Cálculo de deformações de viga de betão armado com efeito de fluência de cargas permanentes

Primeiro, o modelo e os dados de entrada, incluindo materiais, cargas e as configurações para fluência e retração, são explicados. Em seguida, segue-se o cálculo detalhado de deformações para a combinação de carga quase permanente. Por fim, mostra-se como os efeitos da fluência são incorporados nas deformações das situações de dimensionamento frequentes e características.

1. Dados de Entrada

Geometria

Sistema: Viga com vão único Vão: l = 3.600 m Largura: b = 2.360 m Altura: h = 0.150 m Altura útil estática: d = 0.126 m

Materiais

• Concreto C16/20

Resistência característica à compressão: f_ck = 16.000 N/mm² Resistência característica à tração média: f_ctm = 1.900 N/mm² Módulo de elasticidade: E_cm = 29000.0 N/mm²

• Aço de armadura

Resistência característica ao escoamento: f_yk = 410.000 N/mm² Módulo de elasticidade: E_s = 200000.0 N/mm² Quantidade de armadura: 11 barras Área de armadura: A_s,prov = 2210 mm² Taxa de armadura: ρ = 0,743 %

Cargas

A viga de um vão com comprimento de 3,6 m está carregada pelas seguintes cargas distribuídas:

• Carga permanente: g_k = 12.000 kN/m
• Carga variável: q_k = 24.000 kN/m

Para o cálculo de deformações de acordo com a EC2, três combinações de carregamento características são consideradas:

• Combinação quase permanente:

g_k + ψ₂·q_k = 12.000 + 0.8 × 24.000 = 31.2 kN/m

• Combinação frequente:

g_k + ψ₁·q_k = 12.000 + 0.9 × 24.000 = 33.6 kN/m

• Combinação característica:

g_k + q_k = 12.000 + 24.0 = 36.000 kN/m

2. Esforços internos

Os momentos de flexão no centro do vão são calculados como:

Característico: M_Ed,char. = 58.320 kNm Frequente: M_Ed,Frequente = 54.430 kNm Quase permanente: M_Ed,Qs = 50.540 kNm

3. Propriedades dependentes do tempo do concreto

Para capturar o efeito da fluência e retração no dimensionamento, é necessário ativar estas propriedades nas características do material de concreto.

Para permitir a entrada manual dos valores de fluência e retração, as propriedades dependentes do tempo do concreto na seção transversal da viga devem ser ativadas. Com base nos valores inseridos manualmente para o número de fluência calculado φ₀ e a deformação básica de retração por secagem ε_cd,0, resulta um número de fluência efetivo de φ_(t|t₀) = 3.2 bem como uma deformação total de retração de ε_cs(∞) = −0.6 ‰. Estes valores são utilizados como parâmetros de entrada para a análise subsequente das deformações de concreto em longo prazo.

4. Requisitos de deflexão

Os limites admissíveis para deflexão são assumidos da seguinte forma:

• Deflexão de longo prazo sob ação quase permanente:

f_lim,qp = l/250 = 3600/250 = 14.4 mm

• Deflexão de curto prazo sob combinação de carga frequente:

f_lim,freq = l/200 = 3600/200 = 18.0 mm

• Deflexão de curto prazo sob combinação de carga característica:

f_lim,char = l/100 = 3600/100 = 36.0 mm

O cálculo da deflexão é conduzido normalmente apenas para a situação de dimensionamento quase permanente. Para que o cálculo seja feito também para as situações de dimensionamento frequente e característica, a opção Atribuição personalizada do tipo de situação de dimensionamento na configuração de serviço deve ser ativada. Após ativar esta opção, os limites de deflexão admissíveis para cada situação de dimensionamento ativada devem ser especificados.

