Analyse de la déformation d’une poutre en béton armé avec influence du fluage de charges permanentes

Tout d’abord, le modèle et les données d’entrée, comprenant les matériaux, les charges ainsi que les paramètres de fluage et de retrait, sont expliqués. Ensuite, le calcul détaillé de la déformation pour la combinaison de charges quasi-permanente est présenté. Enfin, l’intégration des effets de fluage aux déformations des situations de projet fréquentes et caractéristiques est démontrée.

1. Données d’entrée

Géométrie

Système : Poutre à travée simple
Portée : l = 3,600 m
Largeur : b = 2,360 m
Hauteur : h = 0,150 m
Hauteur utile : d = 0.126 m

Matériaux

• Béton C16/20

Résistance caractéristique en compression : f_ck = 16.000 N/mm²
Résistance moyenne en traction : f_ctm = 1.900 N/mm²
Module d’élasticité : E_cm = 29000.0 N/mm²

• Acier de béton armé

Limite d’élasticité caractéristique : f_yk = 410.000 N/mm²
Module d’élasticité : E_s = 200000.0 N/mm²
Quantité d’armatures : 11 barres
Aire d’armatures : A_s,prév = 2210 mm²
Ratio d’armatures : ρ = 0,743 %

Charges

La poutre à travée simple d’une portée de 3,6 m est chargée par les charges uniformément réparties suivantes :

• Charge permanente : g_k = 12000 kN/m
• Charge variable : q_k = 24000 kN/m

Pour le calcul de la déformation selon l’EC2, trois combinaisons d’actions caractéristiques sont considérées :

• Combinaison quasi-permanente :

g_k + ψ₂·q_k = 12.000 + 0.8 × 24.000 = 31.2 kN/m

• Combinaison fréquente :

g_k + ψ₁·q_k = 12.000 + 0.9 × 24.000 = 33.6 kN/m

• Combinaison caractéristique :

g_k + q_k = 12.000 + 24.0 = 36.000 kN/m

2. Efforts internes

Les moments fléchissants au milieu de la travée sont calculés comme suit :

Caractéristique: M_Ed,car. = 58.320 kNm
Fréquent : M_Ed,fréquent = 54.430 kNm
Quasi-permanent : M_Ed,Qp = 50.540 kNm

3. Propriétés dépendantes du temps du béton

Pour être pris en compte dans la vérification, l’effet de fluage et de retrait doivent être activés dans les propriétés matérielles du béton.

Pour entrer les valeurs de fluage et de retrait manuellement, les propriétés dépendantes du temps du béton de la section de la poutre doivent être activées.

Sur la base des valeurs du coefficient de fluage calculé φ₀ et de la déformation due au retrait de dessication ε_cd,0 entrées manuellement, un coefficient de fluage effectif de φ_(t|t₀) = 3.2 ainsi qu’une déformation due au retrait totale résultante de ε_cs(∞) = −0.6 ‰ sont obtenus. Ces valeurs servent de paramètres d’entrée pour l’analyse suivante des déformations à long terme du béton.

4. Critères de limitation des flèches

Les valeurs limites admissibles pour la flèche sont présumées comme suit :

• Flèche à long terme sous action quasi-permanente :

f_lim,qp = l/250 = 3600/250 = 14,4 mm

• Flèche à court terme sous combinaison de charges fréquente :

f_lim,freq = l/200 = 3600/200 = 18,0 mm

• Flèche à court terme sous combinaison de charges caractéristique :

f_lim,char = l/100 = 3600/100 = 36,0 mm

La vérification de la flèche s’effectue par défaut uniquement pour la situation de projet quasi-permanente. Pour effectuer la vérification également pour la situation de projet fréquente et caractéristique, l’option Assignation définie par l'utilisateur de types de situation de projet doit être activée dans la configuration pour l’ELS. Après activation de cette option, des valeurs limites pour la flèche admissible doivent être spécifiées pour chaque situation de projet activée.

5. Détection de l'état fissuré

La détection de l’état fissuré peut être réglée dans la configuration de l’aptitude au service.
L’état fissuré influence le calcul du coefficient de distributioin ζ_d :

• Si l’option État fissuré calculé d'après la charge associée est activée, ζ_d est calculé uniquement sur la base de la charge actuelle (combinaison de charges).
• Si l’option État fissuré d'après la CO correspondante de la situation de projet à l'ELS d'après la charge associée est activée, ζ_d est calculé comme le maximum de toutes les charges associées. Dans cet exemple, cette option est sélectionnée.

