrm{M_{sh,y,II}} = 265.402\,\mathrm{kN} \cdot 66.1\,\mathrm{mm} = 17.54\,\mathrm{kNm}
\)

• Cálculo do fator de curvatura k_sh,y,II :

\(
\mathrm{k_{sh,y,II}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,II}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}
\)

\(
\mathrm{k_{sh,y,II}} = \dfrac{17.54\,\mathrm{kNm} + 50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}}{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}} = 1.347
\)

A curvatura no estado fendilhado, considerando fluência e retração, é:

\(
\mathrm{\kappa_{y,II}} =\mathrm{k_{sh,y,II}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{\mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}}
\)

\(
\mathrm{\kappa_{y,II}} = 1.347 \cdot \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}} = 22.0\,\mathrm{mrad/m}
\)

6.3. Curvatura para o estado fendilhado e não fendilhado

• Cálculo da tensão máxima σ_max,lt :

\(
\mathrm{\sigma_{max,lt}} = \dfrac{\mathrm{N_{Ed}} + \mathrm{N_{sh}}}{\mathrm{A_{I}}} + \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \left( \mathrm{z_{I}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right) + \mathrm{M_{sh,y,I}}}{\mathrm{I_{y,I}}} \cdot \left( \mathrm{h} - \mathrm{z_{I}} \right)
\)

\(
\mathrm{\sigma_{max,lt}} = \dfrac{0.000\,\mathrm{kN} + 265.402\,\mathrm{kN}}{0.41806\,\mathrm{m^2}} + \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right) + 11.46\,\mathrm{kNm}}{0.00080\,\mathrm{m^4}} \cdot \left( 150.0\,\mathrm{mm} - 82.8\,\mathrm{mm} \right) = 5.811\,\mathrm{N/mm^2}
\)

• Cálculo do coeficiente de distribuição ζ_d :

\(
\mathrm{\zeta_{d}} = 1 - \mathrm{\beta} \cdot \left( \frac{\mathrm{f_{ctm}}}{\mathrm{\sigma_{max}}} \right)^{2}
\)

\(
\mathrm{\zeta_{d}} = 1 - 0.500 \cdot \left( \frac{1.900\,\mathrm{N/mm^2}}{5.811\,\mathrm{N/mm^2}} \right)^{2} = 0.947
\)

O coeficiente de distribuição é calculado também para as combinações de carga correspondentes (CC1 e CC2). O maior resultado é determinante. Neste caso, o coeficiente de distribuição da combinação de carga quase permanente CC3 é o maior e, portanto, determinante:
\(
\mathrm{\zeta_{d}} = \mathrm{\zeta_{d,max}} = 0.947
\)

• Cálculo da curvatura κ_y,f :

\(
\mathrm{\kappa_{y,f}} = \mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{\kappa_{y,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{\kappa_{y,I}}
\)

\(
\mathrm{\kappa_{y,f}} = 0.947 \cdot 22.0\,\mathrm{mrad/m} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 11.2\,\mathrm{mrad/m} = 21.4\,\mathrm{mrad/m}
\)

6.4. Valores de seção efetivos

A área da secção transversal final é calculada através da curvatura média e o coeficiente de distribuição, considerando a fluência e a retração:

• Cálculo da área de secção ideal A_f :

\(
\mathrm{A_{f}} = \dfrac{\mathrm{A_{I}} \cdot \mathrm{A_{II}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{A_{I}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{A_{II}}}
\)

\(
\mathrm{A_{f}} = \dfrac{0.41806\,\mathrm{m^2} \cdot 0.20544\,\mathrm{m^2}}{0.947 \cdot 0.41806\,\mathrm{m^2} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 0.20544\,\mathrm{m^2}} = 0.21118\,\mathrm{m^2}
\)

• Momento de inércia ideal relativo ao centro de seção ideal:

\(
\mathrm{I_{y,f}} = \dfrac{\mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{k_{sh,y,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{I_{y,II}} \cdot \mathrm{k_{sh,y,I}}}
\)

\(
\mathrm{I_{y,f}} = \dfrac{0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}}{0.947 \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot 1.347 + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4} \cdot 1.227} = 0.00034\,\mathrm{m^4}
\)