5. Detecção de estados de fissuramento

A detecção do estado de fissuração pode ser configurada nas configurações de serviço. O estado de fissuração influencia o cálculo do coeficiente de distribuição ζ_d:

• Quando a opção Estado de fissuração calculado a partir de carga correspondente é ativada, ζ_d é calculado exclusivamente com base na carga atual (combinação de carga).
• Se a opção Estado de fissuração da combinação de carga correspondente à situação de dimensionamento de serviço a partir da carga correspondente estiver ativada, o cálculo de ζ_d é feito como o máximo de todas as cargas correspondentes. Neste exemplo, esta opção foi selecionada.

6. Cálculo de deflexão para a combinação de carga quase permanente

6.1. Curvatura para estado não fissurado

a) Módulo de elasticidade e relações de módulo de elasticidade

• Módulo de elasticidade efetivo do concreto:

\( \mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{\mathrm{E_{cm}}}{1 + \varphi} = \dfrac{29000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{1 + 3.200} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \) Os efeitos de fluência são considerados por meio de uma redução do módulo de elasticidade. A influência de fluência é integrada através do número de fluência final φ.

• Relação dos módulos de elasticidade para estados não fissurado e fissurado:

\( \mathrm{\alpha_{e,I}} = \mathrm{\alpha_{e,II}} = \dfrac{\mathrm{E_{s}}}{\mathrm{E_{c,I}}} = \dfrac{200000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2}} = 28.97 \)

• Momento fletor de dimensionamento para cálculo de deflexão:

\( \mathrm{M_{y,Ed,def}} = \left| \mathrm{M_{y,Ed,def}} \right| = \left| 50.54\,\mathrm{kNm} \right| = 50.54\,\mathrm{kNm} \)

b) Valores da seção no estado I

• Distância do centro de gravidade da seção ideal à superfície de concreto sob compressão (determinado para o estado não fissurado):

\( \mathrm{z_{I}} = \dfrac{\mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \dfrac{\mathrm{h}}{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (superior)}} \right)}{\mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \right)} \)

\( \mathrm{z_{I}} = \dfrac{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right)}{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right)} = 82.8\,\mathrm{mm} \)

• Área da seção efetiva no estado não fissurado:

\( \mathrm{A_{I}} = \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \right) \)

\( \mathrm{A_{I}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right) = 0.41806\,\mathrm{m^2} \)

• Momento de inércia efetivo em torno do centro de gravidade da seção ideal no estado não fissurado:

\( \mathrm{I_{y,I}} = \mathrm{b} \cdot \dfrac{\left(\mathrm{h}\right)^{3}}{12} + \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \left( z_{I} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} \cdot \left( \mathrm{d_{def,+z (inferior)}} - z_{I} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \cdot \left( z_{I} - \mathrm{d_{def,-z (superior)}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{I_{y,I}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{\left(150.0\,\mathrm{mm}\right)^{3}}{12} + 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right)^{2} + 28.97 \cdot 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 126.0\,\mathrm{mm} - 82.8\,\mathrm{mm} \right)^{2} + 28.97 \cdot 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - 75.0\,\mathrm{mm} \right)^{2} = \mathrm{I_{y,I}} = 0.00080\,\mathrm{m^4} \)

• Excentricidade do centro de gravidade da seção ideal no estado não fissurado:

\( \mathrm{e_{z,I}} = z_{I} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \)

\( \mathrm{e_{z,I}} = 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} = 7.8\,\mathrm{mm} \)

c) Retração - Estado I

• Força adicional devido à retração livre

\( \mathrm{N_{sh}} = - \mathrm{E_{s}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{sh}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (superior)}} \right) \)

\( \mathrm{N_{sh}} = -200000.000\,\mathrm{N/mm^2} \cdot -0.600\,\text{‰} \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right) = 265.402\,\mathrm{kN} \)

• Excentricidade da força de retração em relação ao centro de gravidade da seção ideal no estado não fissurado

\( \mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{\mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (superior)}}}{\mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}}} - \mathrm{z_{I}} \)

\( \mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm}}{22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2}} - 82.8\,\mathrm{mm} = 43.2\,\mathrm{mm} \)

• Momento fletor devido à força normal \(N_{sh}\) para estado não fissurado

\( \mathrm{M_{sh,y,I}} = \mathrm{N_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,I}} \)