6. Vérification de la flèche pour la combinaison de charges quasi-permanente

6.1. Courbure pour l’état non fissuré

a) Modules d’élasticité et rapport des modules d’élasticité

• Module d’élasticité effectif du béton :

\(
\mathrm{E_{c,eff}} = \dfrac{\mathrm{E_{cm}}}{1 + \varphi} = \dfrac{29000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{1 + 3.200} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2}
\)
Les influences du fluage sont prises en compte par une diminution du module d’élasticité. L’influence du fluage est incluse par le coefficient de fluage final φ.

• Rapport des modules d’élasticité pour l’état non fissuré et fissuré :

\(
\mathrm{\alpha_{e,I}} = \mathrm{\alpha_{e,II}} = \dfrac{\mathrm{E_{s}}}{\mathrm{E_{c,I}}} = \dfrac{200000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2}} = 28.97
\)

• Moment fléchissant de calcul pour la vérification de la flèche :

\(
\mathrm{M_{y,Ed,def}} = \left| \mathrm{M_{y,Ed,def}} \right| = \left| 50.54\,\mathrm{kNm} \right| = 50.54\,\mathrm{kNm}
\)

b) Propriétés de la section dans l’état I

• Distance du centre de gravité de la section idéale à la face en compression du béton (déterminée pour l’état non fissuré) :

\(
\mathrm{z_{I}} = \dfrac{\mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \dfrac{\mathrm{h}}{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (en bas)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (bas)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (haut)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (en haut)}} \right)}{\mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (bas)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (haut)}} \right)}
\)

\(
\mathrm{z_{I}} = \dfrac{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right)}{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right)} = 82.8\,\mathrm{mm}
\)

• Section efficace dans l’état non fissuré :

\(
\mathrm{A_{I}} = \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (en bas)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (en haut)}} \right)
\)

\(
\mathrm{A_{I}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right) = 0.41806\,\mathrm{m^2}
\)

• Moment d’inertie effectif au centre de gravité idéal dans l’état non fissuré :

\(
\mathrm{I_{y,I}} = \mathrm{b} \cdot \dfrac{\left(\mathrm{h}\right)^{3}}{12} + \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \left( z_{I} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \mathrm{A_{s,def,+z (bas)}} \cdot \left( \mathrm{d_{def,+z (bas)}} - z_{I} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,I}} \cdot \mathrm{A_{s,def,-z (haut)}} \cdot \left( z_{I} - \mathrm{d_{def,-z (haut)}} \right)^{2}
\)

\(
\mathrm{I_{y,I}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{\left(150.0\,\mathrm{mm}\right)^{3}}{12} + 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right)^{2} + 28.97 \cdot 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 126.0\,\mathrm{mm} - 82.8\,\mathrm{mm} \right)^{2} + 28.97 \cdot 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - 75.0\,\mathrm{mm} \right)^{2} = \mathrm{I_{y,I}} = 0.00080\,\mathrm{m^4}
\)

• Excentrement du centre de gravité de la section idéale dans l’état non fissuré :

\(
\mathrm{e_{z,I}} = z_{I} - \dfrac{\mathrm{h}}{2}
\)

\(
\mathrm{e_{z,I}} = 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} = 7.8\,\mathrm{mm}
\)

c) Retrait - État I

• Force supplémentaire due au retrait libre

\(
\mathrm{N_{sh}} = - \mathrm{E_{s}} \cdot \varepsilon_{\mathrm{sh}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (bas)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (bas)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (haut)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (haut)}} \right)
\)

\(
\mathrm{N_{sh}} = -200000.000\,\mathrm{N/mm^2} \cdot -0.600\,\text{‰} \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right) = 265.402\,\mathrm{kN}
\)

• Excentrement de la force de retrait au centre de gravité de la section idéale dans l’état non fissuré

\(
\mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{\mathrm{A_{s,def,+z (bas)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (bas)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (haut)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (haut)}}}{\mathrm{A_{s,def,+z (bas)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (haut)}}} - \mathrm{z_{I}}
\)

\(
\mathrm{e_{sh,z,I}} = \dfrac{22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm}}{22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2}} - 82.8\,\mathrm{mm} = 43.2\,\mathrm{mm}
\)

• Moment fléchissant par effort normal \(N_{sh}\) pour l’état non fissuré

\(
\mathrm{M_{sh,y,I}} = \mathrm{N_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,I}}
\)

