Verformungsberechnung eines Stahlbetonträgers mit Kriecheinflüssen aus ständigen Lasten

Zunächst werden das Modell und die Eingabedaten, einschließlich Materialien, Belastungen sowie die Einstellungen für Kriechen und Schwinden, erläutert. Anschließend folgt die detaillierte Verformungsberechnung für die quasi-ständige Lastkombination. Zum Schluss wird gezeigt, wie die Kriecheffekte in die Verformungen der häufigen und charakteristischen Bemessungssituationen übernommen werden.

1. Eingabedaten

Geometrie

System: Einfeldträger
Spannweite: l = 3.600 m
Breite: b = 2.360 m
Höhe: h = 0.150 m
Statische Nutzhöhe: d = 0.126 m

Materialien

• Beton C16/20

Charakteristische Druckfestigkeit: f_ck = 16.000 N/mm²
Mittlere Zugfestigkeit: f_ctm = 1.900 N/mm²
Elastizitätsmodul: E_cm = 29000.0 N/mm²

• Bewehrungsstahl

Charakteristische Streckgrenze: f_yk = 410.000 N/mm²
Elastizitätsmodul: E_s = 200000.0 N/mm²
Bewehrungsmenge: 11 Stäbe
Bewehrungsfläche: A_s,prov = 2210 mm²
Bewehrungsgrad: ρ = 0,743 %

Einwirkungen

Der Einfeldträger mit einer Spannweite von 3,6 m ist durch folgende Streckenlasten belastet:

• Ständige Last: g_k = 12.000 kN/m
• Veränderliche Last: q_k = 24.000 kN/m

Für die Verformungsberechnung nach EC2 werden drei charakteristische Einwirkungskombinationen betrachtet:

• Quasi-ständige Kombination:

g_k + ψ₂·q_k = 12.000 + 0.8 × 24.000 = 31.2 kN/m

• Häufige Kombination:

g_k + ψ₁·q_k = 12.000 + 0.9 × 24.000 = 33.6 kN/m

• Charakteristische Kombination:

g_k + q_k = 12.000 + 24.0 = 36.000 kN/m

2. Schnittgrößen

Die Biegemomente in Feldmitte berechnen sich zu:

Charakteristisch: M_Ed,char. = 58.320 kNm
Häufig: M_Ed,Häufig = 54.430 kNm
Quasi-ständig: M_Ed,Qs = 50.540 kNm

3. Zeitabhängige Kennwerte des Betons

Um den Effekt von Kriechen und Schwinden in der Bemessung zu erfassen, ist deren Aktivierung in den Beton-Materialeigenschaften erforderlich.

Damit die Kriech- und Schwindwerte manuell eingegeben werden können, müssen die zeitabhängigen Kennwerte des Betons im Querschnitt des Balkens aktiviert sein.

Auf der Grundlage manuell eingegebener Kennwerte der rechnerischen Kriechzahl φ₀ und der grundlegenden Trocknungsschwinddehnung ε_cd,0 ergibt sich eine effektive Kriechzahl von φ_(t|t₀) = 3.2 sowie eine resultierende Gesamtschwinddehnung von ε_cs(∞) = −0.6 ‰. Diese Werte dienen als Eingangsparameter für die nachfolgende Analyse der langfristigen Betonverformungen.

4. Anforderungen an die Durchbiegung

Die zulässigen Grenzwerte für die Durchbiegung werden wie folgt angenommen:

• Langzeitdurchbiegung unter quasi-ständiger Einwirkung:

f_lim,qp = l/250 = 3600/250 = 14.4 mm

• Kurzzeitdurchbiegung unter häufiger Lastkombination:

f_lim,freq = l/200 = 3600/200 = 18.0 mm

• Kurzzeitdurchbiegung unter charakteristischer Lastkombination:

f_lim,char = l/100 = 3600/100 = 36.0 mm

Der Durchbiegungsnachweis wird standardmäßig nur für die quasi-ständige Bemessungssituation geführt. Damit der Nachweis auch für die häufige und charakteristische Bemessungssituation durchgeführt werden kann, muss die Option Benutzerdefinierte Zuordnung des Bemessungssituationstyps in der Gebrauchstauglichkeitskonfiguration aktiviert werden. Nach der Aktivierung dieser Option sind die Grenzwerte der zulässigen Durchbiegung für jede aktivierte Bemessungssituation anzugeben.