\( \mathrm{M_{sh,y,I}} = 265.402\,\mathrm{kN} \cdot 43.2\,\mathrm{mm} = 11.46\,\mathrm{kNm} \)

• Valor de curvatura para estado não fissurado

O valor de curvatura indica como o momento de retração atua em relação à força normal e à excentricidade. Ele mostra como a distribuição da força de retração e a localização do centro de gravidade afetam as deformações do componente. Este valor é crucial para descrever completamente as deformações da seção transversal devido à retração:

\( \mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,I}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}} \)

\( \mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{11.46\,\mathrm{kNm} + 50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}} = 1.227 \)

A curvatura no estado não fissurado, considerando fluência e retração, é:

\( \mathrm{\kappa_{y,I}} = \mathrm{k_{sh,y,I}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}}} \)

\( \mathrm{\kappa_{y,II}} = 1.227 \cdot \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4}} = 11.2\,\mathrm{mrad/m} \)

6.2. Curvatura para estado fissurado

a) Valores da seção no estado II

• Distância do centro de gravidade da seção ideal à superfície de concreto sob compressão (determinada para o estado fissurado):

\( \mathrm{z_{II}} = \dfrac{\mathrm{b} \cdot \mathrm{x_{II}} \cdot \dfrac{\mathrm{x_{II}}}{2} + \alpha_{e,II} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (superior)}} \right)}{\mathrm{b} \cdot \mathrm{x_{II}} + \alpha_{e,II} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \right)} \)

\( \mathrm{z_{II}} = \dfrac{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 59.9\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{59.9\,\mathrm{mm}}{2} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right)}{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 59.9\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right)} = 59.9\,\mathrm{mm} \)

• Área da seção efetiva no estado fissurado:

\( \mathrm{A_{II}} = \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \right) \)

\( \mathrm{A_{II}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 6.90 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right) = 0.36925\,\mathrm{m^2} \)

• Momento de inércia efetivo em torno do centro de gravidade da seção ideal no estado fissurado:

\( \mathrm{I_{y,II}} = \mathrm{b} \cdot \dfrac{\left(\mathrm{h}\right)^{3}}{12} + \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \left( \mathrm{z_{II}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} \cdot \left( \mathrm{d_{def,+z (inferior)}} - \mathrm{z_{II}} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \cdot \left( \mathrm{z_{II}} - \mathrm{d_{def,-z (superior)}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{I_{y,II}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{\left(150.0\,\mathrm{mm}\right)^{3}}{12} + 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \left( 77.1\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right)^{2} + 6.90 \cdot 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 126.0\,\mathrm{mm} - 77.1\,\mathrm{mm} \right)^{2} + 6.90 \cdot 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 77.1\,\mathrm{mm} - 75.0\,\mathrm{mm} \right)^{2} = 0.00070\,\mathrm{m^4} \)

• Excentricidade do centro de gravidade da seção ideal no estado fissurado:

\( \mathrm{e_{z,II}} = \mathrm{z_{II}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \)

\( \mathrm{e_{z,II}} = 77.1\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} = -15.1\,\mathrm{mm} \)

b) Retração - Estado II

• Cálculo da distância excêntrica no estado II:

\( \mathrm{e_{sh,z,II}} = \dfrac{\mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (superior)}}}{\mathrm{A_{s,def,+z (inferior)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (superior)}}} - \mathrm{z_{II}} \) \( \mathrm{e_{sh,z,II}} = \dfrac{22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm}}{22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2}} - 59.9\,\mathrm{mm} = 66.1\,\mathrm{mm} \)

• Cálculo do momento fletor M_sh,y,II :

\( \mathrm{M_{sh,y,II}} = \mathrm{N_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,II}} \)

\( \mathrm{M_{sh,y,II}} = 265.402\,\mathrm{kN} \cdot 66.1\,\mathrm{mm} = 17.54\,\mathrm{kNm} \)