\(
\mathrm{M_{sh,y,I}} = 265.402\,\mathrm{kN} \cdot 43.2\,\mathrm{mm} = 11.46\,\mathrm{kNm}
\)

• Coefficient de courbure pour l’état non fissuré

Le coefficient de courbure indique comment le moment de retrait agit par rapport à l’effort normal et à l’excentrement. Il montre comment la distribution de la force de retrait et la position du centre de gravité influencent les déformations de l’élément. Cette valeur est cruciale pour décrire complètement les déformations de la section dues au retrait :

\(
\mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,I}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}
\)

\(
\mathrm{k_{sh,y,I}} = \dfrac{11.46\,\mathrm{kNm} + 50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}} = 1.227
\)

La courbure dans l’état non fissuré en tenant compte du fluage et du retrait est de :

\(
\mathrm{\kappa_{y,I}} = \mathrm{k_{sh,y,I}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}}}
\)

\(
\mathrm{\kappa_{y,I}} = 1.227 \cdot \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4}} = 11.2\,\mathrm{mrad/m}
\)

6.2. Courbure pour l’état fissuré

a). Propriétés de section dans l’état II

• Distance du centre de gravité de la section idéale à la face en compression du béton (déterminée pour l’état fissuré) :

\(
\mathrm{z_{II}} = \dfrac{\mathrm{b} \cdot \mathrm{x_{II}} \cdot \dfrac{\mathrm{x_{II}}}{2} + \alpha_{e,II} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (bas)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (bas)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (haut)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (haut)}} \right)}{\mathrm{b} \cdot \mathrm{x_{II}} + \alpha_{e,II} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (en bas)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (haut)}} \right)}
\)

\(
\mathrm{z_{II}} = \dfrac{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 59.9\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{59.9\,\mathrm{mm}}{2} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm} \right)}{2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 59.9\,\mathrm{mm} + 28.97 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right)} = 59.9\,\mathrm{mm}
\)

• Section efficace dans l’état fissuré :

\(
\mathrm{A_{II}} = \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \left( \mathrm{A_{s,def,+z (en bas)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (en haut)}} \right)
\)

\(
\mathrm{A_{II}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} + 6.90 \cdot \left( 22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \right) = 0.36925\,\mathrm{m^2}
\)

• Moment d’inertie effectif au centre de gravité idéal dans l’état fissuré :

\(
\mathrm{I_{y,II}} = \mathrm{b} \cdot \dfrac{\left(\mathrm{h}\right)^{3}}{12} + \mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot \left( \mathrm{z_{II}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \mathrm{A_{s,def,+z (en bas)}} \cdot \left( \mathrm{d_{def,+z (en bas)}} - \mathrm{z_{II}} \right)^{2} + \mathrm{\alpha_{e,II}} \cdot \mathrm{A_{s,def,-z (en haut)}} \cdot \left( \mathrm{z_{II}} - \mathrm{d_{def,-z (en haut)}} \right)^{2}
\)

\(
\mathrm{I_{y,II}} = 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot \dfrac{\left(150.0\,\mathrm{mm}\right)^{3}}{12} + 2360.0\,\mathrm{mm} \cdot 150.0\,\mathrm{mm} \cdot \left( 77.1\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right)^{2} + 6.90 \cdot 22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 126.0\,\mathrm{mm} - 77.1\,\mathrm{mm} \right)^{2} + 6.90 \cdot 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot \left( 77.1\,\mathrm{mm} - 75.0\,\mathrm{mm} \right)^{2} = 0.00070\,\mathrm{m^4}
\)

• Excentrement du centre de gravité de la section idéale dans l’état fissuré :

\(
\mathrm{e_{z,II}} = \mathrm{z_{II}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2}
\)

\(
\mathrm{e_{z,II}} = 77.1\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} = -15.1\,\mathrm{mm}
\)

b) Retrait - État II

• Calcul de la distance excentrée dans l’état II :

\(
\mathrm{e_{sh,z,II}} = \dfrac{\mathrm{A_{s,def,+z (en bas)}} \cdot \mathrm{d_{def,+z (en bas)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (en haut)}} \cdot \mathrm{d_{def,-z (en haut)}}}{\mathrm{A_{s,def,+z (en bas)}} + \mathrm{A_{s,def,-z (en haut)}}} - \mathrm{z_{II}}
\)
\(
\mathrm{e_{sh,z,II}} = \dfrac{22.12\,\mathrm{cm^2} \cdot 126.0\,\mathrm{mm} + 0.00\,\mathrm{cm^2} \cdot 75.0\,\mathrm{mm}}{22.12\,\mathrm{cm^2} + 0.00\,\mathrm{cm^2}} - 59.9\,\mathrm{mm} = 66.1\,\mathrm{mm}
\)

