199x

001992

Hedi Boukraa, M.Sc.

2025-10-20

考虑持续荷载下徐变影响的钢筋混凝土梁变形计算

此示例计算显示了使用 EN 1992-1-1（Eurocode 2）中有效刚度的钢筋混凝土梁的直接变形计算，同时考虑了裂缝的形成。计算针对准永久设计情况进行，并完全考虑了徐变和收缩。另外，还将确定在频繁和特征设计情况中的变形，在这两种情况下，徐变效应采用与之相关的准永久荷载组合。

首先，解释模型和输入数据，包括材料、荷载以及徐变和收缩的设置。接下来，进行准持续荷载组合的详细变形计算。最后，展示如何将徐变效应应用于频繁和特征设计工况的变形。

1. 输入数据

几何结构

系统：单跨梁跨度：l = 3.600 m 宽度：b = 2.360 m 高度：h = 0.150 m 有效高度：d = 0.126 m

KB 1992 | 结构体系与钢筋

材料

混凝土 C16/20

特征抗压强度：f_ck = 16.000 N/mm² 平均抗拉强度：f_ctm = 1.900 N/mm² 弹性模量：E_cm = 29000.0 N/mm²

钢筋

特征屈服强度：f_yk = 410.000 N/mm² 弹性模量：E_s = 200000.0 N/mm² 钢筋数量：11 根钢筋面积：A_s,prov = 2210 mm² 钢筋比例：ρ = 0,743 %

荷载

单跨梁跨度为3.6 m，受以下分布荷载影响：

恒载：g_k = 12.000 kN/m
可变荷载：q_k = 24.000 kN/m

根据EC2进行变形计算时考虑三种特征荷载组合：

准持续组合：

g_k + ψ₂·q_k = 12.000 + 0.8 × 24.000 = 31.2 kN/m

频繁组合：

g_k + ψ₁·q_k = 12.000 + 0.9 × 24.000 = 33.6 kN/m

特征组合：

g_k + q_k = 12.000 + 24.0 = 36.000 kN/m

2. 内力

中跨弯矩计算结果为：

特征: M_Ed,char. = 58.320 kNm 频繁: M_Ed,Häufig = 54.430 kNm 准持续: M_Ed,Qs = 50.540 kNm

KB 1992 | 三种ULS设计状态下的中场弯矩分布

3. 混凝土的时间相关特性

为了考虑设计中的徐变和收缩效应，需要在混凝土材料属性中激活相关设置。

KB 1992 | 混凝土的时间相关性能

为了手动输入徐变和收缩值，需要在梁截面中激活混凝土的时间相关特性。

KB 1992 | 手动输入随时间变化的参数

基于手动输入的徐变系数 φ₀ 和基本干燥收缩应变 ε_cd,0，得到有效徐变系数为 φ_(t|t₀) = 3.2 以及总收缩应变为 ε_cs(∞) = −0.6 ‰。这些值用作后续混凝土长期变形分析的输入参数。

4. 挠度要求

允许的挠度限值如下：

准持续荷载作用下的长期挠度：

f_lim,qp = l/250 = 3600/250 = 14.4 mm

频繁荷载组合下的短期挠度：

f_lim,freq = l/200 = 3600/200 = 18.0 mm

特征荷载组合下的短期挠度：

f_lim,char = l/100 = 3600/100 = 36.0 mm

挠度验证通常仅对准持续设计工况进行。为了对频繁和特征设计工况进行验证，需要在可用性配置中激活自定义设计工况类型分配选项。在此选项激活后，应为每个激活的设计工况指定允许的挠度限值。

KB 1992 | 使用极限状态配置: 设计状况类型的用户自定义分配

5. 裂缝状态识别

裂缝状态识别可以在可用性配置中设置。裂缝状态影响分配系数 ζ_d的计算：

如果激活基于相关荷载计算裂缝状态选项，则 ζ_d 仅基于当前荷载（荷载组合）计算。
如果激活根据GZG设计工况的相关LK以及荷载的裂缝状态选项，则 ζ_d 的计算结果为所有相关荷载的最大值。在本例中，选择了此选项。