5. Erkennung von Risszuständen

Die Erkennung des Risszustands kann in der Gebrauchstauglichkeitskonfiguration eingestellt werden.
Der Risszustand beeinflusst die Berechnung des Verteilungsbeiwertes ζ_d:

• Wenn die Option Risszustand berechnet aus zugehöriger Last aktiviert ist, wird ζ_d ausschließlich auf Basis der aktuellen Belastung (Lastkombination) berechnet.
• Wird die Option Risszustand aus entsprechender LK der GZG-Bemessungssituation aus zugehöriger Last aktiviert, erfolgt die Berechnung von ζ_d als Maximum aus allen zugehörigen Lasten. In diesem Beispiel ist diese Option gewählt.

6. Durchbiegungsnachweis für die quasi-ständige Lastkombination

6.1. Krümmung für ungerissenen Zustand

a) E-Module und E-Modul-Verhältnisse

• Wirksamer Elastizitätsmodul des Betons:

\(
\mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{\mathrm{E_{cm}}}{1 + \varphi} = \dfrac{29000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{1 + 3.200} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2}
\)
Die Kriecheinflüsse werden durch eine Abminderung des Elastizitätsmoduls berücksichtigt. Der Kriecheinfluss wird über die Endkriechzahl φ einbezogen.

• Verhältnis der E-Moduln für ungerissenen und gerissenen Zustand:

\(
\mathrm{\alpha_{e,I}} = \mathrm{\alpha_{e,II}} = \dfrac{\mathrm{E_{s}}}{\mathrm{E_{c,I}}} = \dfrac{200000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2}} = 28.97
\)

• Bemessungsbiegemoment für Durchbiegungsberechnung:

\(
\mathrm{M_{y,Ed,def}} = \left| \mathrm{M_{y,Ed,def}} \right| = \left| 50.54\,\mathrm{kNm} \right| = 50.54\,\mathrm{kNm}
\)

b) Querschnittswerte im Zustand I

• Schwerpunktabstand des ideellen Querschnitts von der Betonfläche unter Druck (ermittelt für ungerissenen Zustand):

\(
\mathrm{z_{I}} = \dfrac{\mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \dfrac{\mathrm{h}}{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (oben)}} \right)}{\mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \right)}
\)

\(
\mathrm{z_{I}} = \dfrac{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right)}{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right)} = 82.8\,\mathrm{mm}
\)

• Wirksame Querschnittsfläche im ungerissenen Zustand:

\(
\mathrm{A_{I}} = \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \right)
\)

\(
\mathrm{A_{I}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right) = 0.41806\,\mathrm{m^2}
\)

• Effektives Trägheitsmoment zum ideellen Schwerpunkt im ungerissenen Zustand:

\(
\mathrm{I_{y,I}} = \mathrm{b} \cdot \dfrac{\left(\mathrm{h}\right)^{3}}{12} + \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \left( z_{I} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \left( \mathrm{d_{def,+z (unten)}} - z_{I} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \left( z_{I} - \mathrm{d_{def,-z (oben)}} \right)^{2}
\)

\(
\mathrm{I_{y,I}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{\left(150.0\,\mathrm{mm}\right)^{3}}{12} + 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right)^{2} + 28.97 \cdot 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 126.0\,\mathrm{mm} - 82.8\,\mathrm{mm} \right)^{2} + 28.97 \cdot 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - 75.0\,\mathrm{mm} \right)^{2} = \mathrm{I_{y,I}} = 0.00080\,\mathrm{m^4}
\)

• Exzentrizität des ideellen Querschnittsschwerpunkts im ungerissenen Zustand:

\(
\mathrm{e_{z,I}} = z_{I} - \dfrac{\mathrm{h}}{2}
\)

\(
\mathrm{e_{z,I}} = 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} = 7.8\,\mathrm{mm}
\)

c) Schwinden - Zustand I

• Zusätzliche Kraft durch freies Schwinden

\(
\mathrm{N_{sh}} = - \mathrm{E_{s}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{sh}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (oben)}} \right)
\)

\(
\mathrm{N_{sh}} = -200000.000\,\mathrm{N/mm^2} \cdot -0.600\,\text{‰} \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right) = 265.402\,\mathrm{kN}
\)

• Exzentrizität der Schwindkraft zum Schwerpunkt des ideellen Querschnitts im ungerissenen Zustand

\(
\mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{\mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (oben)}}}{\mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}}} - \mathrm{z_{I}}
\)