• Calcul du moment fléchissant M_sh,y,II :

\(
\mathrm{M_{sh,y,II}} = \mathrm{N_{sh}} \cdot \mathrm{e_{sh,z,II}}
\)

\(
\mathrm{M_{sh,y,II}} = 265.402\,\mathrm{kN} \cdot 66.1\,\mathrm{mm} = 17.54\,\mathrm{kNm}
\)

• Calcul du facteur de courbure k_sh,y,II :

\(
\mathrm{k_{sh,y,II}} = \dfrac{\mathrm{M_{sh,y,II}} + \mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}
\)

\(
\mathrm{k_{sh,y,II}} = \dfrac{17.54\,\mathrm{kNm} + 50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}}{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}} = 1.347
\)

La courbure dans l’état fissuré en tenant compte du fluage et du retrait est de :

\(
\mathrm{\kappa_{y,II}} =\mathrm{k_{sh,y,II}} \cdot \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \mathrm{e_{z,II}}}{\mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}}
\)

\(
\mathrm{\kappa_{y,II}} = 1.347 \cdot \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot 15.1\,\mathrm{mm}}{6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}} = 22.0\,\mathrm{mrad/m}
\)

6.3. Courbure effective en considérant l’état fissuré

• Calcul de la contrainte maximale σ_max,lt :

\(
\mathrm{\sigma_{max,lt}} = \dfrac{\mathrm{N_{Ed}} + \mathrm{N_{sh}}}{\mathrm{A_{I}}} + \dfrac{\mathrm{M_{y,Ed,def}} - \mathrm{N_{Ed}} \cdot \left( \mathrm{z_{I}} - \dfrac{\mathrm{h}}{2} \right) + \mathrm{M_{sh,y,I}}}{\mathrm{I_{y,I}}} \cdot \left( \mathrm{h} - \mathrm{z_{I}} \right)
\)

\(
\mathrm{\sigma_{max,lt}} = \dfrac{0.000\,\mathrm{kN} + 265.402\,\mathrm{kN}}{0.41806\,\mathrm{m^2}} + \dfrac{50.54\,\mathrm{kNm} - 0.000\,\mathrm{kN} \cdot \left( 82.8\,\mathrm{mm} - \dfrac{150.0\,\mathrm{mm}}{2} \right) + 11.46\,\mathrm{kNm}}{0.00080\,\mathrm{m^4}} \cdot \left( 150.0\,\mathrm{mm} - 82.8\,\mathrm{mm} \right) = 5.811\,\mathrm{N/mm^2}
\)

• Calcul du coefficient de distribution ζ_d :

\(
\mathrm{\zeta_{d}} = 1 - \mathrm{\beta} \cdot \left( \frac{\mathrm{f_{ctm}}}{\mathrm{\sigma_{max}}} \right)^{2}
\)

\(
\mathrm{\zeta_{d}} = 1 - 0.500 \cdot \left( \frac{1.900\,\mathrm{N/mm^2}}{5.811\,\mathrm{N/mm^2}} \right)^{2} = 0.947
\)

Le coefficient de distribution est également calculé pour les combinaisons de charges associées (CO1 et CO2). Le plus grand résultat est utilisé. Dans ce cas, le coefficient de distribution de la combinaison de charge quasi-permanente CO3 est le plus grand et donc déterminant :
\(
\mathrm{\zeta_{d}} = \mathrm{\zeta_{d,max}} = 0.947
\)

• Calcul de la courbure κ_y,f :

\(
\mathrm{\kappa_{y,f}} = \mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{\kappa_{y,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{\kappa_{y,I}}
\)

\(
\mathrm{\kappa_{y,f}} = 0.947 \cdot 22.0\,\mathrm{mrad/m} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 11.2\,\mathrm{mrad/m} = 21.4\,\mathrm{mrad/m}
\)

6.4. Propriétés finales de la section

Avec la courbure moyenne et le coefficient de répartition, les propriétés finales de la section sont calculées en tenant compte du fluage et du retrait :

• Calcul de la section efficace A_f :