KB 1992 | 裂缝状态检测

6. 准持续荷载组合的挠度验证

6.1. 未裂状态的曲率

a) E模量及E模量比

混凝土的有效弹性模量：

\( \mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{\mathrm{E_{cm}}}{1 + \varphi} = \dfrac{29000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{1 + 3.200} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \) 通过降低弹性模量考虑徐变影响。徐变影响通过最终徐变系数 φ 考虑。

未裂状态下E模量比：

\( \mathrm{\alpha_{e,I}} = \mathrm{\alpha_{e,II}} = \dfrac{\mathrm{E_{s}}}{\mathrm{E_{c,I}}} = \dfrac{200000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2}} = 28.97 \)

挠度计算的设计弯矩:

\( \mathrm{M_{y,Ed,def}} = \left| \mathrm{M_{y,Ed,def}} \right| = \left| 50.54\,\mathrm{kNm} \right| = 50.54\,\mathrm{kNm} \)

b) 截面值在状态I下

未裂状态下影响截面从受压混凝土面的重心距离：

\( \mathrm{z_{I}} = \dfrac{\mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \dfrac{\mathrm{h}}{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (oben)}} \right)}{\mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \right)} \)

\( \mathrm{z_{I}} = \dfrac{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right)}{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right)} = 82.8\,\mathrm{mm} \)

未裂状态下有效影响截面面积：

\( \mathrm{A_{I}} = \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \right) \)

\( \mathrm{A_{I}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right) = 0.41806\,\mathrm{m^2} \)

未裂状态下影响截面重心的有效惯性矩：

\( \mathrm{I_{y,I}} = \mathrm{b} \cdot \dfrac{\left(\mathrm{h}\right)^{3}}{12} + \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \left( z_{I} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \left( \mathrm{d_{def,+z (unten)}} - z_{I} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \left( z_{I} - \mathrm{d_{def,-z (oben)}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{I_{y,I}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{\left(150.0\,\mathrm{mm}\right)^{3}}{12} + 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right)^{2} + 28.97 \cdot 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 126.0\,\mathrm{mm} - 82.8\,\mathrm{mm} \right)^{2} + 28.97 \cdot 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - 75.0\,\mathrm{mm} \right)^{2} = \mathrm{I_{y,I}} = 0.00080\,\mathrm{m^4} \)

未裂状态下影响截面重心的偏心距：

\( \mathrm{e_{z,I}} = z_{I} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \)

\( \mathrm{e_{z,I}} = 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} = 7.8\,\mathrm{mm} \)

c) 收缩 - 状态I

自由收缩产生的额外力

\( \mathrm{N_{sh}} = - \mathrm{E_{s}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{sh}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (oben)}} \right) \)

\( \mathrm{N_{sh}} = -200000.000\,\mathrm{N/mm^2} \cdot -0.600\,\text{‰} \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right) = 265.402\,\mathrm{kN} \)

收缩轴力的偏心距与未裂状态下截面重心的距离

\( \mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{\mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (oben)}}}{\mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}}} - \mathrm{z_{I}} \)

\( \mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm}}{22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2}} - 82.8\,\mathrm{mm} = 43.2\,\mathrm{mm} \)

未裂状态下收缩轴力产生的弯矩

\( \mathrm{M_{sh,y,I}} = \mathrm{N_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,I}} \)

\( \mathrm{M_{sh,y,I}} = 265.402\,\mathrm{kN} \cdot 43.2\,\mathrm{mm} = 11.46\,\mathrm{kNm} \)

未裂状态下的曲率

曲率描述了收缩弯矩与轴力和偏心距的作用关系。它显示了收缩力分布和重心位置如何影响构件的变形。该值对于完整描述截面因收缩导致的变形非常关键：

\( \mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,I}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}} \)

\( \mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{11.46\,\mathrm{kNm} + 50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}} = 1.227 \)

考虑了徐变和收缩对未裂状态的影响：

\( \mathrm{\kappa_{y,I}} = \mathrm{k_{sh,y,I}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}}} \)