\(
\mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm}}{22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2}} - 82.8\,\mathrm{mm} = 43.2\,\mathrm{mm}
\)

• Biegemoment durch Normalkraft \(N_{sh}\) für ungerissenen Zustand

\(
\mathrm{M_{sh,y,I}} = \mathrm{N_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,I}}
\)

\(
\mathrm{M_{sh,y,I}} = 265.402\,\mathrm{kN} \cdot 43.2\,\mathrm{mm} = 11.46\,\mathrm{kNm}
\)

• Krümmungszahl für ungerissenen Zustand

Die Krümmungszahl gibt an, wie das Schwindmoment im Verhältnis zur Normalkraft und zur Exzentrizität wirkt. Sie zeigt, wie die Verteilung der Schwindkraft und der Schwerpunktlage die Verformungen des Bauteils beeinflussen. Dieser Wert ist entscheidend, um die Verformungen des Querschnitts durch Schwinden vollständig zu beschreiben:

\(
\mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,I}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}
\)

\(
\mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{11.46\,\mathrm{kNm} + 50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}} = 1.227
\)

Die Krümmung im ungerissenen Zustand unter Berücksichtigung von Kriechen und Schwinden beträgt:

\(
\mathrm{\kappa_{y,I}} = \mathrm{k_{sh,y,I}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}}}
\)

\(
\mathrm{\kappa_{y,II}} = 1.227 \cdot \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4}} = 11.2\,\mathrm{mrad/m}
\)

6.2. Krümmung für gerissenen Zustand

a). Querschnittswerte im Zustand II

• Schwerpunktabstand des ideellen Querschnitts von der Betonfläche unter Druck (ermittelt für den gerissenen Zustand):

\(
\mathrm{z_{II}} = \dfrac{\mathrm{b} \cdot \mathrm{x_{II}} \cdot \dfrac{\mathrm{x_{II}}}{2} + \alpha_{e,II} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (oben)}} \right)}{\mathrm{b} \cdot \mathrm{x_{II}} + \alpha_{e,II} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \right)}
\)

\(
\mathrm{z_{II}} = \dfrac{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 59.9\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{59.9\,\mathrm{mm}}{2} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right)}{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 59.9\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right)} = 59.9\,\mathrm{mm}
\)

• Wirksame Querschnittsfläche im gerissenen Zustand:

\(
\mathrm{A_{II}} = \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \right)
\)

\(
\mathrm{A_{II}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 6.90 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right) = 0.36925\,\mathrm{m^2}
\)

• Effektives Trägheitsmoment zum ideellen Schwerpunkt im gerissenen Zustand:

\(
\mathrm{I_{y,II}} = \mathrm{b} \cdot \dfrac{\left(\mathrm{h}\right)^{3}}{12} + \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \left( \mathrm{z_{II}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \left( \mathrm{d_{def,+z (unten)}} - \mathrm{z_{II}} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \left( \mathrm{z_{II}} - \mathrm{d_{def,-z (oben)}} \right)^{2}
\)

\(
\mathrm{I_{y,II}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{\left(150.0\,\mathrm{mm}\right)^{3}}{12} + 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \left( 77.1\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right)^{2} + 6.90 \cdot 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 126.0\,\mathrm{mm} - 77.1\,\mathrm{mm} \right)^{2} + 6.90 \cdot 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 77.1\,\mathrm{mm} - 75.0\,\mathrm{mm} \right)^{2} = 0.00070\,\mathrm{m^4}
\)

• Exzentrizität des ideellen Querschnittsschwerpunkts im gerissenen Zustand:

\(
\mathrm{e_{z,II}} = \mathrm{z_{II}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2}
\)

\(
\mathrm{e_{z,II}} = 77.1\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} = -15.1\,\mathrm{mm}
\)

b) Schwinden - Zustand II

• Berechnung des exzentrischen Abstands im Zustand II:

\(
\mathrm{e_{sh,z,II}} = \dfrac{\mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (oben)}}}{\mathrm{A_{s,def,+z (unten)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (oben)}}} - \mathrm{z_{II}}
\)
\(
\mathrm{e_{sh,z,II}} = \dfrac{22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm}}{22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2}} - 59.9\,\mathrm{mm} = 66.1\,\mathrm{mm}
\)

• Berechnung des Biegemoments M_sh,y,II :

\(
\mathrm{M_{sh,y,II}} = \mathrm{N_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,II}}
\)