\(
\mathrm{A_{f}} = \dfrac{\mathrm{A_{I}} \cdot \mathrm{A_{II}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{A_{I}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{A_{II}}}
\)

\(
\mathrm{A_{f}} = \dfrac{0.41806\,\mathrm{m^2} \cdot 0.20544\,\mathrm{m^2}}{0.947 \cdot 0.41806\,\mathrm{m^2} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 0.20544\,\mathrm{m^2}} = 0.21118\,\mathrm{m^2}
\)

• Moment d’inertie effectif au centre de gravité de la section :

\(
\mathrm{I_{y,f}} = \dfrac{\mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{k_{sh,y,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{I_{y,II}} \cdot \mathrm{k_{sh,y,I}}}
\)

\(
\mathrm{I_{y,f}} = \dfrac{0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}}{0.947 \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot 1.347 + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4} \cdot 1.227} = 0.00034\,\mathrm{m^4}
\)

• Excentrement du centre de gravité e_z,f :

\(
\mathrm{e_{z,f}} = \dfrac{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} \cdot \mathrm{e_{z,II}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}} \cdot \mathrm{e_{z,I}}}{\mathrm{\zeta_{d}} \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,I}} + \left( 1 - \mathrm{\zeta_{d}} \right) \cdot \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,II}}}
\)

\(
\mathrm{e_{z,f}} = \dfrac{0.947 \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} \cdot (-15.1)\,\mathrm{mm} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4} \cdot 7.8\,\mathrm{mm}}{0.947 \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00080\,\mathrm{m^4} + \left( 1 - 0.947 \right) \cdot 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00045\,\mathrm{m^4}} = -14.4\,\mathrm{mm}
\)

• Moment d'inertie effectif au centre de gravité géométrique I_y,0,f :

\(
\mathrm{I_{y,0,f}} = \mathrm{I_{y,f}} + \mathrm{A_{f}} \cdot \left( \mathrm{e_{z,f}} \right)^{2}
\)

\(
\mathrm{I_{y,0,f}} = 0.00034\,\mathrm{m^4} + 0.21118\,\mathrm{m^2} \cdot \left( -14.4\,\mathrm{mm} \right)^{2} = 0.00039\,\mathrm{m^4}
\)

6.5. Rigidités effectives

• Rigidité en traction EA_f :

\(
\mathrm{EA_{f}} = \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{A_{f}}
\)

\(
\mathrm{EA_{f}} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.21118\,\mathrm{m^2} = 1458100.00\,\mathrm{kN}
\)

• Rigidité en flexion tangentielle EI_y,0,f :

\(
\mathrm{EI_{y,0,f}} = \mathrm{E_{c,eff}} \cdot \mathrm{I_{y,0,f}}
\)

\(
\mathrm{EI_{y,0,f}} = 6904.6\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.00039\,\mathrm{m^4}
\)

\(
\mathrm{EI_{y,0,f}} = 2665.68\,\mathrm{kNm^2}
\)

• Facteur de réduction des rigidités en cisaillement r_z :

\(
\mathrm{r_{z}} = \dfrac{\mathrm{I_{y,f}}}{\mathrm{I_{y,I}}}
\)

\(
\mathrm{r_{z}} = \dfrac{0.00034\,\mathrm{m^4}}{0.00080\,\mathrm{m^4}} = 0.425
\)

• Rigidité en cisaillement GA_f

\(
\mathrm{GA_{y,f}} = \mathrm{G_{c,eff}} \cdot \mathrm{A_{c,y}} \cdot \mathrm{r_{z}}
\)

\(
\mathrm{GA_{y,f}} = 2876.9\,\mathrm{N/mm^2} \cdot 0.29500\,\mathrm{m^2} \cdot 0.425 = 360953.00\,\mathrm{kN}
\)

• Rigidité en torsion GI_T,F

\(
\mathrm{GI_{T,f}} = \mathrm{GI_{T,I}} = 5865.88\,\mathrm{kNm^2}
\)

• Élément de rigidité excentré ES_y

\(
\mathrm{ES_{y}} = \mathrm{EA_{f}} \cdot \mathrm{e_{z,f}}
\)

\(
\mathrm{ES_{y}} = 1458100.000\,\mathrm{kN} \cdot (-14.4)\,\mathrm{mm} = -20991.40\,\mathrm{kNm}
\)

6.6. Calcul de la flèche

Avec les rigidités effectives calculées, RFEM 6 effectue le calcul de la déformation pour la combinaison de charges quasi-permanente :