• Excentricidade do centro de gravidade e_z,f :

\(
\mathrm{e_{z,f}} = \dfrac{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{e_{z,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}}
\)

\(
\mathrm{e_{z,f}} = \dfrac{0.947 \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot (-15.1)\,\mathrm{mm} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{0.947 \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}} = -14.4\,\mathrm{mm}
\)

• Momento de inércia ideal relativo ao centro geométrico I_y,0,f :

\(
\mathrm{I_{y,0,f}} = \mathrm{I_{y,f}} + \mathrm{A_{f}} \cdot \left( \mathrm{e_{z,f}} \right)^{2}
\)

\(
\mathrm{I_{y,0,f}} = 0.00034\,\mathrm{m^4} + 0.21118\,\mathrm{m^2} \cdot \left( -14.4\,\mathrm{mm} \right)^{2} = 0.00039\,\mathrm{m^4}
\)

6.5. Rigidezes finais

• Rigidez de membrana tangencial EA_f :

\(
\mathrm{EA_{f}} = \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{A_{f}}
\)

\(
\mathrm{EA_{f}} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.21118\,\mathrm{m^2} = 1458100.00\,\mathrm{kN}
\)

• Rigidez à flexão tangencial EI_y,0,f :

\(
\mathrm{EI_{y,0,f}} = \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,0,f}}
\)

\(
\mathrm{EI_{y,0,f}} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00039\,\mathrm{m^4}
\)

\(
\mathrm{EI_{y,0,f}} = 2665.68\,\mathrm{kNm^2}
\)

• Fator de redução das rigidezes ao corte r_z :

\(
\mathrm{r_{z}} = \dfrac{\mathrm{I_{y,f}}}{\mathrm{I_{y,I}}}
\)

\(
\mathrm{r_{z}} = \dfrac{0.00034\,\mathrm{m^4}}{0.00080\,\mathrm{m^4}} = 0.425
\)

• Rigidez ao corte GA_f

\(
\mathrm{GA_{y,f}} = \mathrm{G_{c,eff}} \cdot \mathrm{A_{c,y}} \cdot \mathrm{r_{z}}
\)

\(
\mathrm{GA_{y,f}} = 2876.9\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.29500\,\mathrm{m^2} \cdot 0.425 = 360953.00\,\mathrm{kN}
\)

• Rigidez à torção GI_T,F

\(
\mathrm{GI_{T,f}} = \mathrm{GI_{T,I}} = 5865.88\,\mathrm{kNm^2}
\)

• Elemento de rigidez excêntrico ES_y

\(
\mathrm{ES_{y}} = \mathrm{EA_{f}} \cdot \mathrm{e_{z,f}}
\)

\(
\mathrm{ES_{y}} = 1458100.000\,\mathrm{kN} \cdot (-14.4)\,\mathrm{mm} = -20991.40\,\mathrm{kNm}
\)

6.6. Análise de deformação

Com as rigidezes finais calculadas, o RFEM 6 realiza o cálculo de deformações para a combinação de carga quase permanente:

• Deformação u_z

\(
\mathrm{u_{z}} = 30.1\,\mathrm{mm}
\)

• Deformação limite u_z,lim

\(
\mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{\mathrm{L_{z,ref}}}{\dfrac{\mathrm{L_{z,ref}}}{\mathrm{u_{z,lim}}}}
\)

\(
\mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{3.600\,\mathrm{m}}{250.000} = 14.4\,\mathrm{mm}
\)

• Critério de dimensionamento η

\(
\mathrm{\eta_z} = \left|\dfrac{\mathrm{u_{z}}}{\mathrm{u_{z,lim}}}\right|
\)

\(
\mathrm{\eta_z} = \left|\dfrac{30.1\,\mathrm{mm}}{14.4\,\mathrm{mm}}\right| = 2.090 > 1
\)

A deformação calculada é o dobro da deflexão limite admissível. Portanto, o critério não é atendido na situação de dimensionamento quase permanente.