\(
\mathrm{M_{sh,y,II}} = 265.402\,\mathrm{kN} \cdot 66.1\,\mathrm{mm} = 17.54\,\mathrm{kNm}
\)

• Berechnung des Krümmungsfaktors k_sh,y,II :

\(
\mathrm{k_{sh,y,II}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,II}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}
\)

\(
\mathrm{k_{sh,y,II}} = \dfrac{17.54\,\mathrm{kNm} + 50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}}{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}} = 1.347
\)

Die Krümmung im gerissenen Zustand unter Berücksichtigung von Kriechen und Schwinden beträgt:

\(
\mathrm{\kappa_{y,II}} =\mathrm{k_{sh,y,II}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{\mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}}
\)

\(
\mathrm{\kappa_{y,II}} = 1.347 \cdot \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}} = 22.0\,\mathrm{mrad/m}
\)

6.3. Effektive Krümmung unter Berücksichtigung des Risszustandes

• Berechnung der maximalen Spannung σ_max,lt :

\(
\mathrm{\sigma_{max,lt}} = \dfrac{\mathrm{N_{Ed}} + \mathrm{N_{sh}}}{\mathrm{A_{I}}} + \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \left( \mathrm{z_{I}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right) + \mathrm{M_{sh,y,I}}}{\mathrm{I_{y,I}}} \cdot \left( \mathrm{h} - \mathrm{z_{I}} \right)
\)

\(
\mathrm{\sigma_{max,lt}} = \dfrac{0.000\,\mathrm{kN} + 265.402\,\mathrm{kN}}{0.41806\,\mathrm{m^2}} + \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right) + 11.46\,\mathrm{kNm}}{0.00080\,\mathrm{m^4}} \cdot \left( 150.0\,\mathrm{mm} - 82.8\,\mathrm{mm} \right) = 5.811\,\mathrm{N/mm^2}
\)

• Berechnung des Verteilungsbeiwerts ζ_d :

\(
\mathrm{\zeta_{d}} = 1 - \mathrm{\beta} \cdot \left( \frac{\mathrm{f_{ctm}}}{\mathrm{\sigma_{max}}} \right)^{2}
\)

\(
\mathrm{\zeta_{d}} = 1 - 0.500 \cdot \left( \frac{1.900\,\mathrm{N/mm^2}}{5.811\,\mathrm{N/mm^2}} \right)^{2} = 0.947
\)

Der Verteilungsbeiwert wird auch für die zugehörigen Lastkombinationen (LK1 und LK2) berechnet. Das größte Ergebnis ist maßgebend. In diesem Fall ist der Verteilungsbeiwert der quasi-ständigen Lastkombination LK3 der größte und somit maßgebend:
\(
\mathrm{\zeta_{d}} = \mathrm{\zeta_{d,max}} = 0.947
\)

• Berechnung der Krümmung κ_y,f :

\(
\mathrm{\kappa_{y,f}} = \mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{\kappa_{y,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{\kappa_{y,I}}
\)

\(
\mathrm{\kappa_{y,f}} = 0.947 \cdot 22.0\,\mathrm{mrad/m} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 11.2\,\mathrm{mrad/m} = 21.4\,\mathrm{mrad/m}
\)

6.4. Effektiven Querschnittswerte

Mit der mittleren Krümmung und dem Verteilungsbeiwert werden die Endquerschnittswerte unter Berücksichtigung von Kriechen und Schwinden berechnet:

• Berechnung der effektiven Querschnittsfläche A_f :

\(
\mathrm{A_{f}} = \dfrac{\mathrm{A_{I}} \cdot \mathrm{A_{II}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{A_{I}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{A_{II}}}
\)

\(
\mathrm{A_{f}} = \dfrac{0.41806\,\mathrm{m^2} \cdot 0.20544\,\mathrm{m^2}}{0.947 \cdot 0.41806\,\mathrm{m^2} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 0.20544\,\mathrm{m^2}} = 0.21118\,\mathrm{m^2}
\)

• Effektives Trägheitsmoment zum Querschnittsmittelpunkt:

\(
\mathrm{I_{y,f}} = \dfrac{\mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{k_{sh,y,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{I_{y,II}} \cdot \mathrm{k_{sh,y,I}}}
\)

\(
\mathrm{I_{y,f}} = \dfrac{0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}}{0.947 \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot 1.347 + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4} \cdot 1.227} = 0.00034\,\mathrm{m^4}
\)

• Exzentrizität des Schwerpunkts e_z,f :