• Flèche u_z

\(
\mathrm{u_{z}} = 30.1\,\mathrm{mm}
\)

• Flèche limite u_z,lim

\(
\mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{\mathrm{L_{z,ref}}}{\dfrac{\mathrm{L_{z,ref}}}{\mathrm{u_{z,lim}}}}
\)

\(
\mathrm{u_{z,lim}} = \dfrac{3.600\,\mathrm{m}}{250.000} = 14.4\,\mathrm{mm}
\)

• Critère de vérification η

\(
\mathrm{\eta_z} = \left|\dfrac{\mathrm{u_{z}}}{\mathrm{u_{z,lim}}}\right|
\)

\(
\mathrm{\eta_z} = \left|\dfrac{30.1\,\mathrm{mm}}{14.4\,\mathrm{mm}}\right| = 2.090 > 1
\)

La flèche calculée est le double de la flèche limite admissible. La vérification n’est donc pas réussie dans la situation de projet quasi-permanente.

7. Vérification de la flèche pour la combinaison de charge fréquente

Étant donné que seules les charges permanentes (situations de projet quasi-permanentes) causent le fluage, les effets de fluage sont ignorés lors du calcul des propriétés de la section pour des charges de courte durée (situations de projet fréquentes et caractéristiques). Par conséquent, le module d’élasticité moyen du béton (E_cm = 29000 N/mm²) est utilisé pour ces calculs :

• Rapport des modules d’élasticité pour l’état non fissuré (charge de courte durée) :

\(
\mathrm{\alpha_{e,I,st}} = \dfrac{\mathrm{E_{s}}}{\mathrm{E_{cm}}} = \dfrac{200000.000\,\mathrm{N/mm^2}}{29000.000\,\mathrm{N/mm^2}} = 6.90
\)
Le rapport α_e,I,st décrit le rapport de rigidité entre l’acier et le béton sous charge de courte durée et est utilisé pour le calcul des propriétés de section.

État non fissuré
Paramètre	Description	Valeur	Unité
αe,I	Rapport des modules d’élasticité pour l’état non fissuré	6.90	[-]
My,Ed,def	Moment de flexion de calcul pour la vérification de la flèche	54.43	kNm
zI	Distance du centre de gravité de la section idéale à la face en compression du béton (non fissuré)	77.1	mm
AI	Section efficace dans l’état non fissuré	3692.53	cm2
Iy,I	Moment d’inertie effectif au centre de gravité idéal dans l’état non fissuré	70178.40	cm4
ez,I	Excentrement du centre de gravité de la section idéale dans l’état non fissuré	2.1	mm
κy,I	Courbure pour l’état non fissuré	2.7	mrad/m

État fissuré
Paramètre	Description	Valeur	Unité
αe,II	Rapport des modules d’élasticité pour l’état fissuré	6.90	[-]
zII	Distance du centre de gravité de la section idéale à la face en compression du béton (fissuré)	34.4	mm
AII	Section efficace dans l’état fissuré	964.57	cm2
Iy, II	Moment d’inertie effectif au centre de gravité idéal dans l’état fissuré	16000.40	cm4
ez,II	Excentrement du centre de gravité de la section idéale dans l’état fissuré	-40.6	mm
κy,II	Courbure pour l’état fissuré	11.7	mrad/m

• Coefficient de distribution ζ_d :

\(
\sigma_{\text{max}} = \dfrac{N_{\text{Ed}}}{A_{\text{I}}} + \dfrac{M_{y,\text{Ed,def}} - N_{\text{Ed}} \cdot \left( z_{\text{I}} - \dfrac{h}{2} \right)}{I_{y,\text{I}}} \cdot \left( h - z_{\text{I}} \right)
\)

\(
\sigma_{\text{max}} = \dfrac{0.000 \, \text{kN}}{3692.53 \, \text{cm}^2} + \dfrac{54.43 \, \text{kNm} - 0.000 \, \text{kN} \cdot \left( 77.1 \, \text{mm} - \dfrac{150.0 \, \text{mm}}{2} \right)}{70178.40 \, \text{cm}^4} \cdot \left( 150.0 \, \text{mm} - 77.1 \, \text{mm} \right) = 5.654 \, \text{N/mm}^2
\)

Sous charge de courte durée, la durée de l’action de la charge ou le coefficient de répétition β selon la norme DIN EN 1992-1-1, 7.4.3 (3), 1.0 est de :