7. Análise da deformação para a combinação de carga frequente

Como apenas as cargas permanentes (situações de dimensionamento quase permanente) provocam fluência, os efeitos de fluência são omitidos no cálculo dos valores de seção para cargas de curto prazo (situações de dimensionamento frequente e característico). Portanto, é utilizado o módulo de elasticidade médio do betão (E_cm = 29000 N/mm²) nesses cálculos:

• Relação dos módulos de elasticidade para estado não fendilhado (carga de curto prazo):

\(
\mathrm{\alpha_{e,I,st}} = \dfrac{\mathrm{E_{s}}}{\mathrm{E_{cm}}} = \dfrac{200000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{29000.000\,\mathrm{N/mm^2}} = 6.90
\)
A relação α_e,I,st descreve a razão de rigidez entre aço e betão sob carga de curto prazo e é usada para o cálculo dos valores de seção.

Estado não fendilhado
Parâmetro	Descrição	Valor	Unidade
αe,I	Relação dos módulos de elasticidade para estado não fendilhado	6.90	[-]
My,Ed,def	Momento de flexão de cálculo para a análise de deformação	54.43	kNm
zI	Distância do centro de gravidade da seção ideal à superfície de betão sob compressão (não fendilhado)	77.1	mm
AI	Área da seção efetiva no estado não fendilhado	3692.53	cm2
Iy,I	Momento de inércia efetivo em torno do centro de gravidade da seção ideal no estado não fendilhado	70178.40	cm4
ez,I	Excentricidade do centro de gravidade da seção ideal no estado não fendilhado	2.1	mm
κy,I	Curvatura para estado não fendilhado	2.7	mrad/m

Estado fendilhado
Parâmetro	Descrição	Valor	Unidade
αe,II	Relação dos módulos de elasticidade para estado fissurado	6.90	[-]
zII	Distância do centro de gravidade da seção ideal à superfície de betão sob compressão (fendilhado)	34.4	mm
AII	Área da seção efetiva no estado fendilhado	964.57	cm2
Iy, II	Momento de inércia efetivo em torno do centro de gravidade da seção ideal no estado fendilhado	16000.40	cm4
ez,II	Excentricidade do centro de gravidade da seção ideal no estado fendilhado	-40.6	mm
κy,II	Curvatura para estado fendilhado	11.7	mrad/m

• Coeficiente de distribuição ζ_d :

\(
\sigma_{\text{max}} = \dfrac{N_{\text{Ed}}}{A_{\text{I}}} + \dfrac{M_{y,\text{Ed,def}} - N_{\text{Ed}} \cdot \left( z_{\text{I}} - \dfrac{h}{2} \right)}{I_{y,\text{I}}} \cdot \left( h - z_{\text{I}} \right)
\)

\(
\sigma_{\text{max}} = \dfrac{0.000 \, \text{kN}}{3692.53 \, \text{cm}^2} + \dfrac{54.43 \, \text{kNm} - 0.000 \, \text{kN} \cdot \left( 77.1 \, \text{mm} - \dfrac{150.0 \, \text{mm}}{2} \right)}{70178.40 \, \text{cm}^4} \cdot \left( 150.0 \, \text{mm} - 77.1 \, \text{mm} \right) = 5.654 \, \text{N/mm}^2
\)

Sujeito a carga de curto prazo, o tempo de duração da carga ou o coeficiente de repetição β de acordo com a DIN EN 1992‑1‑1, 7.4.3 (3), é 1.0:

\(
\zeta_d = 1 - \beta \cdot \left( \dfrac{f_{\text{ctm}}}{\sigma_{\text{max}}} \right)^2
\)

\(
\zeta_d = 1 - 1.000 \cdot \left( \dfrac{1.900 \, \text{N/mm}^2}{5.654 \, \text{N/mm}^2} \right)^2 = 0.887
\)

Como o coeficiente de distribuição da combinação de carga frequente é menor, o coeficiente de distribuição da combinação de carga quase permanente é o determinante:

\(
\zeta_d = \zeta_{\text{max}} = 0.947
\)

O coeficiente de distribuição e utilizado para o cálculo da curvatura dos estados não fendilhado e fendilhado, as propriedades finais da seção e as rigidezes finais resultantes:

Seções e rigidezes finais para a situação de dimensionamento frequente
Parâmetro	Descrição	Valor	Unidade
κy,f	Curvatura dos estados não fendilhado e fendilhado	11.2	mrad/m
Af	Área de seção ideal	1004.23	cm2
Iy,f	Momento de inércia efetivo em torno do centro ideal da seção	16689.20	cm⁴
ez,f	Excentricidade do centro de gravidade	-40.0	mm
Iy,0,f	Momento de inércia efetivo no centro geométrico da seção	32796.10	cm4
EAf	Rigidez de membrana tangencial	2912260.000	kN
EIy,0,f	Rigidez à flexão tangencial	9510.86	kNm²
rz	Fator para redução das rigidezes ao corte	0.238
GAf	Rigidez ao corte	847697.000	kN
GIt,f	Rigidez à torção	24637.30	kNm²
ESy	Elemento de rigidez excêntrico	-116633.00	kNm

O RFEM calcula a deformação da combinação de carga frequente utilizando essas rigidezes finais:
\(
\mathrm{u_{z,ges,st}} = 14.4\,\mathrm{mm}
\)

O cálculo da deformação total do componente estrutural sujeito a cargas frequentes exige a consideração de diferentes contribuições de deformação, que resultam de diferentes tipos de carga e dos seus respectivos efeitos sobre o componente. As deformações de longo prazo e de curto prazo devem ser tratadas de forma diferenciada para determinar corretamente a deformação real:

\(
u_{z,ges} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,ges,st} - u_{z,QP,st} \right)
\)

• Deformação de longo prazo u_z,QP,lt : Esta deformação é causada por cargas que geram fluência e considera os efeitos de fluência que o componente estrutural experimentará a longo prazo. u_z,QP,lt = 15.6mm (Calculado na Seção 6).

• Deformação de curto prazo u_z,ges,st : Esta deformação ocorre imediatamente após a aplicação de cargas frequentes. u_z,ges,st = 14.4mm.

• Deformação imediata devido à carga que gera fluência u_z,QP,st : Esta deformação ocorre imediatamente após a aplicação das cargas que geram fluência e é a resposta imediata do componente, antes do início da fluência.

A deformação total u_z,ges é composta pela deformação de longo prazo u_z,QP,lt e a diferença entre a deformação de curto prazo u_z,ges,st e a deformação imediata das cargas que geram fluência u_z,QP,st. Esta última é subtraída, uma vez que já está incluída na deformação de curto prazo u_z,ges,st. O diagrama a seguir ilustra isso, mostrando como diferentes áreas representam os tipos de deformação e o seu desenvolvimento temporal:

\(
u_{z,ges} = 30.1 \, \text{mm} + \left( 14.4 \, \text{mm} - 13.3 \, \text{mm} \right) = 31.2 \, \text{mm}
\)

• Deflexão limite u_z,lim

\(
u_{z,lim} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}}
\)

\(
u_{z,lim} = \dfrac{3.600 \, \text{m}}{200.000} = 18.0 \, \text{mm}
\)

• Critério de verificação η

\(
\eta = \left| \dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}} \right|
\)

\(
\eta = \left| \dfrac{31.2 \, \text{mm}}{18.0 \, \text{mm}} \right| = 1.733
\)

O critério de verificação não é cumprido para a situação de dimensionamento frequente.

8. Análise da deformação para a combinação de carga característica

O cálculo é realizado como na combinação de carga frequente:

Estado não fendilhado
Parâmetro	Descrição	Valor	Unidade
αe,I	Relação dos módulos de elasticidade para estado não fendilhado	6.90	[-]
My,Ed,def	Momento de flexão de cálculo para a análise de deformação	58.32	kNm
zI	Distância do centro de gravidade da seção ideal à superfície de betão sob compressão (não fendilhado)	77.1	mm
AI	Área da seção efetiva no estado não fendilhado	3692.53	cm2
Iy,I	Momento de inércia efetivo em torno do centro de gravidade da seção ideal no estado não fendilhado	70178.40	cm4
ez,I	Excentricidade do centro de gravidade da seção ideal no estado não fendilhado	2.1	mm
κy,I	Curvatura para estado não fendilhado	2.9	mrad/m