\(
\mathrm{e_{z,f}} = \dfrac{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{e_{z,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}}
\)

\(
\mathrm{e_{z,f}} = \dfrac{0.947 \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot (-15.1)\,\mathrm{mm} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{0.947 \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}} = -14.4\,\mathrm{mm}
\)

• Effektives Trägheitsmoment zum geometrischen Querschnittsmittelpunkt I_y,0,f :

\(
\mathrm{I_{y,0,f}} = \mathrm{I_{y,f}} + \mathrm{A_{f}} \cdot \left( \mathrm{e_{z,f}} \right)^{2}
\)

\(
\mathrm{I_{y,0,f}} = 0.00034\,\mathrm{m^4} + 0.21118\,\mathrm{m^2} \cdot \left( -14.4\,\mathrm{mm} \right)^{2} = 0.00039\,\mathrm{m^4}
\)

6.5. Effektive Steifigkeiten

• Membransteifigkeit EA_f :

\(
\mathrm{EA_{f}} = \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{A_{f}}
\)

\(
\mathrm{EA_{f}} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.21118\,\mathrm{m^2} = 1458100.00\,\mathrm{kN}
\)

• Tangentenbiegesteifigkeit EI_y,0,f :

\(
\mathrm{EI_{y,0,f}} = \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,0,f}}
\)

\(
\mathrm{EI_{y,0,f}} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00039\,\mathrm{m^4}
\)

\(
\mathrm{EI_{y,0,f}} = 2665.68\,\mathrm{kNm^2}
\)

• Faktor zur Reduzierung der Schubsteifigkeiten r_z :

\(
\mathrm{r_{z}} = \dfrac{\mathrm{I_{y,f}}}{\mathrm{I_{y,I}}}
\)

\(
\mathrm{r_{z}} = \dfrac{0.00034\,\mathrm{m^4}}{0.00080\,\mathrm{m^4}} = 0.425
\)

• Schubsteifigkeit GA_f

\(
\mathrm{GA_{y,f}} = \mathrm{G_{c,eff}} \cdot \mathrm{A_{c,y}} \cdot \mathrm{r_{z}}
\)

\(
\mathrm{GA_{y,f}} = 2876.9\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.29500\,\mathrm{m^2} \cdot 0.425 = 360953.00\,\mathrm{kN}
\)

• Torsionsteifigkeit GI_T,F

\(
\mathrm{GI_{T,f}} = \mathrm{GI_{T,I}} = 5865.88\,\mathrm{kNm^2}
\)

• Exzentrisches Steifigkeitselement ES_y

\(
\mathrm{ES_{y}} = \mathrm{EA_{f}} \cdot \mathrm{e_{z,f}}
\)

\(
\mathrm{ES_{y}} = 1458100.000\,\mathrm{kN} \cdot (-14.4)\,\mathrm{mm} = -20991.40\,\mathrm{kNm}
\)

6.6. Berechnung der Durchbiegung

Mit den berechneten effektiven Steifigkeiten führt RFEM 6 die Verformungsberechnung für die quasi-ständige Lastkombination durch:

• Durchbiegung u_z

\(
\mathrm{u_{z}} = 30.1\,\mathrm{mm}
\)

• Grenzdurchbiegung u_z,lim

\(
\mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{\mathrm{L_{z,ref}}}{\dfrac{\mathrm{L_{z,ref}}}{\mathrm{u_{z,lim}}}}
\)

\(
\mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{3.600\,\mathrm{m}}{250.000} = 14.4\,\mathrm{mm}
\)

• Nachweiskriterium η

\(
\mathrm{\eta_z} = \left|\dfrac{\mathrm{u_{z}}}{\mathrm{u_{z,lim}}}\right|
\)

\(
\mathrm{\eta_z} = \left|\dfrac{30.1\,\mathrm{mm}}{14.4\,\mathrm{mm}}\right| = 2.090 > 1
\)

Die berechnete Durchbiegung beträgt das Doppelte der zulässigen Grenzdurchbiegung. Der Nachweis ist daher in der quasi-ständigen Bemessungssituation nicht erfüllt.