\(
\zeta_d = 1 - \beta \cdot \left( \dfrac{f_{\text{ctm}}}{\sigma_{\text{max}}} \right)^2
\)

\(
\zeta_d = 1 - 1.000 \cdot \left( \dfrac{1.900 \, \text{N/mm}^2}{5.654 \, \text{N/mm}^2} \right)^2 = 0.887
\)

Le coefficient de distribution de la combinaison de charge fréquente étant plus petit, c’est le coefficient de distribution de la combinaison de charge quasi-permanente qui est déterminant :

\(
\zeta_d = \zeta_{\text{max}} = 0.947
\)

Avec le coefficient de distribution, la courbure de l’état non fissuré et fissuré, les propriétés finales de la section ainsi que les rigidités finales résultantes sont calculées :

Sections efficaces et rigidités pour la situation de dimensionnement fréquente
Paramètre	Description	Valeur	Unité
κy,f	Courbure de l'état non fissuré et fissuré	11.2	mrad/m
Af	Section efficace	1004.23	cm2
Iy,f	Moment d'inertie effectif au centre de gravité idéal	16689.20	cm⁴
ez,f	Excentrement du centre de gravité	-40.0	mm
Iy,0,f	Moment d’inertie effectif au centre de gravité géométrique	32796.10	cm4
EAf	Rigidité en traction	2912260.000	kN
EIy,0,f	Rigidité en flexion	9510.86	kNm²
rz	Facteur de réduction des rigidités en cisaillement	0.238
GAf	Rigidité en cisaillement	847697.000	kN
GIt,f	Rigidité en torsion	24637.30	kNm²
ESy	Élément de rigidité excentré	-116633.00	kNm

Avec ces rigidités finales, RFEM calcule la déformation de la combinaison de charge fréquente :
\(
\mathrm{u_{z,ges,st}} = 14.4\,\mathrm{mm}
\)

Le calcul de la déformation totale de l’élément sous charges fréquentes nécessite la prise en compte des différentes contributions de déformation, générées par différents types de charges et leurs impacts respectifs sur l’élément. Les déformations à long et court terme doivent être traitées séparément pour déterminer correctement la flèche réelle :

\(
u_{z,tot} = u_{z,QP,lt} + \left( u_{z,ges,st} - u_{z,QP,st} \right)
\)

• Déformation à long terme u_z,QP,lt : Cette déformation est causée par des charges provoquant le fluage et prend en compte les effets de fluage que l’élément subira sur une longue période. u_z,QP,lt = 15.6mm (Calculé dans la clause 6).

• Déformation à court terme u_z,ges,st : Cette déformation survient immédiatement après application de la charge fréquente. u_z,tot,st = 14.4mm.

• Déformation immédiate de la charge provoquant le fluage u_z,QP,st : Cette déformation apparaît immédiatement après application des charges provoquant le fluage et constitue la réponse immédiate de l’élément avant le début du fluage.

La flèche totale u_z,ges est composée de la déformation à long terme u_z,QP,lt et de la différence entre la déformation à court terme u_z,ges,st et la déformation immédiate des charges provoquant le fluage u_z,QP,st . Ce dernier est soustrait car il est déjà inclus dans la déformation à court terme u_z,tot,st. Le schéma suivant illustre cela clairement, les différentes zones représentant les types de déformations individuelles et leur progression dans le temps :

\(
u_{z,tot} = 30.1 \, \text{mm} + \left( 14.4 \, \text{mm} - 13.3 \, \text{mm} \right) = 31.2 \, \text{mm}
\)

• Flèche limite u_z,lim

\(
u_{z,lim} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}}
\)

\(
u_{z,lim} = \dfrac{3.600 \, \text{m}}{200.000} = 18.0 \, \text{mm}
\)

• Critère de vérification η

\(
\eta = \left| \dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}} \right|
\)

\(
\eta = \left| \dfrac{31.2 \, \text{mm}}{18.0 \, \text{mm}} \right| = 1.733
\)

La vérification n’est pas réussie pour la situation de projet fréquente.