\( \mathrm{\kappa_{y,II}} = 1.227 \cdot \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4}} = 11.2\,\mathrm{mrad/m} \)

6.2. 裂状态的曲率

a). 状态II下的截面值

裂状态下影响截面从受压混凝土面的重心距离：

\( \mathrm{z_{II}} = \dfrac{\mathrm{b} \cdot \mathrm{x_{II}} \cdot \dfrac{\mathrm{x_{II}}}{2} + \alpha_{e,II} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (oben)}} \right)}{\mathrm{b} \cdot \mathrm{x_{II}} + \alpha_{e,II} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \right)} \)

\( \mathrm{z_{II}} = \dfrac{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 59.9\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{59.9\,\mathrm{mm}}{2} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right)}{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 59.9\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right)} = 59.9\,\mathrm{mm} \)

裂状态下的有效截面面积：

\( \mathrm{A_{II}} = \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \right) \)

\( \mathrm{A_{II}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 6.90 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right) = 0.36925\,\mathrm{m^2} \)

裂状态下影响截面重心的有效惯性矩：

\( \mathrm{I_{y,II}} = \mathrm{b} \cdot \dfrac{\left(\mathrm{h}\right)^{3}}{12} + \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \left( \mathrm{z_{II}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \left( \mathrm{d_{def,+z (unten)}} - \mathrm{z_{II}} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \left( \mathrm{z_{II}} - \mathrm{d_{def,-z (oben)}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{I_{y,II}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{\left(150.0\,\mathrm{mm}\right)^{3}}{12} + 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \left( 77.1\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right)^{2} + 6.90 \cdot 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 126.0\,\mathrm{mm} - 77.1\,\mathrm{mm} \right)^{2} + 6.90 \cdot 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 77.1\,\mathrm{mm} - 75.0\,\mathrm{mm} \right)^{2} = 0.00070\,\mathrm{m^4} \)

裂状态下影响截面重心的偏心距：

\( \mathrm{e_{z,II}} = \mathrm{z_{II}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \)

\( \mathrm{e_{z,II}} = 77.1\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} = -15.1\,\mathrm{mm} \)

b) 收缩 - 状态II

状态II下的偏心距计算：

\( \mathrm{e_{sh,z,II}} = \dfrac{\mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (oben)}}}{\mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}}} - \mathrm{z_{II}} \) \( \mathrm{e_{sh,z,II}} = \dfrac{22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm}}{22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2}} - 59.9\,\mathrm{mm} = 66.1\,\mathrm{mm} \)

Biegemoment durch den Normalkraft \mathrm{M_{sh,y,II}} :

\( \mathrm{M_{sh,y,II}} = \mathrm{N_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,II}} \)

\( \mathrm{M_{sh,y,II}} = 265.402\,\mathrm{kN} \cdot 66.1\,\mathrm{mm} = 17.54\,\mathrm{kNm} \)

Berechnung des Krümmungsfaktors \mathrm{k_{sh,y,II}} :

\( \mathrm{k_{sh,y,II}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,II}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}} \)

\( \mathrm{k_{sh,y,II}} = \dfrac{17.54\,\mathrm{kNm} + 50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}}{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}} = 1.347 \)

考量徐变和收缩后，裂状态的曲率为：

\( \mathrm{\kappa_{y,II}} =\mathrm{k_{sh,y,II}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{\mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}} \)

\( \mathrm{\kappa_{y,II}} = 1.347 \cdot \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}} = 22.0\,\mathrm{mrad/m} \)

6.3. 裂状态考虑下的有效曲率

最大应力 σ_max,lt 计算：

\( \mathrm{\sigma_{max,lt}} = \dfrac{\mathrm{N_{Ed}} + \mathrm{N_{sh}}}{\mathrm{A_{I}}} + \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \left( \mathrm{z_{I}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right) + \mathrm{M_{sh,y,I}}}{\mathrm{I_{y,I}}} \cdot \left( \mathrm{h} - \mathrm{z_{I}} \right) \)