• Cálculo do fator de curvatura k_sh,y,II :

\( \mathrm{k_{sh,y,II}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,II}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}} \)

\( \mathrm{k_{sh,y,II}} = \dfrac{17.54\,\mathrm{kNm} + 50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}}{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}} = 1.347 \)

A curvatura no estado fissurado, considerando fluência e retração, é:

\( \mathrm{\kappa_{y,II}} =\mathrm{k_{sh,y,II}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{\mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}} \)

\( \mathrm{\kappa_{y,II}} = 1.347 \cdot \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}} = 22.0\,\mathrm{mrad/m} \)

6.3. Curvatura efetiva considerando o estado de fissura

• Cálculo da tensão máxima σ_max,lt :

\( \mathrm{\sigma_{max,lt}} = \dfrac{\mathrm{N_{Ed}} + \mathrm{N_{sh}}}{\mathrm{A_{I}}} + \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \left( \mathrm{z_{I}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right) + \mathrm{M_{sh,y,I}}}{\mathrm{I_{y,I}}} \cdot \left( \mathrm{h} - \mathrm{z_{I}} \right) \)

\( \mathrm{\sigma_{max,lt}} = \dfrac{0.000\,\mathrm{kN} + 265.402\,\mathrm{kN}}{0.41806\,\mathrm{m^2}} + \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right) + 11.46\,\mathrm{kNm}}{0.00080\,\mathrm{m^4}} \cdot \left( 150.0\,\mathrm{mm} - 82.8\,\mathrm{mm} \right) = 5.811\,\mathrm{N/mm^2} \)

• Cálculo do coeficiente de distribuição ζ_d :

\( \mathrm{\zeta_{d}} = 1 - \mathrm{\beta} \cdot \left( \frac{\mathrm{f_{ctm}}}{\mathrm{\sigma_{max}}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{\zeta_{d}} = 1 - 0.500 \cdot \left( \frac{1.900\,\mathrm{N/mm^2}}{5.811\,\mathrm{N/mm^2}} \right)^{2} = 0.947 \)

O coeficiente de distribuição é calculado também para as combinações de carga associadas (LK1 e LK2). O maior resultado é determinante. Neste caso, o coeficiente de distribuição da combinação de carga quase permanente LK3 é o maior e, portanto, determinante: \( \mathrm{\zeta_{d}} = \mathrm{\zeta_{d,max}} = 0.947 \)

• Cálculo da curvatura κ_y,f :

\( \mathrm{\kappa_{y,f}} = \mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{\kappa_{y,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{\kappa_{y,I}} \)

\( \mathrm{\kappa_{y,f}} = 0.947 \cdot 22.0\,\mathrm{mrad/m} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 11.2\,\mathrm{mrad/m} = 21.4\,\mathrm{mrad/m} \)

6.4. Valores de seção efetivos

Com a curvatura média e o coeficiente de distribuição, os valores finais da seção são calculados, considerando fluência e retração:

• Cálculo da área de secção efetiva A_f :

\( \mathrm{A_{f}} = \dfrac{\mathrm{A_{I}} \cdot \mathrm{A_{II}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{A_{I}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{A_{II}}} \)

\( \mathrm{A_{f}} = \dfrac{0.41806\,\mathrm{m^2} \cdot 0.20544\,\mathrm{m^2}}{0.947 \cdot 0.41806\,\mathrm{m^2} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 0.20544\,\mathrm{m^2}} = 0.21118\,\mathrm{m^2} \)

• Momento de inércia efetivo em torno do centro de seção geométrico:

\( \mathrm{I_{y,f}} = \dfrac{\mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{k_{sh,y,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{I_{y,II}} \cdot \mathrm{k_{sh,y,I}}} \)

\( \mathrm{I_{y,f}} = \dfrac{0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}}{0.947 \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot 1.347 + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4} \cdot 1.227} = 0.00034\,\mathrm{m^4} \)

• Excentricidade do centro de gravidade e_z,f :