Estado fendilhado
Parâmetro	Descrição	Valor	Unidade
αe,II	Relação dos módulos de elasticidade para estado fendilhado	6.90	[-]
zII	Distância do centro de gravidade da seção ideal à superfície do betão sob compressão (fendilhado)	34.4	mm
AII	Área da seção efetiva no estado fendilhado	964.57	cm2
Iy, II	Momento de inércia efetivo em torno do centro de gravidade da seção ideal no estado fendilhado	16000.40	cm4
ez,II	Excentricidade do centro de gravidade da seção ideal no estado fendilhado	-40.6	mm
κy,II	Curvatura para estado fendilhado	12.6	mrad/m

O cálculo do coeficiente de distribuição também é feito de forma análoga:

\(
\sigma_{\text{max}} = \dfrac{N_{\text{Ed}}}{A_{\text{I}}} + \dfrac{M_{y,\text{Ed,def}} - N_{\text{Ed}} \cdot \left( z_{\text{I}} - \dfrac{h}{2} \right)}{I_{y,\text{I}}} \cdot \left( h - z_{\text{I}} \right)
\)

\(
\sigma_{\text{max}} = \dfrac{0.000 \, \text{kN}}{3692.53 \, \text{cm}^2} + \dfrac{58.32 \, \text{kNm} - 0.000 \, \text{kN} \cdot \left( 77.1 \, \text{mm} - \dfrac{150.0 \, \text{mm}}{2} \right)}{70178.40 \, \text{cm}^4} \cdot \left( 150.0 \, \text{mm} - 77.1 \, \text{mm} \right) = 6.058 \, \text{N/mm}^2
\)

\(
\zeta_d = 1 - \beta \cdot \left( \dfrac{f_{\text{ctm}}}{\sigma_{\text{max}}} \right)^2
\)

\(
\zeta_d = 1 - 1.000 \cdot \left( \dfrac{1.900 \, \text{N/mm}^2}{6.058 \, \text{N/mm}^2} \right)^2 = 0.902\) > 0.947

\(
\zeta_d = \zeta_{\text{max}} = 0.947
\)

Seções e rigidezes efetivas para a situação de dimensionamento característica
Parâmetro	Descrição	Valor	Unidade
κy,f	Curvatura dos estados não fendilhado e fendilhado	12.0	mrad/m
Af	Área de seção efetiva	1004.23	cm2
Iy,f	Momento de inércia efetivo em torno do centro ideal da seção	16689.20	cm⁴
ez,f	Excentricidade do centro de gravidade	-40.0	mm
Iy,0,f	Momento de inércia efetivo no centro geométrico da seção	32796.10	cm4
EAf	Rigidez de membrana tangencial	2912260.000	kN
EIy,0,f	Rigidez à flexão fendilhado	9510.86	kNm²
rz	Fator para redução das rigidezes ao corte	0.238
GAf	Rigidez ao corte	847697.000	kN
GIt,f	Rigidez à torção	24637.30	kNm²
ESy	Elemento de rigidez excêntrico	-116633.00	kNm

Com estas rigidezes finais, o RFEM calcula a deformação da combinação de carga frequente:
\(
\mathrm{u_{z,ges,st}} = 15.5\,\mathrm{mm}
\)

A deformação total é então:
\(
u_{z,ges} = 30.1 \, \text{mm} + \left( 15.5 \, \text{mm} - 13.3 \, \text{mm} \right) = 32.3 \, \text{mm}
\)

• Deflexão limite u_z,lim

\(
u_{z,lim} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}}
\)

\(
u_{z,lim} = \dfrac{3.600 \, \text{m}}{100.000} = 36 \, \text{mm}
\)

• Critério de verificação η

\(
\eta = \left| \dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}} \right|
\)

\(
\eta = \left| \dfrac{32.3 \, \text{mm}}{36.0 \, \text{mm}} \right| = 0.897
\)

O critério é cumprido para a situação de dimensionamento característica.