\( \mathrm{\sigma_{max,lt}} = \dfrac{0.000\,\mathrm{kN} + 265.402\,\mathrm{kN}}{0.41806\,\mathrm{m^2}} + \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right) + 11.46\,\mathrm{kNm}}{0.00080\,\mathrm{m^4}} \cdot \left( 150.0\,\mathrm{mm} - 82.8\,\mathrm{mm} \right) = 5.811\,\mathrm{N/mm^2} \)

分布系数 ζ_d 计算：

\( \mathrm{\zeta_{d}} = 1 - \mathrm{\beta} \cdot \left( \frac{\mathrm{f_{ctm}}}{\mathrm{\sigma_{max}}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{\zeta_{d}} = 1 - 0.500 \cdot \left( \frac{1.900\,\mathrm{N/mm^2}}{5.811\,\mathrm{N/mm^2}} \right)^{2} = 0.947 \)

对于相关的荷载组合（LK1和LK2）也计算分布系数。最大的结果是决定性的。在这种情况下，准持续荷载组合LK3的分布系数最大，因此决定性的： \( \mathrm{\zeta_{d}} = \mathrm{\zeta_{d,max}} = 0.947 \)

曲率 κ_y,f 计算：

\( \mathrm{\kappa_{y,f}} = \mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{\kappa_{y,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{\kappa_{y,I}} \)

\( \mathrm{\kappa_{y,f}} = 0.947 \cdot 22.0\,\mathrm{mrad/m} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 11.2\,\mathrm{mrad/m} = 21.4\,\mathrm{mrad/m} \)

6.4. 有效截面值

利用平均曲率和分布系数计算考虑徐变和收缩效应的终截面值：

有效截面面积 A_f 计算：

\( \mathrm{A_{f}} = \dfrac{\mathrm{A_{I}} \cdot \mathrm{A_{II}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{A_{I}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{A_{II}}} \)

\( \mathrm{A_{f}} = \dfrac{0.41806\,\mathrm{m^2} \cdot 0.20544\,\mathrm{m^2}}{0.947 \cdot 0.41806\,\mathrm{m^2} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 0.20544\,\mathrm{m^2}} = 0.21118\,\mathrm{m^2} \)

至截面重心的有效惯性矩：

\( \mathrm{I_{y,f}} = \dfrac{\mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{k_{sh,y,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{I_{y,II}} \cdot \mathrm{k_{sh,y,I}}} \)

\( \mathrm{I_{y,f}} = \dfrac{0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}}{0.947 \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot 1.347 + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4} \cdot 1.227} = 0.00034\,\mathrm{m^4} \)

重心的偏心距 e_z,f 计算：

\( \mathrm{e_{z,f}} = \dfrac{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{e_{z,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}} \)

\( \mathrm{e_{z,f}} = \dfrac{0.947 \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot (-15.1)\,\mathrm{mm} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{0.947 \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}} = -14.4\,\mathrm{mm} \)

至几何截面重心的有效惯性矩 I_y,0,f 计算：

\( \mathrm{I_{y,0,f}} = \mathrm{I_{y,f}} + \mathrm{A_{f}} \cdot \left( \mathrm{e_{z,f}} \right)^{2} \)

\( \mathrm{I_{y,0,f}} = 0.00034\,\mathrm{m^4} + 0.21118\,\mathrm{m^2} \cdot \left( -14.4\,\mathrm{mm} \right)^{2} = 0.00039\,\mathrm{m^4} \)

6.5. 有效刚度

膜刚度 EA_f 计算：

\( \mathrm{EA_{f}} = \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{A_{f}} \)

\( \mathrm{EA_{f}} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.21118\,\mathrm{m^2} = 1458100.00\,\mathrm{kN} \)

切线弯曲刚度 EI_y,0,f 计算：

\( \mathrm{EI_{y,0,f}} = \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,0,f}} \)

\( \mathrm{EI_{y,0,f}} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00039\,\mathrm{m^4} \)

\( \mathrm{EI_{y,0,f}} = 2665.68\,\mathrm{kNm^2} \)

减小剪切刚度的系数 r_z 计算：

\( \mathrm{r_{z}} = \dfrac{\mathrm{I_{y,f}}}{\mathrm{I_{y,I}}} \)