\( \mathrm{e_{z,f}} = \dfrac{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{e_{z,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}} \)

\( \mathrm{e_{z,f}} = \dfrac{0.947 \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot (-15.1)\,\mathrm{mm} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{0.947 \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}} = -14.4\,\mathrm{mm} \)

• Momento de inércia efetivo no centro geométrico I_y,0,f :

\( \mathrm{I_{y,0,f}} = \mathrm{I_{y,f}} + \mathrm{A_{f}} \cdot \left( \mathrm{e_{z,f}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{I_{y,0,f}} = 0.00034\,\mathrm{m^4} + 0.21118\,\mathrm{m^2} \cdot \left( -14.4\,\mathrm{mm} \right)^{2} = 0.00039\,\mathrm{m^4} \)

6.5. Rigidezes efetivas

• Rigidez de membrana EA_f :

\( \mathrm{EA_{f}} = \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{A_{f}} \)

\( \mathrm{EA_{f}} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.21118\,\mathrm{m^2} = 1458100.00\,\mathrm{kN} \)

• Rigidez à flexão tangencial EI_y,0,f :

\( \mathrm{EI_{y,0,f}} = \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,0,f}} \)

\( \mathrm{EI_{y,0,f}} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00039\,\mathrm{m^4} \)

\( \mathrm{EI_{y,0,f}} = 2665.68\,\mathrm{kNm^2} \)

• Fator de redução das rigidezes ao cisalhamento r_z :

\( \mathrm{r_{z}} = \dfrac{\mathrm{I_{y,f}}}{\mathrm{I_{y,I}}} \)

\( \mathrm{r_{z}} = \dfrac{0.00034\,\mathrm{m^4}}{0.00080\,\mathrm{m^4}} = 0.425 \)

• Rigidez ao cisalhamento GA_f

\( \mathrm{GA_{y,f}} = \mathrm{G_{c,eff}} \cdot \mathrm{A_{c,y}} \cdot \mathrm{r_{z}} \)

\( \mathrm{GA_{y,f}} = 2876.9\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.29500\,\mathrm{m^2} \cdot 0.425 = 360953.00\,\mathrm{kN} \)

• Rigidez à torção GI_T,F

\( \mathrm{GI_{T,f}} = \mathrm{GI_{T,I}} = 5865.88\,\mathrm{kNm^2} \)

• Elemento de rigidez excêntrico ES_y

\( \mathrm{ES_{y}} = \mathrm{EA_{f}} \cdot \mathrm{e_{z,f}} \)

\( \mathrm{ES_{y}} = 1458100.000\,\mathrm{kN} \cdot (-14.4)\,\mathrm{mm} = -20991.40\,\mathrm{kNm} \)

6.6. Cálculo de deflexão

Com as rigidezes efetivas calculadas, o RFEM 6 realiza o cálculo de deformações para a combinação de carga quase permanente:

• Deflexão u_z

\( \mathrm{u_{z}} = 30.1\,\mathrm{mm} \)

• Deflexão limite u_z,lim

\( \mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{\mathrm{L_{z,ref}}}{\dfrac{\mathrm{L_{z,ref}}}{\mathrm{u_{z,lim}}}} \)

\( \mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{3.600\,\mathrm{m}}{250.000} = 14.4\,\mathrm{mm} \)

• Critério de verificação η

\( \mathrm{\eta_z} = \left|\dfrac{\mathrm{u_{z}}}{\mathrm{u_{z,lim}}}\right| \)

\( \mathrm{\eta_z} = \left|\dfrac{30.1\,\mathrm{mm}}{14.4\,\mathrm{mm}}\right| = 2.090 > 1 \)

A deflexão calculada é o dobro da deflexão limite admissível. Portanto, o critério não é atendido na situação de dimensionamento quase permanente.