7. Durchbiegungsnachweis für die häufige Lastkombination

Da nur Dauerlasten (quasi-ständige Bemessungssituationen) Kriechen verursachen, bleiben Kriecheffekte bei der Berechnung der Querschnittswerte für kurzzeitige Belastungen (häufige und charakteristische Bemessungssituationen) unberücksichtigt. Daher wird für diese Berechnungen der mittlere Elastizitätsmodul des Betons (E_cm = 29000 N/mm²) verwendet:

• Verhältnis der E-Moduln für ungerissenen Zustand (Kurzzeitbelastung):

\(
\mathrm{\alpha_{e,I,st}} = \dfrac{\mathrm{E_{s}}}{\mathrm{E_{cm}}} = \dfrac{200000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{29000.000\,\mathrm{N/mm^2}} = 6.90
\)
Das Verhältnis α_e,I,st beschreibt das Verhältnis der Steifigkeit von Stahl zu Beton unter Kurzzeitbelastung und wird für die Berechnung der Querschnittswerte verwendet.

Ungerissener Zustand
Parameter	Beschreibung	Wert	Einheit
αe,I	Verhältnis der E-Moduln für ungerissenen Zustand	6.90	[-]
My,Ed,def	Bemessungsbiegemoment für Durchbiegungsberechnung	54.43	kNm
zI	Schwerpunktabstand des ideellen Querschnitts von der Betonfläche unter Druck (ungerissen)	77.1	mm
AI	Wirksame Querschnittsfläche im ungerissenen Zustand	3692.53	cm2
Iy,I	Effektives Trägheitsmoment zum ideellen Schwerpunkt im ungerissenen Zustand	70178.40	cm4
ez,I	Exzentrizität des ideellen Querschnittsschwerpunkts im ungerissenen Zustand	2.1	mm
κy,I	Krümmung für ungerissenen Zustand	2.7	mrad/m

Gerissener Zustand
Parameter	Beschreibung	Wert	Einheit
αe,II	Verhältnis der E-Moduln für gerissenen Zustand	6.90	[-]
zII	Schwerpunktabstand des ideellen Querschnitts von der Betonfläche unter Druck (gerissen)	34.4	mm
AII	Wirksame Querschnittsfläche im gerissenen Zustand	964.57	cm2
Iy, II	Effektives Trägheitsmoment zum ideellen Schwerpunkt im gerissenen Zustand	16000.40	cm4
ez,II	Exzentrizität des ideellen Querschnittsschwerpunkts im gerissenen Zustand	-40.6	mm
κy,II	Krümmung für gerissenen Zustand	11.7	mrad/m

• Verteilungsbeiwert ζ_d :

\(
\sigma_{\text{max}} = \dfrac{N_{\text{Ed}}}{A_{\text{I}}} + \dfrac{M_{y,\text{Ed,def}} - N_{\text{Ed}} \cdot \left( z_{\text{I}} - \dfrac{h}{2} \right)}{I_{y,\text{I}}} \cdot \left( h - z_{\text{I}} \right)
\)

\(
\sigma_{\text{max}} = \dfrac{0.000 \, \text{kN}}{3692.53 \, \text{cm}^2} + \dfrac{54.43 \, \text{kNm} - 0.000 \, \text{kN} \cdot \left( 77.1 \, \text{mm} - \dfrac{150.0 \, \text{mm}}{2} \right)}{70178.40 \, \text{cm}^4} \cdot \left( 150.0 \, \text{mm} - 77.1 \, \text{mm} \right) = 5.654 \, \text{N/mm}^2
\)

Unter Kurzzeitbelastung beträgt die Lasteinwirkungsdauer bzw. der Wiederholungskoeffizient β nach DIN EN 1992‑1‑1, 7.4.3 (3), 1.0:

\(
\zeta_d = 1 - \beta \cdot \left( \dfrac{f_{\text{ctm}}}{\sigma_{\text{max}}} \right)^2
\)

\(
\zeta_d = 1 - 1.000 \cdot \left( \dfrac{1.900 \, \text{N/mm}^2}{5.654 \, \text{N/mm}^2} \right)^2 = 0.887
\)

Da der Verteilungsbeiwert der häufigen Lastkombination kleiner ist, ist der Verteilungsbeiwert der quasi-ständigen Lastkombination der maßgebende:

\(
\zeta_d = \zeta_{\text{max}} = 0.947
\)

Mit dem Verteilungsbeiwert wird die Krümmung aus dem ungerissenen und gerissenen Zustand, die Endquerschnittswerte sowie die daraus resultierenden Endsteifigkeiten berechnet:

Effektive Querschnitte und Steifigkeiten für die häufige Bemessungssituation
Parameter	Beschreibung	Wert	Einheit
κy,f	Krümmung aus ungerissenem und gerissenem Zustand	11.2	mrad/m
Af	Effektive Querschnittsfläche	1004.23	cm2
Iy,f	Effektives Trägheitsmoment zum ideellen Querschnittsmittelpunkt	16689.20	cm⁴
ez,f	Exzentrizität des Schwerpunkts	-40.0	mm
Iy,0,f	Effektives Trägheitsmoment zum geometrischen Querschnittsmittelpunkt	32796.10	cm4
EAf	Membransteifigkeit	2912260.000	kN
EIy,0,f	Tangentenbiegesteifigkeit	9510.86	kNm²
rz	Faktor zur Reduzierung der Schubsteifigkeiten	0.238
GAf	Schubsteifigkeit	847697.000	kN
GIt,f	Torsionssteifigkeit	24637.30	kNm²
ESy	Exzentrisches Steifigkeitselement	-116633.00	kNm

Mit diesen Endsteifigkeiten rechnet RFEM die Verformung der häufige Lastkombination:
\(
\mathrm{u_{z,ges,st}} = 14.4\,\mathrm{mm}
\)

Die Berechnung der Gesamtdurchbiegung des Bauteils unter häufige Lasten erfordert die Berücksichtigung der verschiedenen Verformungsbeiträge, die durch unterschiedliche Lastarten und ihre jeweiligen Auswirkungen auf das Bauteil entstehen. Die Langzeit- und Kurzzeitverformungen müssen differenziert behandelt werden, um die tatsächliche Durchbiegung korrekt zu bestimmen:

\(
u_{z,ges} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,ges,st} - u_{z,QP,st} \right)
\)

• Langzeitverformung u_z,QP,lt : Diese Verformung wird durch kriecherzeugende Lasten verursacht und berücksichtigt die Kriecheffekte, die das Bauteil über einen langen Zeitraum erfahren wird. u_z,QP,lt = 15.6mm (Berechnet in Abschnitt 6).

• Kurzzeitverformung u_z,ges,st : Diese Verformung tritt sofort nach dem Aufbringen der häufigen Last. u_z,ges,st = 14.4mm.

• Sofortige Verformung aus der kriecherzeugenden Last u_z,QP,st : Diese Verformung entsteht unmittelbar nach dem Aufbringen der kriecherzeugenden Lasten und ist die sofortige Reaktion des Bauteils, bevor Kriechen einsetzt.

Die Gesamtdurchbiegung u_z,ges setzt sich aus der Langzeitverformung u_z,QP,lt und der Differenz zwischen der Kurzzeitverformung u_z,ges,st und der sofortigen Verformung der kriecherzeugenden Lasten u_z,QP,st zusammen. Letztere wird abgezogen, da sie bereits in der Kurzzeitverformung u_z,ges,st enthalten ist. Das folgende Diagramm stellt dies anschaulich dar, wobei die verschiedenen Bereiche die einzelnen Verformungsarten und deren zeitlichen Verlauf zeigen:

\(
u_{z,ges} = 30.1 \, \text{mm} + \left( 14.4 \, \text{mm} - 13.3 \, \text{mm} \right) = 31.2 \, \text{mm}
\)

• Grenzdurchbiegung u_z,lim

\(
u_{z,lim} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}}
\)

\(
u_{z,lim} = \dfrac{3.600 \, \text{m}}{200.000} = 18.0 \, \text{mm}
\)

• Nachweiskriterium η

\(
\eta = \left| \dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}} \right|
\)

\(
\eta = \left| \dfrac{31.2 \, \text{mm}}{18.0 \, \text{mm}} \right| = 1.733
\)

Der Nachweis ist für die häufige Bemessungssituation nicht erfüllt.

8. Durchbiegungsnachweis für die charakteristische Lastkombination

Die Berechnung erfolgt wie bei der häufigen Lastkombination:

Ungerissener Zustand
Parameter	Beschreibung	Wert	Einheit
αe,I	Verhältnis der E-Moduln für ungerissenen Zustand	6.90	[-]
My,Ed,def	Bemessungsbiegemoment für Durchbiegungsberechnung	58.32	kNm
zI	Schwerpunktabstand des ideellen Querschnitts von der Betonfläche unter Druck (ungerissen)	77.1	mm
AI	Wirksame Querschnittsfläche im ungerissenen Zustand	3692.53	cm2
Iy,I	Effektives Trägheitsmoment zum ideellen Schwerpunkt im ungerissenen Zustand	70178.40	cm4
ez,I	Exzentrizität des ideellen Querschnittsschwerpunkts im ungerissenen Zustand	2.1	mm
κy,I	Krümmung für ungerissenen Zustand	2.9	mrad/m