\( \mathrm{r_{z}} = \dfrac{0.00034\,\mathrm{m^4}}{0.00080\,\mathrm{m^4}} = 0.425 \)

剪切刚度 GA_f 计算：

\( \mathrm{GA_{y,f}} = \mathrm{G_{c,eff}} \cdot \mathrm{A_{c,y}} \cdot \mathrm{r_{z}} \)

\( \mathrm{GA_{y,f}} = 2876.9\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.29500\,\mathrm{m^2} \cdot 0.425 = 360953.00\,\mathrm{kN} \)

扭转刚度 GI_T,F 计算：

\( \mathrm{GI_{T,f}} = \mathrm{GI_{T,I}} = 5865.88\,\mathrm{kNm^2} \)

偏心刚度元素 ES_y 计算：

\( \mathrm{ES_{y}} = \mathrm{EA_{f}} \cdot \mathrm{e_{z,f}} \)

\( \mathrm{ES_{y}} = 1458100.000\,\mathrm{kN} \cdot (-14.4)\,\mathrm{mm} = -20991.40\,\mathrm{kNm} \)

6.6. 变形计算

利用计算的有效刚度，RFEM 6进行准持续荷载组合的变形计算：

挠度 u_z 计算：

\( \mathrm{u_{z}} = 30.1\,\mathrm{mm} \)

限值挠度 u_z,lim 计算：

\( \mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{\mathrm{L_{z,ref}}}{\dfrac{\mathrm{L_{z,ref}}}{\mathrm{u_{z,lim}}}} \)

\( \mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{3.600\,\mathrm{m}}{250.000} = 14.4\,\mathrm{mm} \)

检验标准 η 计算：

\( \mathrm{\eta_z} = \left|\dfrac{\mathrm{u_{z}}}{\mathrm{u_{z,lim}}}\right| \)

\( \mathrm{\eta_z} = \left|\dfrac{30.1\,\mathrm{mm}}{14.4\,\mathrm{mm}}\right| = 2.090 > 1 \)

计算得到的挠度是允许限值挠度的两倍。因此，在准持续设计工况下不满足要求。

7. 频繁荷载组合的挠度验证

由于仅持久荷载（准持续设计工况）会导致徐变，因此在短时荷载计算（频繁和特征设计工况）中不考虑徐变效应。因此，这些计算中会使用混凝土的平均弹性模量（E_cm = 29000 N/mm²）：

未裂状态下E模量比（短时荷载）：

\( \mathrm{\alpha_{e,I,st}} = \dfrac{\mathrm{E_{s}}}{\mathrm{E_{cm}}} = \dfrac{200000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{29000.000\,\mathrm{N/mm^2}} = 6.90 \) α_e,I,st 描述了短时荷载下钢与混凝土刚度的比值，并用于截面值计算。

未裂状态
参数	描述	值	单位
α_e,I	未裂状态下的E模量比	6.90	[-]
M_y,Ed,def	挠度计算的设计弯矩	54.43	kNm
z_I	未裂状态下影响截面从受压混凝土面的重心距离	77.1	mm
A_I	未裂状态下的有效截面面积	3692.53	cm²
I_y,I	未裂状态下影响截面重心的有效惯性矩	70178.40	cm⁴
e_z,I	未裂状态下影响截面的偏心距	2.1	mm
κ_y,I	未裂状态下的曲率	2.7	mrad/m

裂状态
参数	描述	值	单位
α_e,II	裂状态下的E模量比	6.90	[-]
z_II	裂状态下影响截面从受压混凝土面的重心距离	34.4	mm
A_II	裂状态下的有效截面面积	964.57	cm²
I_{y, II}	裂状态下影响截面重心的有效惯性矩	16000.40	cm⁴
e_z,II	裂状态下影响截面的偏心距	-40.6	mm
κ_y,II	裂状态下的曲率	11.7	mrad/m