7. Verificação de deflexão para a combinação de carga frequente

Como apenas as cargas permanentes (situações de dimensionamento quase permanente) provocam fluência, os efeitos de fluência são omitidos no cálculo dos valores de seção para cargas de curto prazo (situações de dimensionamento frequente e característico). Portanto, o módulo de elasticidade médio do concreto (E_cm = 29000 N/mm²) é utilizado nesses cálculos:

• Relação dos módulos de elasticidade para estado não fissurado (carga de curto prazo):

\( \mathrm{\alpha_{e,I,st}} = \dfrac{\mathrm{E_{s}}}{\mathrm{E_{cm}}} = \dfrac{200000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{29000.000\,\mathrm{N/mm^2}} = 6.90 \) A relação α_e,I,st descreve a razão de rigidez entre aço e concreto sob carga de curto prazo e é usada para o cálculo dos valores de seção.

Estado não fissurado
Parâmetro	Descrição	Valor	Unidade
αe,I	Relação dos módulos de elasticidade para estado não fissurado	6.90	[-]
My,Ed,def	Momento fletor de dimensionamento para cálculo de deflexão	54.43	kNm
zI	Distância do centro de gravidade da seção ideal à superfície de concreto sob compressão (não fissurado)	77.1	mm
AI	Área da seção efetiva no estado não fissurado	3692.53	cm2
Iy,I	Momento de inércia efetivo em torno do centro de gravidade da seção ideal no estado não fissurado	70178.40	cm4
ez,I	Excentricidade do centro de gravidade da seção ideal no estado não fissurado	2.1	mm
κy,I	Curvatura para estado não fissurado	2.7	mrad/m

Estado fissurado
Parâmetro	Descrição	Valor	Unidade
αe,II	Relação dos módulos de elasticidade para estado fissurado	6.90	[-]
zII	Distância do centro de gravidade da seção ideal à superfície de concreto sob compressão (fissurado)	34.4	mm
AII	Área da seção efetiva no estado fissurado	964.57	cm2
Iy, II	Momento de inércia efetivo em torno do centro de gravidade da seção ideal no estado fissurado	16000.40	cm4
ez,II	Excentricidade do centro de gravidade da seção ideal no estado fissurado	-40.6	mm
κy,II	Curvatura para estado fissurado	11.7	mrad/m

• Coeficiente de distribuição ζ_d :

\( \sigma_{\text{max}} = \dfrac{N_{\text{Ed}}}{A_{\text{I}}} + \dfrac{M_{y,\text{Ed,def}} - N_{\text{Ed}} \cdot \left( z_{\text{I}} - \dfrac{h}{2} \right)}{I_{y,\text{I}}} \cdot \left( h - z_{\text{I}} \right) \)

\( \sigma_{\text{max}} = \dfrac{0.000 \, \text{kN}}{3692.53 \, \text{cm}^2} + \dfrac{54.43 \, \text{kNm} - 0.000 \, \text{kN} \cdot \left( 77.1 \, \text{mm} - \dfrac{150.0 \, \text{mm}}{2} \right)}{70178.40 \, \text{cm}^4} \cdot \left( 150.0 \, \text{mm} - 77.1 \, \text{mm} \right) = 5.654 \, \text{N/mm}^2 \)

Sob carga de curto prazo, o tempo de duração da carga ou o coeficiente de repetição β de acordo com o DIN EN 1992‑1‑1, 7.4.3 (3), é 1.0:

\( \zeta_d = 1 - \beta \cdot \left( \dfrac{f_{\text{ctm}}}{\sigma_{\text{max}}} \right)^2 \)

\( \zeta_d = 1 - 1.000 \cdot \left( \dfrac{1.900 \, \text{N/mm}^2}{5.654 \, \text{N/mm}^2} \right)^2 = 0.887 \)

Como o coeficiente de distribuição da combinação de carga frequente é menor, o coeficiente de distribuição da combinação de carga quase permanente é o determinante:

\( \zeta_d = \zeta_{\text{max}} = 0.947 \)

Com o coeficiente de distribuição, a curvatura dos estados não fissurado e fissurado, os valores finais da seção e as rigidezes resultantes são calculados:

Seções e rigidezes efetivas para a situação de dimensionamento frequente
Parâmetro	Descrição	Valor	Unidade
κy,f	Curvatura dos estados não fissurado e fissurado	11.2	mrad/m
Af	Área de seção efetiva	1004.23	cm2
Iy,f	Momento de inércia efetivo em torno do centro ideal da seção	16689.20	cm⁴
ez,f	Excentricidade do centro de gravidade	-40.0	mm
Iy,0,f	Momento de inércia efetivo no centro geométrico da seção	32796.10	cm4
EAf	Rigidez de membrana	2912260.000	kN
EIy,0,f	Rigidez à flexão tangencial	9510.86	kNm²
rz	Fator para redução das rigidezes ao cisalhamento	0.238
GAf	Rigidez ao cisalhamento	847697.000	kN
GIt,f	Rigidez à torção	24637.30	kNm²
ESy	Elemento de rigidez excêntrico	-116633.00	kNm

Com estas rigidezes finais, o RFEM calcula a deformação da combinação de carga frequente: \( \mathrm{u_{z,ges,st}} = 14.4\,\mathrm{mm} \)

O cálculo da deflexão total do componente sob cargas frequentes exige a consideração de diferentes contribuições de deformação, que resultam de diferentes tipos de carga e seus respectivos impactos sobre o componente. As deformações de longo prazo e de curto prazo devem ser tratadas de forma diferenciada para determinar corretamente a deflexão real:

\( u_{z,ges} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,ges,st} - u_{z,QP,st} \right) \)

• Deformação de longo prazo u_z,QP,lt : Esta deformação é causada por cargas que geram fluência e considera os efeitos de fluência que o componente experimentará em longo prazo. u_z,QP,lt = 15.6mm (Calculado na Seção 6).

• Deformação de curto prazo u_z,ges,st : Esta deformação ocorre imediatamente após a aplicação de cargas frequentes. u_z,ges,st = 14.4mm.

• Deformação imediata devido à carga que gera fluência u_z,QP,st : Esta deformação ocorre imediatamente após a aplicação das cargas que geram fluência e é a resposta imediata do componente, antes do início da fluência.

A deflexão total u_z,ges é composta pela deformação de longo prazo u_z,QP,lt e a diferença entre a deformação de curto prazo u_z,ges,st e a deformação imediata das cargas que geram fluência u_z,QP,st. Esta última é subtraída, pois já está incluída na deformação de curto prazo u_z,ges,st. O diagrama a seguir ilustra isso, mostrando como diferentes áreas representam os tipos de deformação e seu desenvolvimento temporal:

\( u_{z,ges} = 30.1 \, \text{mm} + \left( 14.4 \, \text{mm} - 13.3 \, \text{mm} \right) = 31.2 \, \text{mm} \)

• Deflexão limite u_z,lim

\( u_{z,lim} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}} \)

\( u_{z,lim} = \dfrac{3.600 \, \text{m}}{200.000} = 18.0 \, \text{mm} \)

• Critério de verificação η

\( \eta = \left| \dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}} \right| \)

\( \eta = \left| \dfrac{31.2 \, \text{mm}}{18.0 \, \text{mm}} \right| = 1.733 \)

O critério não é atendido para a situação de dimensionamento frequente.

8. Verificação de deflexão para a combinação de carga característica

O cálculo é feito como na combinação de carga frequente:

Estado não fissurado
Parâmetro	Descrição	Valor	Unidade
αe,I	Relação dos módulos de elasticidade para estado não fissurado	6.90	[-]
My,Ed,def	Momento fletor de dimensionamento para cálculo de deflexão	58.32	kNm
zI	Distância do centro de gravidade da seção ideal à superfície de concreto sob compressão (não fissurado)	77.1	mm
AI	Área da seção efetiva no estado não fissurado	3692.53	cm2
Iy,I	Momento de inércia efetivo em torno do centro de gravidade da seção ideal no estado não fissurado	70178.40	cm4
ez,I	Excentricidade do centro de gravidade da seção ideal no estado não fissurado	2.1	mm
κy,I	Curvatura para estado não fissurado	2.9	mrad/m