8. Vérification de la flèche pour la combinaison de charges caractéristique

Le calcul est effectué comme pour la combinaison de charge fréquente :

État non fissuré
Paramètre	Description	Valeur	Unité
αe,I	Rapport des modules d’élasticité pour l’état non fissuré	6.90	[-]
My,Ed,def	Moment de flexion de calcul pour la vérification de la flèche	58.32	kNm
zI	Distance du centre de gravité de la section idéale à la face en compression du béton (non fissuré)	77.1	mm
AI	Section efficace dans l’état non fissuré	3692.53	cm2
Iy,I	Moment d’inertie effectif au centre de gravité idéal dans l’état non fissuré	70178.40	cm4
ez,I	Excentrement du centre de gravité de la section idéale dans l’état non fissuré	2.1	mm
κy,I	Courbure pour l’état non fissuré	2.9	mrad/m

État fissuré
Paramètre	Description	Valeur	Unité
αe,II	Rapport des modules d’élasticité pour l’état fissuré	6.90	[-]
zII	Distance du centre de gravité de la section idéale à la face en compression du béton (fissuré)	34.4	mm
AII	Section efficace dans l’état fissuré	964.57	cm2
Iy, II	Moment d’inertie effectif au centre de gravité idéal dans l’état fissuré	16000.40	cm4
ez,II	Excentrement du centre de gravité de la section idéale dans l’état fissuré	-40.6	mm
κy,II	Courbure pour l’état fissuré	12.6	mrad/m

Le calcul du coefficient de distribution est également effectué de manière analogue :

\(
\sigma_{\text{max}} = \dfrac{N_{\text{Ed}}}{A_{\text{I}}} + \dfrac{M_{y,\text{Ed,def}} - N_{\text{Ed}} \cdot \left( z_{\text{I}} - \dfrac{h}{2} \right)}{I_{y,\text{I}}} \cdot \left( h - z_{\text{I}} \right)
\)

\(
\sigma_{\text{max}} = \dfrac{0.000 \, \text{kN}}{3692.53 \, \text{cm}^2} + \dfrac{58.32 \, \text{kNm} - 0.000 \, \text{kN} \cdot \left( 77.1 \, \text{mm} - \dfrac{150.0 \, \text{mm}}{2} \right)}{70178.40 \, \text{cm}^4} \cdot \left( 150.0 \, \text{mm} - 77.1 \, \text{mm} \right) = 6.058 \, \text{N/mm}^2
\)

\(
\zeta_d = 1 - \beta \cdot \left( \dfrac{f_{\text{ctm}}}{\sigma_{\text{max}}} \right)^2
\)

\(
\zeta_d = 1 - 1.000 \cdot \left( \dfrac{1.900 \, \text{N/mm}^2}{6.058 \, \text{N/mm}^2} \right)^2 = 0.902\) > 0.947

\(
\zeta_d = \zeta_{\text{max}} = 0,947
\)

Sections efficaces et rigidités pour la situation de projet fréquente
Paramètre	Description	Valeur	Unité
κy,f	Courbure de l’état non fissuré et fissuré	12.0	mrad/m
Af	Aire de section efficace	1004.23	cm2
Iy,f	Moment d’inertie effectif au centre de gravité idéal	16689.20	cm⁴
ez,f	Excentrement du centre de gravité	-40.0	mm
Iy,0,f	Moment d’inertie effectif au centre de gravité géométrique	32796.10	cm4
EAf	Rigidité de membrane	2912260.000	kN
EIy,0,f	Rigidité en flexion	9510.86	kNm²
rz	Facteur de réduction des rigidités en cisaillement	0.238
GAf	Rigidité de cisaillement	847697.000	kN
GIt,f	Rigidité en torsion	24637.30	kNm²
ESy	Élément de rigidité excentré	-116633,00	kNm

Avec ces rigidités finales, RFEM calcule la déformation de la combinaison de charge fréquente :
\(
\mathrm{u_{z,tot,st}} = 15.5\,\mathrm{mm}
\)

La flèche totale est alors de :
\(
u_{z,tot} = 30.1 \, \text{mm} + \left( 15.5 \, \text{mm} - 13.3 \, \text{mm} \right) = 32.3 \, \text{mm}
\)

• Flèche limite u_z,lim

\(
u_{z,lim} = \dfrac{L_{z,ref}}{L_{z,ref} / u_{z,lim}}
\)

\(
u_{z,lim} = \dfrac{3.600 \, \text{m}}{100.000} = 36 \, \text{mm}
\)

• Critère de vérification η

\(
\eta = \left| \dfrac{u_{z}}{u_{z,lim}} \right|
\)

\(
\eta = \left| \dfrac{32.3 \, \text{mm}}{36.0 \, \text{mm}} \right| = 0.897
\)

La vérification est réussie pour la situation de projet caractéristique.