Verteilungsbeiwert ζ_d 计算：

\( \sigma_{\text{max}} = \dfrac{N_{\text{Ed}}}{A_{\text{I}}} + \dfrac{M_{y,\text{Ed,def}} - N_{\text{Ed}} \cdot \left( z_{\text{I}} - \dfrac{h}{2} \right)}{I_{y,\text{I}}} \cdot \left( h - z_{\text{I}} \right) \)

\( \sigma_{\text{max}} = \dfrac{0.000 \, \text{kN}}{3692.53 \, \text{cm}^2} + \dfrac{54.43 \, \text{kNm} - 0.000 \, \text{kN} \cdot \left( 77.1 \, \text{mm} - \dfrac{150.0 \, \text{mm}}{2} \right)}{70178.40 \, \text{cm}^4} \cdot \left( 150.0 \, \text{mm} - 77.1 \, \text{mm} \right) = 5.654 \, \text{N/mm}^2 \)

根据DIN EN 1992‑1‑1, 7.4.3 (3)，1.0的负荷作用时间或循环系数β：

\( \zeta_d = 1 - \beta \cdot \left( \dfrac{f_{\text{ctm}}}{\sigma_{\text{max}}} \right)^2 \)

\( \zeta_d = 1 - 1.000 \cdot \left( \dfrac{1.900 \, \text{N/mm}^2}{5.654 \, \text{N/mm}^2} \right)^2 = 0.887 \)

由于频繁荷载组合的分布系数较小，因此准持续荷载组合的分布系数是决定性的：

\( \zeta_d = \zeta_{\text{max}} = 0.947 \)

利用分布系数计算未裂和裂状态的曲率、最终截面值及其导致的最终刚度：

频繁设计情况下的有效截面和刚度
参数	描述	值	单位
κ_y,f	未裂和裂状态下的曲率	11.2	mrad/m
A_f	有效截面面积	1004.23	cm₂
I_y,f	至影响截面重心的有效惯性矩	16689.20	cm⁴
e_z,f	重心的偏心距	-40.0	mm
I_y,0,f	至几何截面重心的有效惯性矩	32796.10	cm⁴
EA_f	膜刚度	2912260.000	kN
EI_y,0,f	切线弯曲刚度	9510.86	kNm²
r_z	减小剪切刚度的系数	0.238
GA_f	剪切刚度	847697.000	kN
GI_t,f	扭转刚度	24637.30	kNm²
ES_y	偏心刚度元素	-116633.00	kNm

利用这些最终刚度，RFEM计算频繁荷载组合的变形： \( \mathrm{u_{z,ges,st}} = 14.4\,\mathrm{mm} \)

组件在频繁荷载下的总挠度计算需要考虑不同荷载类型及其对组件的具体影响。应分别处理长期和短期变形，以正确确定实际的挠度：

\( u_{z,ges} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,ges,st} - u_{z,QP,st} \right) \)

长期变形 u_z,QP,lt : 这种变形是由于诱发徐变的荷载造成的，并考虑了构件将在长时间内经历的徐变效应。u_z,QP,lt = 15.6mm （在第6部分计算）。

短期变形 u_z,ges,st : 这种变形是在施加频繁荷载后立刻出现的反应。u_z,ges,st = 14.4mm。

诱发徐变的荷载所产生的即时变形 u_z,QP,st : 这种变形是在施加诱发徐变的荷载后立刻产生的，为构件的即时反应。

总挠度 u_z,ges 由长期变形 u_z,QP,lt 和短期变形 u_z,ges,st 与诱发徐变的荷载所产生的即时变形 u_z,QP,st 之间的差值组成。后者在短期变形 u_z,ges,st 中已包含，因此会被扣除。下图生动地展示了这一点，不同的区域代表了各个变形类型及其时间上的变化：

KB 1992 | 变形的时间演变

\( u_{z,ges} = 30.1 \, \text{mm} + \left( 14.4 \, \text{mm} - 13.3 \, \text{mm} \right) = 31.2 \, \text{mm} \)

限值挠度 u_z,lim 计算

\( u_{z,lim} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}} \)

\( u_{z,lim} = \dfrac{3.600 \, \text{m}}{200.000} = 18.0 \, \text{mm} \)