Estado fissurado
Parâmetro	Descrição	Valor	Unidade
αe,II	Relação dos módulos de elasticidade para estado fissurado	6.90	[-]
zII	Distância do centro de gravidade da seção ideal à superfície de concreto sob compressão (fissurado)	34.4	mm
AII	Área da seção efetiva no estado fissurado	964.57	cm2
Iy, II	Momento de inércia efetivo em torno do centro de gravidade da seção ideal no estado fissurado	16000.40	cm4
ez,II	Excentricidade do centro de gravidade da seção ideal no estado fissurado	-40.6	mm
κy,II	Curvatura para estado fissurado	12.6	mrad/m

O cálculo do coeficiente de distribuição também é feito de forma análoga:

\( \sigma_{\text{max}} = \dfrac{N_{\text{Ed}}}{A_{\text{I}}} + \dfrac{M_{y,\text{Ed,def}} - N_{\text{Ed}} \cdot \left( z_{\text{I}} - \dfrac{h}{2} \right)}{I_{y,\text{I}}} \cdot \left( h - z_{\text{I}} \right) \)

\( \sigma_{\text{max}} = \dfrac{0.000 \, \text{kN}}{3692.53 \, \text{cm}^2} + \dfrac{58.32 \, \text{kNm} - 0.000 \, \text{kN} \cdot \left( 77.1 \, \text{mm} - \dfrac{150.0 \, \text{mm}}{2} \right)}{70178.40 \, \text{cm}^4} \cdot \left( 150.0 \, \text{mm} - 77.1 \, \text{mm} \right) = 6.058 \, \text{N/mm}^2 \)

\( \zeta_d = 1 - \beta \cdot \left( \dfrac{f_{\text{ctm}}}{\sigma_{\text{max}}} \right)^2 \)

\( \zeta_d = 1 - 1.000 \cdot \left( \dfrac{1.900 \, \text{N/mm}^2}{6.058 \, \text{N/mm}^2} \right)^2 = 0.902\) > 0.947

\( \zeta_d = \zeta_{\text{max}} = 0.947 \)

Seções e rigidezes efetivas para a situação de dimensionamento frequente
Parâmetro	Descrição	Valor	Unidade
κy,f	Curvatura dos estados não fissurado e fissurado	12.0	mrad/m
Af	Área de seção efetiva	1004.23	cm2
Iy,f	Momento de inércia efetivo em torno do centro ideal da seção	16689.20	cm⁴
ez,f	Excentricidade do centro de gravidade	-40.0	mm
Iy,0,f	Momento de inércia efetivo no centro geométrico da seção	32796.10	cm4
EAf	Rigidez de membrana	2912260.000	kN
EIy,0,f	Rigidez à flexão	9510.86	kNm²
rz	Fator para redução das rigidezes ao cisalhamento	0.238
GAf	Rigidez ao cisalhamento	847697.000	kN
GIt,f	Rigidez à torção	24637.30	kNm²
ESy	Elemento de rigidez excêntrico	-116633.00	kNm

Com estas rigidezes finais, o RFEM calcula a deformação da combinação de carga frequente: \( \mathrm{u_{z,ges,st}} = 15.5\,\mathrm{mm} \)

A deflexão total é então: \( u_{z,ges} = 30.1 \, \text{mm} + \left( 15.5 \, \text{mm} - 13.3 \, \text{mm} \right) = 32.3 \, \text{mm} \)

• Deflexão limite u_z,lim

\( u_{z,lim} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}} \)

\( u_{z,lim} = \dfrac{3.600 \, \text{m}}{100.000} = 36 \, \text{mm} \)

• Critério de verificação η

\( \eta = \left| \dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}} \right| \)

\( \eta = \left| \dfrac{32.3 \, \text{mm}}{36.0 \, \text{mm}} \right| = 0.897 \)

O critério é atendido para a situação de dimensionamento característica.