Gerissener Zustand
Parameter	Beschreibung	Wert	Einheit
αe,II	Verhältnis der E-Moduln für gerissenen Zustand	6.90	[-]
zII	Schwerpunktabstand des ideellen Querschnitts von der Betonfläche unter Druck (gerissen)	34.4	mm
AII	Wirksame Querschnittsfläche im gerissenen Zustand	964.57	cm2
Iy, II	Effektives Trägheitsmoment zum ideellen Schwerpunkt im gerissenen Zustand	16000.40	cm4
ez,II	Exzentrizität des ideellen Querschnittsschwerpunkts im gerissenen Zustand	-40.6	mm
κy,II	Krümmung für gerissenen Zustand	12.6	mrad/m

Die Berechnung des Verteilungbeiwertes erfolgt auch analog:

\(
\sigma_{\text{max}} = \dfrac{N_{\text{Ed}}}{A_{\text{I}}} + \dfrac{M_{y,\text{Ed,def}} - N_{\text{Ed}} \cdot \left( z_{\text{I}} - \dfrac{h}{2} \right)}{I_{y,\text{I}}} \cdot \left( h - z_{\text{I}} \right)
\)

\(
\sigma_{\text{max}} = \dfrac{0.000 \, \text{kN}}{3692.53 \, \text{cm}^2} + \dfrac{58.32 \, \text{kNm} - 0.000 \, \text{kN} \cdot \left( 77.1 \, \text{mm} - \dfrac{150.0 \, \text{mm}}{2} \right)}{70178.40 \, \text{cm}^4} \cdot \left( 150.0 \, \text{mm} - 77.1 \, \text{mm} \right) = 6.058 \, \text{N/mm}^2
\)

\(
\zeta_d = 1 - \beta \cdot \left( \dfrac{f_{\text{ctm}}}{\sigma_{\text{max}}} \right)^2
\)

\(
\zeta_d = 1 - 1.000 \cdot \left( \dfrac{1.900 \, \text{N/mm}^2}{6.058 \, \text{N/mm}^2} \right)^2 = 0.902\) > 0.947

\(
\zeta_d = \zeta_{\text{max}} = 0.947
\)

Effektive Querschnitte und Steifigkeiten für die häufige Bemessungssituation
Parameter	Beschreibung	Wert	Einheit
κy,f	Krümmung aus ungerissenem und gerissenem Zustand	12.0	mrad/m
Af	Effektive Querschnittsfläche	1004.23	cm2
Iy,f	Effektives Trägheitsmoment zum ideellen Querschnittsmittelpunkt	16689.20	cm⁴
ez,f	Exzentrizität des Schwerpunkts	-40.0	mm
Iy,0,f	Effektives Trägheitsmoment zum geometrischen Querschnittsmittelpunkt	32796.10	cm4
EAf	Mmembransteifigkeit	2912260.000	kN
EIy,0,f	Biegesteifigkeit	9510.86	kNm²
rz	Faktor zur Reduzierung der Schubsteifigkeiten	0.238
GAf	Schubsteifigkeit	847697.000	kN
GIt,f	Torsionssteifigkeit	24637.30	kNm²
ESy	Exzentrisches Steifigkeitselement	-116633.00	kNm

Mit diesen Endsteifigkeiten rechnet RFEM die Verformung der häufige Lastkombination:
\(
\mathrm{u_{z,ges,st}} = 15.5\,\mathrm{mm}
\)

Die Gesamtdurchbiegung beträgt dann:
\(
u_{z,ges} = 30.1 \, \text{mm} + \left( 15.5 \, \text{mm} - 13.3 \, \text{mm} \right) = 32.3 \, \text{mm}
\)

• Grenzdurchbiegung u_z,lim

\(
u_{z,lim} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}}
\)

\(
u_{z,lim} = \dfrac{3.600 \, \text{m}}{100.000} = 36 \, \text{mm}
\)

• Nachweiskriterium η

\(
\eta = \left| \dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}} \right|
\)

\(
\eta = \left| \dfrac{32.3 \, \text{mm}}{36.0 \, \text{mm}} \right| = 0.897
\)

Der Nachweis ist für die charakteristische Bemessungssituation erfüllt.