检验标准 η 计算

\( \eta = \left| \dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}} \right| \)

\( \eta = \left| \dfrac{31.2 \, \text{mm}}{18.0 \, \text{mm}} \right| = 1.733 \)

频繁设计工况未满足要求。

8. 特征荷载组合的挠度验证

计算过程与频繁荷载组合相同：

未裂状态
参数	描述	值	单位
α_e,I	未裂状态下的E模量比	6.90	[-]
M_y,Ed,def	挠度计算的设计弯矩	58.32	kNm
z_I	未裂状态下影响截面从受压混凝土面的重心距离	77.1	mm
A_I	未裂状态下的有效截面面积	3692.53	cm²
I_y,I	未裂状态下影响截面重心的有效惯性矩	70178.40	cm⁴
e_z,I	未裂状态下影响截面的偏心距	2.1	mm
κ_y,I	未裂状态下的曲率	2.9	mrad/m

裂状态
参数	描述	值	单位
α_e,II	裂状态下的E模量比	6.90	[-]
z_II	裂状态下影响截面从受压混凝土面的重心距离	34.4	mm
A_II	裂状态下的有效截面面积	964.57	cm²
I_{y, II}	裂状态下影响截面重心的有效惯性矩	16000.40	cm⁴
e_z,II	裂状态下影响截面的偏心距	-40.6	mm
κ_y,II	裂状态下的曲率	12.6	mrad/m

分布系数的计算方式也相似：

\( \sigma_{\text{max}} = \dfrac{0.000 \, \text{kN}}{3692.53 \, \text{cm}^2} + \dfrac{58.32 \, \text{kNm} - 0.000 \, \text{kN} \cdot \left( 77.1 \, \text{mm} - \dfrac{150.0 \, \text{mm}}{2} \right)}{70178.40 \, \text{cm}^4} \cdot \left( 150.0 \, \text{mm} - 77.1 \, \text{mm} \right) = 6.058 \, \text{N/mm}^2 \)

\( \zeta_d = 1 - \beta \cdot \left( \dfrac{f_{\text{ctm}}}{\sigma_{\text{max}}} \right)^2 \)

\( \zeta_d = 1 - 1.000 \cdot \left( \dfrac{1.900 \, \text{N/mm}^2}{6.058 \, \text{N/mm}^2} \right)^2 = 0.902\) > 0.947

\( \zeta_d = \zeta_{\text{max}} = 0.947 \)

频繁设计情况下的有效截面和刚度
参数	描述	值	单位
κ_y,f	未裂和裂状态下的曲率	12.0	mrad/m
A_f	有效截面面积	1004.23	cm₂
I_y,f	至影响截面重心的有效惯性矩	16689.20	cm⁴
e_z,f	重心的偏心距	-40.0	mm
I_y,0,f	至几何截面重心的有效惯性矩	32796.10	cm⁴
EA_f	膜刚度	2912260.000	kN
EI_y,0,f	弯曲刚度	9510.86	kNm²
r_z	减小剪切刚度的系数	0.238
GA_f	剪切刚度	847697.000	kN
GI_t,f	扭转刚度	24637.30	kNm²
ES_y	偏心刚度元素	-116633.00	kNm

利用这些最终刚度，RFEM计算频繁荷载组合的变形： \( \mathrm{u_{z,ges,st}} = 15.5\,\mathrm{mm} \)

总变形为： \( u_{z,ges} = 30.1 \, \text{mm} + \left( 15.5 \, \text{mm} - 13.3 \, \text{mm} \right) = 32.3 \, \text{mm} \)

限值挠度 u_z,lim 计算

\( u_{z,lim} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}} \)

\( u_{z,lim} = \dfrac{3.600 \, \text{m}}{100.000} = 36 \, \text{mm} \)

检验标准 η 计算

\( \eta = \left| \dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}} \right| \)

\( \eta = \left| \dfrac{32.3 \, \text{mm}}{36.0 \, \text{mm}} \right| = 0.897 \)

特征设计工况满足要求。

作者

布卡先生负责钢筋混凝土领域的开发和质量保证

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